MATEMÁTICAS 3.º ESO Unidad 3: Polinomios El Álgebra, la parte de las Matemáticas de la que los polinomios son la base, nació con los árabes en Bagdad en el siglo IX. La palabra árabe “álgebra” alude al hábil manejo de los cálculos con signos, similar a la maestría de los autores del intricado arte decorativo árabe. Polinomios INTERNET LECTURA INICIAL ESQUEMA ACTIVIDAD

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Esquema de contenidos MATEMÁTICAS 3.º ESO Unidad 3: Polinomios Monomios Concepto Monomios semejantes Polinomios Conceptos Grado Valor numérico Operaciones con polinomios Suma y resta Multiplicación División Igualdades notables Cuadrado de una suma Cuadrado de una diferencia Suma por diferencia Fracciones algebraicas Simplificación

División de polinomios MATEMÁTICAS 3.º ESO Unidad 3: Polinomios División de polinomios La división de polinomios es una operación que se asemeja a la división entera. Una vez obtenido el primer monomio del cociente, el proceso o algoritmo se repite en cada paso. Divide 3 x4 + 7 x3+ 2 x – 4 entre x2 + 3 x – 1. Para que pueda realizarse la división, el grado del dividendo debe ser mayor que el del divisor. SIGUIENTE

División de polinomios MATEMÁTICAS 3.º ESO Unidad 3: Polinomios División de polinomios La división de polinomios es una operación que se asemeja a la división entera. Una vez obtenido el primer monomio del cociente, el proceso o algoritmo se repite en cada paso. Divide 3 x4 + 7 x3+ 2 x – 4 entre x2 + 3 x – 1. 3 x 4 + 7 x 3 + 2 x – 4 x 2 + 3 x – 1 Disponemos los polinomios dividendo y divisor, dejando huecos en el dividendo cuando falte una potencia. SIGUIENTE

División de polinomios MATEMÁTICAS 3.º ESO Unidad 3: Polinomios División de polinomios La división de polinomios es una operación que se asemeja a la división entera. Una vez obtenido el primer monomio del cociente, el proceso o algoritmo se repite en cada paso. Divide 3 x4 + 7 x3+ 2 x – 4 entre x2 + 3 x – 1. 3 x 4 + 7 x 3 + 2 x – 4 x 2 + 3 x – 1 3 x 2 Dividimos el primer monomio del dividendo por el primero del divisor y el resultado es el primero del cociente. SIGUIENTE

División de polinomios MATEMÁTICAS 3.º ESO Unidad 3: Polinomios División de polinomios La división de polinomios es una operación que se asemeja a la división entera. Una vez obtenido el primer monomio del cociente, el proceso o algoritmo se repite en cada paso. Divide 3 x4 + 7 x3+ 2 x – 4 entre x2 + 3 x – 1. 3 x 4 + 7 x 3 + 2 x – 4 x 2 + 3 x – 1 – 3 x 4 – 9 x 3 + 3 x 2 3 x 2 Multiplicamos ese monomio por todo el divisor y el resultado, cambiado de signo, se pone bajo el dividendo. SIGUIENTE

División de polinomios MATEMÁTICAS 3.º ESO Unidad 3: Polinomios División de polinomios La división de polinomios es una operación que se asemeja a la división entera. Una vez obtenido el primer monomio del cociente, el proceso o algoritmo se repite en cada paso. Divide 3 x4 + 7 x3+ 2 x – 4 entre x2 + 3 x – 1. 3 x 4 + 7 x 3 + 2 x – 4 x 2 + 3 x – 1 – 3 x 4 – 9 x 3 + 3 x 2 Se repite el proceso hasta que el polinomio resultante del dividendo sea de grado menor que el del divisor. 3 x 2 – 2x – 2 x 3 + 3 x 2 + 2 x – 4 SIGUIENTE

Que no se te olvide cambiar el signo…. MATEMÁTICAS 3.º ESO Unidad 3: Polinomios División de polinomios La división de polinomios es una operación que se asemeja a la división entera. Una vez obtenido el primer monomio del cociente, el proceso o algoritmo se repite en cada paso. Divide 3 x4 + 7 x3+ 2 x – 4 entre x2 + 3 x – 1. 3 x 4 + 7 x 3 + 2 x – 4 x 2 + 3 x – 1 – 3 x 4 – 9 x 3 + 3 x 2 3 x 2 – 2x – 2 x 3 + 3 x 2 + 2 x – 4 Que no se te olvide cambiar el signo…. + 2 x 3 + 6 x 2 – 2 x SIGUIENTE

División de polinomios MATEMÁTICAS 3.º ESO Unidad 3: Polinomios División de polinomios La división de polinomios es una operación que se asemeja a la división entera. Una vez obtenido el primer monomio del cociente, el proceso o algoritmo se repite en cada paso. Divide 3 x4 + 7 x3+ 2 x – 4 entre x2 + 3 x – 1. 3 x 4 + 7 x 3 + 2 x – 4 x 2 + 3 x – 1 – 3 x 4 – 9 x 3 + 3 x 2 3 x 2 – 2x + 9 – 2 x 3 + 3 x 2 + 2 x – 4 + 2 x 3 + 6 x 2 – 2 x 9 x 2 – 4 SIGUIENTE

