FUERZAS INTERNAS EN ELEMENTOS MECÁNICOS ESTÁTICA Y DINÁMICA FUERZAS INTERNAS EN ELEMENTOS MECÁNICOS Cuando un miembro estructural o un componente de máquina ( cable, barra, árbol, viga o columna) se encuentra sometido a un sistema de cargas exteriores ( cargas aplicadas y reacciones de apoyos), se desarrolla en el miembro un sistema de fuerzas resistentes interiores que equilibran a las fuerzas exteriores. Consideremos un cuerpo sometido a un sistema de fuerzas exteriores equilibradas F1, F2, F3, …, Fn, como se muestra en la figura 1. Figura 1

ESTÁTICA Y DINÁMICA Estas fuerzas tienden a aplastar el cuerpo (compresión) o a hacerlo estallar (tensión). En uno u otro caso se generan fuerzas internas ( resistentes) en el cuerpo que se oponen ya sea al aplastamiento o al estiramiento del mismo, manteniendo así al cuerpo unido. La resultante de las fuerzas interiores que se ejercen sobre un plano dado aa interior a un cuerpo se puede determinar suponiendo que el plano divide el cuerpo en dos partes, según se indica en la figura 1. Como el cuerpo esta en equilibrio, también lo estará cada una de sus partes al estar sometidas a la acción de la fuerzas interiores que se desarrollan en el plano que divide al cuerpo en dos partes. Por lo tanto, la resultante de las fuerzas interiores que se ejercen por el plano se puede determinar tomando la parte izquierda o la parte derecha del cuerpo. Figura 2

ESTÁTICA Y DINÁMICA Las intensidades de estas fuerzas internas ( fuerza por unidad de superficie) reciben el nombre de esfuerzo. En la figura 3 se ha representado un diagrama de cuerpo libre de la parte izquierda del cuerpo. En ella, la distribución de fuerzas interiores sobre el plano aa se ha sustituido por una fuerza resultante R que pasa por un punto del plano aa y un momento resultante M. Figura 3

ESTÁTICA Y DINÁMICA La fuerza resultante R puede descomponerse, según se indica en la figura 4a, en una componente Rn ( fuerza normal) perpendicular al plano aa y una componente Rt (fuerza cortante) tangente a dicho plano. Análogamente, el momento M puede descomponerse en una componente Mn (momento torsor) respecto a un eje normal al plano aa y una componente Mt (momento flector) respecto a un eje tangente al plano aa, según se indica en la figura 4b. Figura 4

ESTÁTICA Y DINÁMICA Para determinar las fuerzas interiores en un lugar concreto de un miembro se sugiere el proceso siguiente. Determinar las reacciones de los apoyos Preparar un esquema del cuerpo en el que se muestren las dimensiones importantes y todas las cargas externas ( fuerzas, momentos flectores y otros momentos) que se ejerzan sobre el cuerpo en su posiciones exactas. Dibujar un diagrama de cuerpo libre completo Identificar el plano de interés del cuerpo. Preparar un diagrama de cuerpo libre para una porción del cuerpo que exponga el plano de interés. Mostrar todas las fuerzas exteriores que se ejercen sobre esta parte del cuerpo y la fuerza y momento resultante ( o sus componentes) en el plano de interés expuesto. Aplicar las ecuaciones de equilibrio

Notación y componentes ESTÁTICA Y DINÁMICA Notación y componentes El primer subíndice indica el plano sobre el que actúa la fuerza y el segundo la dirección de cada una. Figura 5 Las componentes según el esquema de la figura 5 son:

ESTÁTICA Y DINÁMICA Fuerza axial (Pxx): realiza la acción de tirar o comprimir y se representa por la fuerza de tracción ( tendencia al alargamiento) o compresión ( tendencia al acortamiento). Se simboliza por P. Figura 6 Fuerza cortante (Pxy y Pxz): realiza la acción de desplazamiento de una porción de la sección respecto a la otra. Se simboliza por V. Figura 7

ESTÁTICA Y DINÁMICA Momento flector (Mxy y Mxz): realiza la acción de curvar el cuerpo o flexionarlo respecto al eje X o Y. Se simboliza por My o Mz. Figura 8 Momento torsor (Mxx): realiza la torsión sobre el sólido cuerpo. Se simboliza por T o Mt. Figura 9

