FUNCIONES

FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL UNA FUNCIÓN f REAL DE VARIABLE REAL, es una correspondencia entre dos conjuntos reales A y B, que asocia a cada elemento x de A un solo elemento y de B. Y se simboliza por: f : A  B : x  y = f (x) A los elementos x  A, se le denomina VARIABLE INDEPENDIENTE, y a los elementos y  B VARIABLE DEPENDIENTE. La ECUACIÓN de la FUNCIÓN y = f(x), es la relación algebraica entre x e y, donde: Dominio de f = D f = { x  A : existe y  B tal que y = f(x) } Imagen o recorrido de f = R f = { y  B : existe x  A tal que y = f(x) } Si x es tal que y = f (x), y es la IMAGEN de x, y x es la ANTIMAGEN de y Si una función viene definida solamente por su ecuación y = f(x), el DOMINIO de f, será el conjunto más amplio de los números reales, para los cuales está definida f

Ejemplo:

GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL Dada una función real f (x), al conjunto de puntos del plano Cartesiano: { ( x , f(x) ) : x  D f } Se le denomina GRÁFICA de la función f. Es decir, la GRÁFICA de una función son todos los puntos del plano cartesiano, cuyas coordenadas son (x , f(x) ) “ ó ( x, y ) donde y = f(x) “. El conjunto de la abscisas lo compone el Domino de f, y el conjunto de las ordenadas el Recorrido de f

Ejemplo: (0, f(0) ) = ( 0 , 9 ) (-5, f(-5) ) = ( -5 , 4 ) Eje de ordenadas Eje de abcisas (-3, f(-3) ) = ( -3 , 0 )

PROPIEDADES GRÁFICAS DE FUNCIONES Una función f(x) es MONÓTONA CRECIENTE en un intervalo (a,b) cuando para cada x, y  (a,b) si x < y, entonces f (x) < f (y). Una función f (x) es MONÓTONA DECRECIENTE en un intervalo (a,b) cuando para cada x, y  (a,b) si x < y, entonces f (x) > f (y). Una función f(x) es MONÓTONA en un intervalo (a,b) cuando es MONÓTONA CRECIENTE ó MONÓTONA DECRECIENTE. Una función f(x) tiene un MÁXIMO RELATIVO en un punto M, cuando existe un intervalo (a,b) tal que M  (a,b) y para cada x  (a,M) o  (M,b) será f(x) < f(M) Una función f (x) tiene un MÍNIMO RELATIVO en un punto M, cuando existe un intervalo (a,b) tal que M  (a,b) y para cada x  (a,M) o  (M,b) será f(x) > f(M)

Ejemplo. La siguiente función Es monótona creciente en (0,2) y en (5,8) y monótona decreciente en (2,5). Tiene un máximo relativo en x = 2, y x = 8, y tiene un mínimo relativo en x = 5.

PROPIEDADES GRÁFICAS DE FUNCIONES Una función f(x) es PAR o SIMÉTRICA RESPECTO DEL EJE OY, cuando para cada x se cumple que f (x) = f (-x). Una función f(x) es IMPAR o SIMÉTRICA RESPECTO DEL ORIGEN DE COORDENADAS, cuando para cada x se cumple que f (x) = - f (-x). Una función f(x) es CONTINUA en un intervalo, si su gráfica es continua en dicho intervalo. Los puntos en los que se interrumpe la gráfica, se denominan PUNTOS de DISCONTINUIDAD.

Ejemplo. La función La función Es una función PAR Es una función IMPAR

Ejemplo. La siguiente función Es continua en (-3,0) y en [0,1) y es discontinua en x = 0

FUNCIONES POLINÓMICAS ELEMENTALES. Las funciones polinómicas son de la forma: f (x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 + … + a 2 x 2 + a 1 x 1 + a 0 Donde, a n , a n - 1 , … , a 2 , a 1 , a 0 son números reales. La función f(x) = a, con a un número real, se denomina función CONSTANTE. La función f (x) = a x (html), con a un número real, se denomina función LINEAL (html). La función f (x) = a x + b (html), con a y b números reales, se denomina función AFÍN (html). La función f (x) = a x 2 + b x + c, con a, b y c números reales, se denomina función CUADRÁTICA (html). PROBLEMAS DE MÁXIMOS Y MÍNIMOS

Ejemplos Gráficos de funciones polinómicas

FUNCIONES RACIONALES ELEMENTALES. Las funciones racionales son de la forma: P(x) f(x) = ------ con P(x) y Q(x) (“grado(Q)  1”) polinomios. Q(x) Estas funciones se define para todos los números reales que no se anule el denominador. Ejemplos:

FUNCIONES DE PROPORCIONALIDAD INVERSA. Las funciones de proporcionalidad inversa, son funciones racionales de la forma: k f(x) = ------ con k un número constante. x Estas funciones tiene por DOMINIO todos los números reales salvo el 0. Ejemplo:

TRASLACIÓN DE FUNCIONES DE PROPORCIONALIDAD INVERSA. Las gráfica de la función de proporcionalidad inversa, de la forma: k f(x) = b + ------ con k un número constante. x - a Es la traslación de la gráfica de la función k/x mediante el vector (a,b) Ejemplo: Gráfica en Geogebra de: k f(x) = b + ------ x - a se puede variar a, b y k.

FUNCIONES DEFINIDAS POR INTERVALOS En ocasiones, nos interesa estudiar funciones definidas por intervalos. Ejemplo:

TASA DE VARIACIÓN MEDIA DE FUNCIONES.

PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES

OPERACIONES DE LAS FUNCIONES. Si f y g son funciones reales de variable real, tales que tiene el mismo dominio, podemos definir las siguientes operaciones que definen a su vez una función: Suma f + g , que se define como (f+g) (x) = f(x) + g(x)  x  D f = D g Resta f - g , que se define como (f-g) (x) = f(x) - g(x)  x  D f = D g Producto f g , que se define como (f g) (x) = f(x) g(x)  x  D f = D g Cociente f / g , que se define como (f /g) (x) = f(x) / g(x)  x  D f = D g Siempre que sea g(x)  0  x  D f = D g Ejemplo:

COMPOSICIÓN DE FUNCIONES Dada las funciones reales: f : A  B y g : B  C Definimos, la composición de funciones (g  f ) a la función: (g  f ) : A  C Tal que (g  f ) (x) = g(f(x))  x  D f “ f(x)  D g ” Ejemplo:

Ejemplo: Dada las funciones reales: f : A  B y g : B  A FUNCIONES INVERSAS Dada las funciones reales: f : A  B y g : B  A Definimos, que f y g son funciones inversas si se cumple: (g  f ) (x) = x (f  g) (y) = y Donde f(x) = y Si g es la función inversa de f, g se representa por f -1 Ejemplo:

Mas ayuda del tema de la página Matemática de DESCARTES del Ministerio de Educación y ciencia (http://recursostic.educacion.es/descartes/web/) En la siguiente diapósitiva

Mas ayuda del tema de la página Manuel Sada (figuras de GeoGebra) (http://docentes.educacion.navarra.es/msadaall/geogebra/) En la siguiente diapósitiva

Mas ayuda del tema de la página lasmatemáticas Mas ayuda del tema de la página lasmatemáticas.es Videos del profesor Dr. Juan Medina Molina (http://www.dmae.upct.es/~juan/matematicas.htm) En la siguiente diapósitiva