Intervalo de referencia en distribuciones normales

Objetivo El intervalo de referencia para una variable N(m,s) es el intervalo (a,b) centrado en m donde se espera encontrar, con probabilidad (1-a), el resultado de una observación (el valor de un individuo) No se debe confundir este intervalo de referencia (valores esperados de un individuo) con el intervalo de confianza (estimación de un parámetro). Formalmente, el intervalo de referencia se calcula, en el caso de una N(m,s) encontrando los valores (a,b) que cumplen

Método Para calcular el intervalo, hacemos Si interpretamos este intervalo, se cumple Por lo tanto

Resultado En una N(m,s), el resultado de un individuo se encontará dentro del intervalo con una probabilidad (1-a) Ejemplos (1-a) 1-a/2 z1-a/2 IRef 0.90 0.95 1.64 m±1.64s 0.975 1.96 m±1.96s 0.99 0.995 2.57 m±2.57s

Ejemplo La distribución de la concentración de un metabolito en pacientes afectados de una enfermedad renal se puede representar por una N(100.7, 7.6). Calcula el intervalo de referencia para este metabolito. Interpretación: El 95% de los pacientes que se observen, deberían tener valores dentro de este intervalo.

Comentarios El procedimiento comentado solo es válido en el caso de que la variable observada se comporte como una distribución normal. En caso contrario, debemos utilizar uno de los siguientes métodos alternativos Calcular el IR teniendo en cuenta la distribución original de la variable Transformar la variable original de manera que la nueva variable tenga una distribución Normal. Calcular el intervalo en la variable transformada. Una vez obtenido dicho intervalo, calcular el intervalo en la variable original mediante una transformación inversa. Si la muestra es grande, se pueden utilizar directamente los percentiles muestrales para calcular un intervalo de referencia aproximado.

Intervalo de referencia Interpretación general Como se ha indicado anteriormente, el intervalo de referencia (1-a) se calcula obteniendo los valores (a,b) centrados en la E(X) que cumplen En el caso de variables que no siguen una distribución normal, debemos calcular (a,b) en función de la distribución de la variable. A continuación, veremos el cálculo para la binomial y de la Poisson. En estos casos, ya que se trata de variables discretas, los intervalos no seran exactamente (1-a).

Intervalo de referencia en una variable con distribución binomial Si X es B(n,p), entonces el intervalo de referencia (1-a) se calcularía obteniendo los valores (a,b) que cumplen

Intervalo de referencia en una variable con distribución binomial Ejemplo Función de densidad y distribución de una B(10,0.63) Por lo tanto: En este caso, con una probabilidad de 0.9, el número de pacientes que mejoraran estará entre 3 y 8. x P(X=x) P(X≤x)

Intervalo de referencia en una variable con distribución de Poisson Si X es Poisson(l) entonces el intervalo de referencia (1-a) se calcularía obteniendo los valores (a,b) que cumplen

Intervalo de referencia en una variable con distribución de Poisson Ejemplo x P(X=x) P(X≤x) El número medio de urgencias pediátricas en un día determinado en un gran hospital es de 7. Calcula el número de urgencias que se producirán en un día cualquiera con probabilidad 0.95 En este caso, el número de urgencias puede representarse por una v.a. con distribución de Poisson de E(X)=l=7. La función de densidad y distribución serán:

Intervalo de referencia en una variable con distribución de Poisson Ejemplo x P(X=x) P(X≤x) Por lo tanto, aproximadamente En este caso, el número de urgencias en un día cualquiera se situará entre 2 y 12 con una probabilidad 0.94

Ejemplo de cálculo del IR por transformación de variable En el estudio de la distribución de una variable metabólica, se ha determinado que su distribución es asimétrica. Después de probar distintas transformaciones, se comprueba que la transformación raíz cúbica proporciona una variable con distribución normal de media 2.7 y desviación típica 0.7. Calcula el IR de la variable original. En la variable transformada, el intervalo de referencia será: Como esta variable corresponde a la raíz cúbica de la variable original, para calcular el IR de dicha variable debemos elebar al cubo el IR de la variable transformada:

Cálculo del IR por percentiles muestrales Cuando disponemos de una muestra grande, podemos utilizar los percentiles muestrales para obtener un IR. Para ello, si queremos un intervalo (1-a) debemos obtener los percentiles a/2 y 1-a/2. Estos percentiles pueden obtenerse mediante el programa SPSS, o un programa equivalente, a partir de los datos de la muestra.