FUERZAS CORTANTES Y MOMENTOS FLECTORES EN VIGAS ESTÁTICA Y DINÁMICA FUERZAS CORTANTES Y MOMENTOS FLECTORES EN VIGAS Los miembros estructurales o componente de máquinas que ofrecen resistencia a la flexión originada por las cargas aplicadas reciben el nombre de vigas. La mayoría de las vigas son barras prismáticas y las cargas suelen aplicarse perpendicularmente a los ejes de esas barras. La viga es, indudablemente, el más importante de todos los miembros estructurales y es fundamental entender perfectamente la teoría básica que fundamenta su diseño. Una viga puede ser recta o curva. En la construcción de edificios, muchas vigas se hallan en posición horizontal, anqué también se encuentran vigas verticales e inclinadas. Algunas vigas están cargadas puramente a flexión, mientras que otras se hallan sometidas a cargas flectoras en combinación con cargas axiales, cortantes y torsor.

ESTÁTICA Y DINÁMICA TIPOS DE VIGAS Las vigas se clasifican según el tipo de carga que soportan. La vigas pueden estar sometidas a cargas concentradas, cargas distribuidas, o a pares ( momentos concentrados) que actúan solos o en una combinación cualquiera. Las cargas aplicadas a una porción muy pequeña de longitud de una viga se llaman cargas concentradas. La carga que se ejerce a lo largo de una longitud finita de la viga se denomina carga distribuida. La distribución puede ser uniforme o no uniforme.

ESTÁTICA Y DINÁMICA El momento concentrado es un par creado por dos fuerzas de igual magnitud pero de direcciones opuestas aplicadas a la viga en una sección particular. En la figura c se muestran las dos formas de representación del par. Las vigas se clasifican también según el tipo de apoyo que utilizan. La viga apoyada en pasadores, rodillos o superficies lisas en sus extremos se dice que está simplemente apoyada.

ESTÁTICA Y DINÁMICA La viga simplemente apoyada que se prolonga más allá de sus apoyos en uno o ambos extremos se dice que es una viga sobresaliente. La viga que está fija por uno de sus extremos y libre por el otro se dice que es una viga en voladizo o ménsula. La viga que está fija por un extremo y simplemente apoyada en el otro se dice que es una viga soportada.

ESTÁTICA Y DINÁMICA La viga que tiene mas de dos apoyos simples se denomina viga continua. La viga que está o bien fija ( sin rotación) o bien logada ( rotación limitada) se dice que está empotrada. Las vigas también pueden clasificar en estáticamente determinadas ( isostáticas) y estáticamente indeterminadas ( hiperestática)

ESTÁTICA Y DINÁMICA En la figura se muestran ejemplos de vigas isostáticas e hiperestática.

ESTÁTICA Y DINÁMICA La intensidad p de una caga distribuida puede expresarse como fuerza por unidad de longitud de la viga y puede ser constante o variable, continua o discontinua. En la figura 20 la intensidad de la carga es constante entre C y D y variable entre A y C y entre D y B. En el punto D, la carga presenta una discontinuidad y cambia bruscamente de valor. En el punto C, la intensidad no es discontinua en sí, pero lo es su variación por unidad de longitud dp/dx. Figura 20

ESTÁTICA Y DINÁMICA CARGAS DISTRIBUIDAS Las intensidades constantes o que varíen linealmente se manejan con facilidad. En la figura 21 se presentan los tres casos más corrientes junto con las resultantes correspondientes. Figura 21 En los casos a y b de la figura 21 vemos que la carga resultante R está representada por el área de la superficie delimitada por la curva de intensidad p (fuerza por unidad de longitud de la viga) y la longitud L a lo largo de la cual se distribuye la carga. La recta soporte de la resultante R pasa por el centroide de esa superficie.

