DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS LOS NÚMEROS REALES Prof: Haroldo Cornejo Olivarí
Introducción El ente básico de la parte de la matemática conocida como ANÁLISIS, lo constituye el llamado sistema de los número reales. Números tales como: 1, , 3, 3 e, π y sus correspondientes negativos, son usados en mediciones cuantitativas. Existen dos métodos principales para estudiar el sistema de los números reales. Uno de ellos comienza con un sistema mas primitivo – tal como el conjunto de los números naturales o enteros positivos; 1, 2, 3, 4, ... , y a partir de él, por medio de una secuencia lógica de definiciones y teoremas, se construye el sistema de los números reales.
En el segundo método se hace una descripción formal del sistema de los números reales (asumiendo que existe), por medio de un conjunto fundamental de propiedades (axiomas) de las cuales muchas otras propiedades pueden deducirse. En esta primera parte, se hará una presentación intuitiva del conjunto de los números reales. Se parte de un conjunto primitivo como es el conjunto N de los números naturales y se efectúan las sucesivas ampliaciones del mismo, atendiendo mas a la necesidad de resolver ciertas ecuaciones, en las cuales los conjuntos que se van definiendo resultan insuficientes para la solución, que a un desarrollo axiomático del mismo.
CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES El conjunto de los números reales está constituido por diferentes clases de números. Entre ellas, se pueden mencionar los siguientes 6 conjuntos:
1. Conjunto de los números naturales. El conjunto de los números naturales, que se denota por N ó también por Z+, corrientemente se presenta asi: N = {1, 2, 3, 4, 5, ...}
2. Conjunto de los números enteros. El conjunto de los números enteros, que se denota por Z , corrientemente se presenta así: Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...} En el conjunto de los números enteros, se pueden resolver ecuaciones que no tienen solución en N , como sucede por ejemplo con la ecuación x + 3 = 1, cuya solución es x = -2. Puede notarse que N Z. Z. N
3. Conjunto de los números racionales. El conjunto de los números racionales, que se denota por Q, se define de la siguiente manera: Q = {a/b a, b son enteros y b0 } La introducción de los números racionales responde al problema de resolver la ecuación: ax = b, con a, b R, a 0. Ésta tiene solución en Z, sólo en el caso particular en que a es un divisor de b
Note que todo entero n puede escribirse como el número racional n/1 y, en consecuencia, se puede concluir que: Z Q Q Z N
4. Conjunto de los números irracionales. El conjunto de los números irracionales, que se denota por Q*, está constituido por los números reales que no admiten la representación racional. Ejemplos de esta clase de números son: el número e (base del logaritmo natural), , Las raíces de valores que no son cuadrados perfectos, etc. En este conjunto, se pueden resolver ecuaciones que no tienen solución en Q , como sucede, por ejemplo, con la ecuación x2 – 2 = 0, cuyas soluciones son: x =2 , que no son números racionales.
5. Conjunto R de los números reales Q R =Q Q*. Z N En el conjunto R de los números reales, están definidas dos operaciones: adición (+) y multiplicación (∙), las cuales verifican las siguientes propiedades (llamadas también axiomas de cuerpo).
Axiomas de cuerpo Sean a, b, c, d 1. Clausura a + b a b 2. Conmutativa a + b = b + a a b = b a 3. Asociativa a +( b + c )= (a + b) + c a ( b c )= (a b) c 4. Elemento Neutro l! 0 / a + 0 = 0 + a = a El real 0 es llamado: elemento neutro aditivo. l! 1 / a 1 = 1 a = a El real 1 es llamado: elemento neutro multiplicativo.
a + (-a) = 0 a a-1 = a = 1 5. Elemento Inverso Para cada número real a, existe un real único llamado el inverso aditivo de a, y que se denota “–a” tal que: a + (-a) = 0 Para cada número real a 0, existe un real único llamado el recíproco de a, (inverso multiplicativo) y que se denota por a-1 ó tal que: a a-1 = a = 1 6. Distributiva a, b, c, R , a (b+c) = ab + ac
para la adición x + y = x + z y = z CONSECUENCIAS IMPORTANTES DE LOS AXIOMAS DE CUERPO T1. Ley cancelativa: para la adición x + y = x + z y = z Para la multiplicación Si x 0, x∙y = x∙z y = z T2. a, b R, la ecuación: x + a = b, tiene una y solo una solución en R. T3. x R , x ∙ 0 = 0 T4. x ∙ y = 0 x = 0 v y = 0. T5. x R , si x 0, entonces x-1 = 0. T6. Si y 0, entonces, T7. x R , -(-x) = x. T8. Si x 0, entonces (x-1)-1 = x
T9. x, y R, -(x + y) = (-x) + (-y) T10. Si x 0, y 0, entonces (xy)-1 = x-1.y-1 = T11. Si b 0, d 0, entonces T12. Si b 0, d 0, entonces T13. Si b 0, d 0, entonces T14. x R , -x = (-1)x T15. (-1) (-1) = 1
T16. (-x) (-y) = xy T17. -(xy) = (-x)y = x(-y) T18. y 0 T19. x(y-z) = x ∙ y – x ∙ z T20. (x-y) + (y-z) = x – z T21. (a-b) - (c-d) = (a+d) – (b+c) T22. (a + b) (c + d) = (a c + b d) + (a d + b c) T23. (a - b) (c - d) = (a c + b d) - (a d + b c) T24. a - b = c – d a + d = b + c T25. Si x2 = x x, entonces, x2 – y2 = (x-y) (x+y)
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