Unidad II. Caracterizaciones de máximos y mínimos. REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA DEFENSA UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA DE LA FUERZA ARMADA. NÚCLEO MÉRIDA INGENIERÍA DE SISTEMAS OPTIMIZACIÓN NO LINEAL Unidad II. Caracterizaciones de máximos y mínimos. Condiciones necesarias de primer orden. Condiciones de segundo orden. Existencia del máximo.
Condiciones necesarias de primer y segundo orden Se aplican a funciones de dos variables y se enuncia como sigue: Para que una función tenga un mínimo o un máximo local, 3 condiciones deben ser satisfechas: Condición necesaria Máximo Mínimo Primer orden f’(x)=f’(y)=0 Segundo orden f’’(x), f’’(y)<0 (Cóncava, hacia abajo) f’’(x), f’’(y)>0 (Convexa, hacia arriba) Adicional f’’(x)f’’(y)(a,b)>(fxy)2 f’’(x)f’’(y)(a,b)<(fxy)2
Existencia del máximo Para saber si una función contiene un máximo global o local es necesario no sólo conocer los puntos en que la derivada es igual a cero, también es necesario conocer como es el comportamiento de la derivada alrededor de ese punto.
Máximos / Mínimos globales Máximos / Mínimos locales Existencia del máximo Máximos / Mínimos globales Máximos / Mínimos locales a.- Encontrar los puntos críticos f’(x)=0 b.- Calcular la función evaluada en los puntos críticos. c.- Calcular la función evaluada en el intervalo dado. d.- El máximo y mínimo global de la función en el intervalo [a,b] son el mayor y el menor de los extremos de la función. 1.- Criterio de la primera derivada a.- Si f’(c) cambia de – a + f tiene un mínimo relativo en (c,f(c)) b.- Si f’(c) cambia de + a - f tiene un máximo relativo en (c,f(c)) c.- Si es – ó + en ambos lados, el criterio no decide. 2.- Criterio de la segunda derivada a.- Si f’’(c)>0 f tiene un mínimo relativo en (c,f(c)) b.- Si f’’(c)<0 f tiene un mínimo relativo en (c,f(c)) c.- Si f’’(c)=0, el criterio falla Ejemplo: en [-3,5]