Tema 4:Combinatoria. 1.Introducción a la combinatoria. 2.Variaciones. 2.1.Sin repetición 2.2.Con repetición 3.Permutaciones 2.1.Sin repetición 2.2.Con repetición 4.Combinaciones. 4.1 Sin repetición 4.2 Con repetición 5. Números Combinatorios. Propiedades 6. Potencia de un binomio. Binomio de Newton 7. Planteamiento de un problema de combinatoria

La combinatoria es una rama de la matemática perteneciente al área de matemáticas discretas que estudia la enumeración, construcción y existencia de propiedades de configuraciones que satisfacen ciertas condiciones establecidas. 1.Introducción a la combinatoria. En todo problema combinatorio hay varios conceptos claves que debemos distinguir: Población: Es el conjunto de elementos que estamos estudiando. Denominaremos con m al número de elementos de este conjunto. Muestra: Muestra: Es un subconjunto de la población. Denominaremos con n al número de elementos que componen la muestra. Los diferentes tipos de muestra vienen determinados por dos aspectos: -Orden: Es decir, si es importante que los elementos de la muestra aparezcan ordenados o no. -Repetición: La posibilidad de repetición o no de los elementos. Factorial de un número natural: Es el producto de los “n” factores consecutivos desde “n” hasta 1. El factorial de un número se denota por n!.

2.Variaciones Sin repetición

Con repetición

3. Permutaciones Permutaciones sin repetición o permutaciones ordinarias de n elementos (de orden n) son los distintos grupos de n elementos distintos que se pueden hacer, de forma que dos grupos se diferencian únicamente en el orden de colocación. Se representa por Pn. Para construir las permutaciones sin repetición de un conjunto de n elementos, tenemos que construir grupos de n elementos sin que se puedan repetir. De un elemento. A = {1}. Únicamente existe una permutación: 1. De dos elementos. A = {1,2}. V2,2 = 2. Las dos permutaciones son: 12 y 21. Sin repetición.

Con repetición. Permutaciones con repetición de n elementos donde el primer elemento se repite a veces, el segundo b veces, el tercero c veces,... n = a + b + c +... Son los distintos grupos que pueden formarse con esos n elementos de forma que : Sí entran todos los elementos. Sí importa el orden. Sí se repiten los elementos.

4. Combinaciones Sin repetición. Se llama combinaciones de m elementos tomados de n en n (m ≥ n) a todas las agrupaciones posibles que pueden hacerse con los m elementos de forma que: -No entran todos los elementos. -No importa el orden. -No se repiten los elementos. También podemos calcular las combinaciones mediante factoriales: Las combinaciones se denotan por variaciones:

Con repetición Las combinaciones con repetición de m elementos tomados de n en n (m ≥ n), son los distintos grupos formados por n elementos de manera que: -No entran todos los elementos. -No importa el orden. -Sí se repiten los elementos.

5. Números Combinatorios. Propiedades Los números combinatorios se representan por ( n m ) y son utilizados para expresar las combinaciones. Las combinaciones de n elementos tomados de m en m, cuentan el número de grupos diferentes que se pueden formar con m elementos distintos, elegidos de un conjunto de n elementos. Propiedades de los números combinatorios: Los números combinatorios tienen dos propiedades importantes. La primera propiedad se refiere a los números combinatorios en los que, como ocurre en ( 5 2 ) y ( 5 3 ), la suma de los números inferiores, 2 + 3, es igual al número superior, 5. Cuando esto sucede, los dos números combinatorios son iguales, es decir, ( 5 2 ) = ( 5 3 ), y, en general, ( n m ) = ( n n - m ). La segunda propiedad se refiere a la suma de dos números combinatorios, que tienen los números superiores iguales y los inferiores consecutivos. Se verifica ( 6 2 ) + ( 6 3 ) = ( 7 3 ), y, en general, ( n m ) + ( n m + 1 ) = ( n + 1 m + 1 ).

6. Potencia de un binomio. Binomio de Newton La fórmula que nos permite hallar las potencias de un binomio se conoce como binomio de Newton. Podemos observar que el número de términos es n+1. Los coeficientes son números combinatorios que corresponden a la fila enésima del triángulo de Tartaglia.

7. Planteamiento de un problema de combinatoria Un grupo, compuesto por cinco hombres y siete mujeres, forma un comité de 2 hombres y 3 mujeres. De cuántas formas puede formarse, si: 1. Puede pertenecer a él cualquier hombre o mujer. 2. Una mujer determinada debe pertenecer al comité. 3. Dos hombres determinados no pueden estar en el comité.