Sistemas de Control en Tiempo Discreto Modelo en Variables de Estado en Tiempo Discreto En forma análoga, una ecuación de estado en tiempo discreto, es una ecuación de diferencias de primer orden vectorial. La ecuación de salida, que completa el modelo en tiempo discreto es descrita con las mismas matrices C y D del modelo en tiempo continuo. Partiendo de, Si se asume que el vector de entrada sólo cambia instantes equidistantes, entonces la representación en tiempo discreto de la ecuación de estado será:

Sistemas de Control en Tiempo Discreto Modelo en Variables de Estado en Tiempo Discreto Para la deducción de las matrices cuadrada y se parte de la solución de la ecuación de estado en tiempo continuo, donde se sabe que es la matriz de transición de estado. Como el vector de entrada se asume constante entre instantes de muestreo, se tiene que para el k-ésimo instante, la solución será: o también,

Sistemas de Control en Tiempo Discreto Modelo en Variables de Estado en Tiempo Discreto Multiplicando esta última expresión por y restándola de la anterior, resulta: Haciendo se tiene, Y haciendo da,

Sistemas de Control en Tiempo Discreto Modelo en Variables de Estado en Tiempo Discreto Comparando este resultado con la solución en tiempo continuo, se tiene finalmente que: Si en particular existe la inversa entonces se puede alternativamente calcular,

Sistemas de Control en Tiempo Discreto Modelo en Variables de Estado en Tiempo Discreto En forma compacta, EJEMPLO: Hallar la representación en tiempo discreto para T=1, del sistema continuo,

Sistemas de Control en Tiempo Discreto Modelo en Variables de Estado en Tiempo Discreto SOLUCIÓN: Se recuerda que mediante Laplace, la matriz de transición de estado es, siendo la inversa de una matriz, Luego,

Sistemas de Control en Tiempo Discreto Modelo en Variables de Estado en Tiempo Discreto Por otro lado, Sustituyendo el valor del período de muestreo en las matrices, resulta finalmente: NOTA: Las dimensiones de las matrices entre las versiones, se conservan

Sistemas de Control en Tiempo Discreto Solución de la Ecuación de Estado Discreta Sea, con y Vectores y Matrices de dimensiones apropiadas. Aplicando la transformada Z se tiene: Luego, Ahora la matriz de transición de estado (en Z) es . Finalmente, Aquí:

Sistemas de Control en Tiempo Discreto Solución de la Ecuación de Estado Discreta EJEMPLO: Hallar la solución (en el tiempo) para la ecuación de estado, cuyas condiciones iniciales son y la entrada es un escalón unitario. SOLUCIÓN: La entrada a considerar es, y la matriz de transición de estado es,

Sistemas de Control en Tiempo Discreto Solución de la Ecuación de Estado Discreta Con lo que la solución homogénea es, Y la solución particular es, Finalmente, con la suma de las dos soluciones, resulta: