JUAN LUIS CHAMIZO BLÁZQUEZ DERIVADA DE UNA FUNCIÓN Dada una función cualquiera f(x), se define su tasa de variación media en un intervalo cerrado [a, b] como el cociente entre el incremento de la función en dicho intervalo y el incremento de la variable independiente: f(a) f(b) a b Se observa que la TVM coincide con el valor de la pendiente de la recta secante a f(x ) en los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)) Para calcular la tasa de variación instantánea de la función en a, calcularemos el límite: JUAN LUIS CHAMIZO BLÁZQUEZ

JUAN LUIS CHAMIZO BLÁZQUEZ f(a) a La TVI(a) coincide con la pendiente de la recta tangente a la función en x = a Definimos la derivada de una función en el punto de abscisa x = a como el límite: f’(a) coincide con la pendiente de la recta tangente a la función en el punto (a, f(a)) JUAN LUIS CHAMIZO BLÁZQUEZ

JUAN LUIS CHAMIZO BLÁZQUEZ Ejemplo: Calcular el valor de la pendiente de la recta tangente a la función f(x) = x2 – 1 en x = 1 La pendiente de la recta tangente a la función en el punto (a, f(a)) coincide con la derivada de la función en dicho punto: Luego la pendiente de la recta tangente en x = 1 es f’(1) = 2 JUAN LUIS CHAMIZO BLÁZQUEZ

JUAN LUIS CHAMIZO BLÁZQUEZ FUNCIÓN derivada La función derivada de una función y=f(x), es una función que asocia a cada valor de la variable x, el valor de la derivada en ese punto. La representamos por f'(x) o y' y viene dada por : Ejemplo: Hallar la derivada de la función: f(x) = x2 - 2x JUAN LUIS CHAMIZO BLÁZQUEZ

JUAN LUIS CHAMIZO BLÁZQUEZ TABLA DE DERIVADAS Derivadas de la función compuesta y = k y’ = 0 Para abreviar, hacemos f(x) = u y = x y’ = 1 y = xn y’ = n x n - 1 y = un y’ = n u n – 1 · u’ y = ex y’ = ex y = eu y’ = eu · u’ y = ax y’ = ax lna y = au y’ = au lna · u’ y = sen x y’ = cos x y = sen u y’ = cos u · u’ y = cos x y’ = - sen x y = cos u y’ = - sen u · u’ y = tag x y’ = sec2x y = tag u y’ = sec2u · u’ JUAN LUIS CHAMIZO BLÁZQUEZ

JUAN LUIS CHAMIZO BLÁZQUEZ REGLAS DE DERIVACIÓN DERIVADA DE UNA CONSTANTE POR UNA FUNCIÓN: Sea y = k · f(x) y’ = k · f’(x) y = 4 · sen x y’ = 4 · cos x DERIVADA DE LA SUMA DE FUNCIONES: Sea y = f(x) + g(x) y’ = f ‘(x) + g’(x) y = x3 + x y’ = 3x2 + 1 DERIVADA DE UN PRODUCTO DE FUNCIONES: Sea y = f(x) · g(x) y’ = f ‘(x) · g(x) + f(x) · g ’(x) y = ex . x4 y’ = ex x4 + ex 4x3 = ex x3 ( x + 4) JUAN LUIS CHAMIZO BLÁZQUEZ

JUAN LUIS CHAMIZO BLÁZQUEZ DERIVADA DE UN COCIENTE DE FUNCIONES: DERIVADA DE UNA FUNCIÓN COMPUESTA: JUAN LUIS CHAMIZO BLÁZQUEZ