División de polinomios MATEMÁTICAS 3.º ESO Unidad 3: Polinomios División de polinomios La división de polinomios es una operación que se asemeja a la división entera. Una vez obtenido el primer monomio del cociente, el proceso o algoritmo se repite en cada paso. Divide 3 x4 + 7 x3+ 2 x – 4 entre x2 + 3 x – 1. 3 x 4 + 7 x 3 + 2 x – 4 x 2 + 3 x – 1 – 3 x 4 – 9 x 3 + 3 x 2 3 x 2 – 2x + 9 – 2 x 3 + 3 x 2 + 2 x – 4 + 2 x 3 + 6 x 2 – 2 x 9 x 2 – 4 – 9 x 2 – 27x + 9 SIGUIENTE

División de polinomios MATEMÁTICAS 3.º ESO Unidad 3: Polinomios División de polinomios La división de polinomios es una operación que se asemeja a la división entera. Una vez obtenido el primer monomio del cociente, el proceso o algoritmo se repite en cada paso. Divide 3 x4 + 7 x3+ 2 x – 4 entre x2 + 3 x – 1. 3 x 4 + 7 x 3 + 2 x – 4 x 2 + 3 x – 1 – 3 x 4 – 9 x 3 + 3 x 2 3 x 2 – 2x + 9 Puesto que el grado del polinomio resultante es menor que el del divisor, la división ha terminado. – 2 x 3 + 3 x 2 + 2 x – 4 + 2 x 3 + 6 x 2 – 2 x 9 x 2 – 4 – 9 x 2 – 27x + 9 Resultado: Cociente: 3 x 2 – 2x + 9 Resto: – 27x + 5 – 27x + 5

Identidades notables: Cuadrado de una suma MATEMÁTICAS 3.º ESO Unidad 3: Polinomios Identidades notables: Cuadrado de una suma Uno de los errores más frecuentes es considerar que la expresión (a + b)2 y la expresión a2 + b2 son iguales. Pero esto es falso. Para ello basta que observes la figura: En ella se observa que el cuadrado de (a + b), el cuadrado grande es mayor que la suma de los cuadrados de a (en rojo y de b (en verde). SIGUIENTE

(a + b)2 = a2 + 2 a b + b2 Cuadrado suma MATEMÁTICAS 3.º ESO Unidad 3: Polinomios Identidades notables: Cuadrado de una suma Uno de los errores más frecuentes es considerar que la expresión (a + b)2 y la expresión a2 + b2 son iguales. Pero esto es falso. Para ello basta que observes la figura: En ella se observa que el cuadrado de (a + b), el cuadrado grande es mayor que la suma de los cuadrados de a (en rojo y de b (en verde). (a + b)2 = a2 + 2 a b + b2 La expresión correcta es: Lo puedes ver en la figura y podrás verlo mejor en la imagen dinámica a la que accedes haciendo clic en el enlace siguiente: Cuadrado suma

MATEMÁTICAS 3.º ESO Unidad 3: Polinomios Identidades notables: Cuadrado de una diferencia La expresión (a – b)2, llamada cuadrado de la diferencia se desarrolla, al quitar paréntesis, así: (a – b)2 = a2 – 2 a b + b2 SIGUIENTE

(a – b)2 = a2 – 2 a b + b2 Cuadrado diferencia MATEMÁTICAS 3.º ESO Unidad 3: Polinomios Identidades notables: Cuadrado de una diferencia La expresión (a – b) 2 llamada cuadrado de una diferencia se desarrolla, al quitar paréntesis, así: (a – b)2 = a2 – 2 a b + b2 Lo podrás ver bien si accedes, haciendo clic en el enlace siguiente, a la imagen dinámica correspondiente: Cuadrado diferencia

MATEMÁTICAS 3.º ESO Unidad 3: Polinomios Identidades notables: Diferencia de cuadrados La expresión a2 – b2 es la resta de los cuadrados de dos cantidades. Equivale al producto (a + b) por (a – b). Es decir: a2 – b2 = (a + b) · (a – b) SIGUIENTE

Diferencia de cuadrados MATEMÁTICAS 3.º ESO Unidad 3: Polinomios Identidades notables: Diferencia de cuadrados La expresión a2 – b2 es la resta de los cuadrados de dos cantidades. Equivale al producto (a + b) por (a – b). Es decir: a2 – b2 = (a + b) · (a – b) Puedes comprobar esta identidad en la imagen que sigue al enlace: Diferencia de cuadrados

Sacar factor común y simplificar fracciones MATEMÁTICAS 3.º ESO Unidad 3: Polinomios Sacar factor común y simplificar fracciones Las fracciones algebraicas son cocientes indicados de dos polinomios. Como ocurre en las fracciones numéricas, a veces es posible simplificarlas, y otras, no. Simplifica, si es posible, las fracciones algebraicas siguientes: a) b) SIGUIENTE