ESTÁTICA Y DINÁMICA En la parte C de la figura 21, la superficie trapezoidal se ha dividido en una superficie rectangular y una superficie triangular, para determinar por separado las resultantes parciales R1 y R2 correspondientes. Obsérvese que la resultante neta podría determinarse por el método de composición de centroides que se expuso en el tema anterior, habitualmente es innecesario determinar la resultante neta. En un caso más general, como el de la figura 22, deberá comenzarse con un incremento de diferencial de la fuerza dR=pdx. Figura 22

ESTÁTICA Y DINÁMICA La carga total R será entonces la suma de esas fuerzas diferenciales, esto es: Como la recta soporte de la resultante R debe pasar por el centroide de la superficie considerada, entonces al aplicar el principio de los momentos, obtenemos la coordenada x de ese centroide, esto es:

DIAGRAMA DE FUERZA CORTANTE Y DE MOMENTO FLECTOR ESTÁTICA Y DINÁMICA DIAGRAMA DE FUERZA CORTANTE Y DE MOMENTO FLECTOR Consideremos la viga de la figura 23, que soporta una carga distribuida p (no uniforme). Figura 23

ESTÁTICA Y DINÁMICA C y D son dos puntos de la viga, separados por una distancia dx uno de otro. Figura 24 Sobre la izquierda actúan, el esfuerzo cortante V y el momento flector M. Sobre la derecha actúan, el esfuerzo cortante V+dV y el momento flector M+dM. Al pasar de la sección C a la sección D, el incremento dV del esfuerzo cortante, proviene de la fuerza R=pdx. Como la viga está EN EQUILIBRIO, el elemento diferencial también deberá estarlo y al aplicarle la ecuación de equilibrio se tiene que:

ESTÁTICA Y DINÁMICA Figura 24 De donde se tiene que: o sea

ESTÁTICA Y DINÁMICA Esta última ecuación nos indica que, en toda sección de la viga, la pendiente del diagrama de fuerza cortante es igual a la intensidad de carga. La carga especifica p es numéricamente, la derivada, respecto de x, del esfuerzo cortante. Esto es: Así pues, la variación de fuerza cortante entre las secciones en x1 y x2 es igual al área encerrada bajo el diagrama de carga entre las dos secciones, si no hay fuerzas concentradas en el tramo x1<x<x2.

ESTÁTICA Y DINÁMICA Aplicando la ecuación de equilibrio al elemento representado en la figura 24 se tiene que: Figura 24 De donde se tiene que: Dividiendo por dx y pasando al límite se tiene que:

ESTÁTICA Y DINÁMICA Esta ecuación nos indica que, el esfuerzo de corte es la derivada del momento flector. Integrando la ecuación entre límites definidos, se tiene que: Esto es: Así pues, el cambio de momento entre las secciones en x1 y x2 es igual al área encerrada bajo el diagrama de fuerza cortante entre dichas secciones, si no hay pares aplicados en el tramo x1<x<x2.   Como M=f(x) si V = 0; significa que tenemos un máximo del Momento flector. Por lo tanto: El momento flector es máximo cuando el esfuerzo de corte es nulo, o pasa por cero.

ESTÁTICA Y DINÁMICA SIGNOS POR DEFINICIÓN Se basan en la deformación del material. V(-): Actúa en sentido anti horario V(+): Actúa en sentido horario M(+): Comprime la parte superior de la viga M (-) Comprime la parte inferior de la viga.

ESTÁTICA Y DINÁMICA EJEMPLO 1 Una viga está cargada y apoyada según se indica en la figura. Dibujar los diagrama completos de fuerzas cortantes y de momento flector de viga. Solución Aplicando momento respecto al punto A se tiene que:

ESTÁTICA Y DINÁMICA Luego entonces A continuación se toma la sección aa que corte la viga en dos partes y se dibuja el Diagrama de Fuerza de las dos partes de la viga.

ESTÁTICA Y DINÁMICA Tomando el diagrama de fuerza de la parte izquierda se tiene que: Así la fuerza cortante para 0 ≤ x <L/2 es constante y el momento flector varia linealmente con respecto al extremo izquierdo de la viga.   En B hay una carga concentrada F, por lo tanto, la fuerza cortante cambia bruscamente en el módulo de la carga y en el sentido de ésta. Así pues,

ESTÁTICA Y DINÁMICA En tanto que para el momento flector en B se tiene que: Para la variación de fuerza cortante entre B y C, se toma la sección bb que corte la viga en dos partes y se dibuja el Diagrama de Fuerza de la parte izquierda de la viga.

ESTÁTICA Y DINÁMICA En C hay una carga concentrada FC=F/2, por lo tanto, la fuerza cortante cambia bruscamente en el módulo de la carga y en el sentido de ésta. Así pues,

ESTÁTICA Y DINÁMICA En tanto que para el momento flector en C se tiene que:   Diagrama de fuerza cortante y momento flector.