GEOMETRÍA DE LAS SUPERFICIES Unidad Didáctica I – Principios Básicos para el Diseño de las Estructuras de Grandes Luces Clase 2 GEOMETRÍA DE LAS SUPERFICIES

CONFIGURACIONES BÁSICAS Genéricamente, los componentes básicos de toda configuración plana o espacial son: los PUNTOS; las LÍNEAS; y las SUPERFICIES

Tres puntos alineados en el plano determinan una recta ORGANIZACIÓN EN EL PLANO Tres puntos alineados en el plano determinan una recta Genéricamente, cualquier línea, tanto en el plano como en el espacio, se la conoce como curva

GENERACIÓN DE UNA LÍNEA RECTA Un punto que se desplaza, desarrolla en su recorrido una figura que se conoce como línea

GENERACIÓN DE UNA CURVA

GENERACIÓN DE UNA SUPERFICIE Asimismo, una línea que se desplaza en sentido contrapuesto al de su generación, desarrolla una nueva figura conocida como superficie

GENERACIÓN DE UNA SUPERFICIE O REGIÓN E_III_EnLínea

SECCIONES CÓNICAS corte perpendicular al eje corte oblicuo completo corte oblicuo paralelo a la línea generatriz corte paralelo al eje

CIRCUNFERENCIA tangente secante Una circunferencia es un conjunto de puntos del plano equidistantes de otro fijo, llamado centro

ELIPSE 1 2 La elipse es el lugar geométrico de todos los puntos de un plano, tales que la suma de las distancias a otros dos puntos fijos llamados focos es una constante positiva

PARÁBOLA Es el lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de una recta (eje o directriz) y un punto fijo llamado foco. En geometría proyectiva, la parábola se define como la curva envolvente de las rectas que unen pares de puntos homólogos en una proyectividad semejante o semejanza.

CATENARIA

PULSA EN LA IMAGEN PARA VER LA ANIMACIÓN PARÁBOLA y CATENARIA PULSA EN LA IMAGEN PARA VER LA ANIMACIÓN CONSTRUCCIÓN DE UNA PARÁBOLA

HIPÉRBOLA Una hipérbola es el lugar geométrico de los puntos de un plano tales que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es igual a la distancia entre los vértices, la cual es una constante positiva. http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/SUPERIOR/t1-conicas/4-Hiperbola/index.html

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RADIO DE CURVATURA Las curvas, en cualquiera de sus puntos, tienen un radio de curvatura (r) cuyo valor está en función de la derivada primera y la derivada segunda de la curva en cuestión.

En otros términos, en cualquier punto de la curva, el radio de curvatura coincide con el radio de su círculo osculatriz El círculo osculatriz y la curva coinciden en ese punto en su derivada primera, es decir, tienen en común tres puntos infinitamente próximos, que representan la pendiente de ambas curvas en ese punto.

RADIO DE CURVATURA

CURVATURA DE UNA LÍNEA El valor de la curvatura de una línea en un punto de la misma es inverso al valor del radio en ese punto

DOBLE CURVATURA DE UNA SUPERFICIE Toda superficie tiene doble curvatura, cada una en el sentido de cada una de las líneas que la determinan (directriz y generatriz)

CURVATURA MEDIA DE UNA SUPERFICIE

CURVATURA TOTAL DE UNA SUPERFICIE

CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD DE UNA SUPERFICIE

según su curvatura total se determinan tres tipos de superficie: CURVATURA TOTAL NULA CT = Ca (0) x Cb (“+” ó “-”) = 0 ; o también CT = Ca (0) x Cb (0) = 0 CURVATURA TOTAL POSITIVA CT = Ca (“+”) x Cb (“+”) > 0 CT = Ca (“-”) x Cb (“-”) > 0 CURVATURA TOTAL NEGATIVA CT = Ca (“+”) x Cb (“-”) < 0 CT = Ca (“-”) x Cb (“+”) < 0

SUPERFICIES DE CURVATURA TOTAL NULA SUPERFICIE PLANA

SUPERFICIES DE CURVATURA TOTAL NULA SUPERFICIES CILÍNDRICAS

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SUPERFICIES DE CURVATURA TOTAL NULA SUPERFICIE CÓNICA

CURVATURA TOTAL POSITIVA SUPERFICIES DE CURVATURA TOTAL POSITIVA SUPERFICIE ESFÉRICA

CURVATURA TOTAL POSITIVA SUPERFICIES DE CURVATURA TOTAL POSITIVA CÚPULA

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CURVATURA TOTAL POSITIVA SUPERFICIES DE CURVATURA TOTAL POSITIVA PARABOLOIDE ELÍPTICO

CURVATURA TOTAL POSITIVA SUPERFICIES DE CURVATURA TOTAL POSITIVA ELIPSOIDE DE REVOLUCIÓN

CURVATURA TOTAL POSITIVA SUPERFICIES DE CURVATURA TOTAL POSITIVA PARABOLOIDE DE REVOLUCIÓN

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CURVATURA TOTAL POSITIVA SUPERFICIES DE CURVATURA TOTAL POSITIVA HiPERBOLOIDE DE DOS HOJAS

CURVATURA TOTAL NEGATIVA GENERADO POR PARÁBOLAS SUPERFICIES DE CURVATURA TOTAL NEGATIVA PARABOLOIDE HIPERBÓLICO GENERADO POR PARÁBOLAS

CURVATURA TOTAL NEGATIVA SUPERFICIES DE CURVATURA TOTAL NEGATIVA PARABOLOIDE HIPERBÓLICO GENERADO POR RECTAS

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CURVATURA TOTAL NEGATIVA SUPERFICIES DE CURVATURA TOTAL NEGATIVA GENERADO POR PARÁBOLAS GENERADO POR RECTAS HIPERBOLOIDES DE UNA HOJA

CURVATURA TOTAL NEGATIVA SUPERFICIES DE CURVATURA TOTAL NEGATIVA HELICOIDE

La cónica tiene por directrices dos hélices de las direcciones. La recta de apoyo directo coincide con el eje del cono.

SUPERFICIES QUE POSEEN DOS CURVATURAS TOTALES: POSITIVA Y NEGATIVA TORO

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SUPERFICIES QUE POSEEN DOS CURVATURAS TOTALES: POSITIVA Y NEGATIVA PARABOLOIDE PARABÓLICO

El significado geométrico de la curvatura: superficies de curvatura media constante Conferencia pronunciada por Luis J. Alías Linares http://www.f-seneca.org/seneca/informes/Matematicas.pdf