Sacar factor común y simplificar fracciones MATEMÁTICAS 3.º ESO Unidad 3: Polinomios Sacar factor común y simplificar fracciones Las fracciones algebraicas son cocientes indicados de dos polinomios. Como ocurre en las fracciones numéricas, a veces es posible simplificarlas, y otras, no. Simplifica, si es posible, las fracciones algebraicas siguientes: a) b) Vamos a simplificar de dos maneras, una correcta y otra incorrecta. Tú has de elegir la correcta y señalar dónde se produce el error en la incorrecta. ó SIGUIENTE

x (x2 + 5) = x3 + 5 x ≠ x 2 + 5 x x (x + 5) = x 2 + 5 x MATEMÁTICAS 3.º ESO Unidad 3: Polinomios Sacar factor común y simplificar fracciones Las fracciones algebraicas son cocientes indicados de dos polinomios. Como ocurre en las fracciones numéricas, a veces es posible simplificarlas, y otras, no. Simplifica, si es posible, las fracciones algebraicas siguientes: a) b) Vamos a simplificar de dos maneras, una correcta y otra incorrecta. Tú has de elegir la correcta y señalar dónde se produce el error en la incorrecta. ó La correcta es la expresión de la derecha, en la que hemos simplificado un factor de TODO el numerador. En la primera, x sólo ha sido eliminado en un sumando. Basta con que hagas las pruebas de las dos divisiones para certificarlo: x (x2 + 5) = x3 + 5 x ≠ x 2 + 5 x x (x + 5) = x 2 + 5 x SIGUIENTE

MAL BIEN Sacar factor común y simplificar fracciones MATEMÁTICAS 3.º ESO Unidad 3: Polinomios Sacar factor común y simplificar fracciones Las fracciones algebraicas son cocientes indicados de dos polinomios. Como ocurre en las fracciones numéricas, a veces es posible simplificarlas, y otras, no. Simplifica, si es posible, las fracciones algebraicas siguientes: a) b) MAL BIEN a) ó SIGUIENTE

MAL BIEN Sacar factor común y simplificar fracciones MATEMÁTICAS 3.º ESO Unidad 3: Polinomios Sacar factor común y simplificar fracciones Las fracciones algebraicas son cocientes indicados de dos polinomios. Como ocurre en las fracciones numéricas, a veces es posible simplificarlas, y otras, no. Simplifica, si es posible, las fracciones algebraicas siguientes: a) b) MAL BIEN a) ó En el caso b), no podemos simplificar tal y como está. Se puede sacar factor común a x en el numerador a los dos primeros sumandos: SIGUIENTE

MAL BIEN Sacar factor común y simplificar fracciones MATEMÁTICAS 3.º ESO Unidad 3: Polinomios Sacar factor común y simplificar fracciones Las fracciones algebraicas son cocientes indicados de dos polinomios. Como ocurre en las fracciones numéricas, a veces es posible simplificarlas, y otras, no. Simplifica, si es posible, las fracciones algebraicas siguientes: a) b) MAL BIEN a) ó En el caso b), no podemos simplificar tal y como está. Se puede sacar factor común a x en el numerador a los dos primeros sumandos: x y + x + y + 1 = x · (y + 1 ) + y +1 y, curiosamente, se puede ahora sacar factor común a (y + 1): SIGUIENTE

MAL BIEN Sacar factor común y simplificar fracciones MATEMÁTICAS 3.º ESO Unidad 3: Polinomios Sacar factor común y simplificar fracciones Las fracciones algebraicas son cocientes indicados de dos polinomios. Como ocurre en las fracciones numéricas, a veces es posible simplificarlas, y otras, no. Simplifica, si es posible, las fracciones algebraicas siguientes: a) b) MAL BIEN a) ó En el caso b), no podemos simplificar tal y como está. Se puede sacar factor común a x en el numerador a los dos primeros sumandos: x y + x + y + 1 = x (y + 1 ) + y +1 y, curiosamente, se puede ahora sacar factor común a (y + 1): x y + x + y + 1 = x · (y + 1 ) + y +1 = (x + 1) · (y +1) Se va a poder simplificar la fracción del caso b): SIGUIENTE

MAL BIEN Sacar factor común y simplificar fracciones MATEMÁTICAS 3.º ESO Unidad 3: Polinomios Sacar factor común y simplificar fracciones Las fracciones algebraicas son cocientes indicados de dos polinomios. Como ocurre en las fracciones numéricas, a veces es posible simplificarlas, y otras, no. Simplifica, si es posible, las fracciones algebraicas siguientes: a) b) MAL BIEN a) ó b)

Actividades y Diccionario Actividades de la BBC MATEMÁTICAS 3.º ESO Unidad 3: Polinomios Enlaces de interés Actividades y Diccionario Actividades de la BBC IR A ESTA WEB IR A ESTA WEB

Actividad: Moquetas de superficies variables MATEMÁTICAS 3.º ESO Unidad 3: Polinomios Actividad: Moquetas de superficies variables Dirección: http://www.col-camus-soufflenheim.ac-strasbourg.fr/telech/MOQUETTES.PDF Aparecen aquí diversas situaciones en las que, al enmoquetar el suelo de una habitación, surgen expresiones polinómicas. Para conocerlo, sigue este enlace.