TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA FUENTES DE CAMPO MAGNÉTICO

FUENTES DE CAMPO MAGNÉTICO Campo Magnético creado por una carga puntual en movimiento Corrientes eléctricas, Ley de Biot y Savart Ley de Gauss para el magnetismo Ley de Ampere

CARGA PUNTUAL EN MOVIMIENTO Cuando una carga puntual q se mueve con velocidad v se produce un campo magnético B en el espacio

CARGAS EN MOVIMIENTO B = El campo magnético B en cualquier punto está dado por m0 qv x r B = 2 4p r Con m0 la constante de permeabilidad en el vacío -7 -7 2 m0 = 4p x 10 T m/A = 4p x 10 N/A

CARGAS EN MOVIMIENTO Ejercicio Una carga puntual q = 4.5 nC se mueve con velocidad v = 3.6 x 10 m/s i paralelamente al eje X a lo largo de la recta y = 3m. Determinar el campo magnético producido en el origen por esta carga cuando se encuentra en el punto x = -4m, y = 3m. 3 Respuesta B = -3.24 x 10 T k

LEY DE BIOT Y SAVART http://video.google.com/videoplay?docid=-3614547206167077169#

LEY DE BIOT Y SAVART Cuando se tiene un conjunto de cargas (corriente) a través de un elemento conductor, se genera también un campo magnético B

LEY DE BIOT Y SAVART dB = B = En este caso B depende del elemento de corriente I dl m0 Idl x r dB = 2 4p r m0 Idl x r B = 2 4p r

LEY DE BIOT Y SAVART dH = B = m0H En función de la densidad de campo magnético, H, se escribe Idl x r dH = 2 4pr De donde B = m0H

LEY DE BIOT Y SAVART B debido a la corriente en una espira de radio R. Y m0 Idl x r dB = 2 4p r r |dl x r |= dl |r| sen q R Con r = 1 y q = 90° y sen 90°= 1 X |dl x r | = dl

LEY DE BIOT Y SAVART dB = B = dB = dl dl = R dq = 2pR Así: m0 Idl 4p R Evaluando la integral en coordenadas polares resulta: 2p dl = R dq = 2pR

LEY DE BIOT Y SAVART De donde: m0 I2pR m0I B = = 4p 2 2R R

LEY DE BIOT Y SAVART Ejercicio Respuesta Hallar la corriente en una espira circular de 8 cm de radio que pueda crear un campo magnético de 2G en el centro de la espira. Respuesta I = 25.5 A.

LEY DE BIOT Y SAVART |dB| = = By = 0 Para un punto P fuera de la espira m0 I|dl x r| m0 Idl |dB| = = 2 4p r 4p 2 x + R Las componentes en el eje Y se cancelaran para cada par de puntos opuestos en el circulo, así: By = 0

LEY DE BIOT Y SAVART |dB| = = dBx = dB sen q = Colocando el punto en el eje X (la espira en YZ) m0 I|dl x r| m0 Idl |dB| = = 2 4p r 4p 2 x + R 2 2 2 Con , dl y r perpendiculares y r = x + R R R sen q = = r 1/2 2 [x + R ] m0 Idl R dBx = dB sen q = 1/2 4p 2 x + R 2 [x + R ]

LEY DE BIOT Y SAVART Bx = dBx = = dl dl = R dq = 2pR Bx = 2pR = Así, el campo resultante será: m0 RIdl m0 RI Bx = dBx = = dl 3/2 3/2 4p 2 [x + R ] 4p 2 [x + R ] Con: 2p dl = R dq = 2pR Se tiene: 2 m0 RI m0 R I Bx = 2pR = 3/2 3/2 4p 2 [x + R ] 2 2 [x + R ]

LEY DE BIOT Y SAVART Bx = Bx = En función del momento magnético m de la espira 2 m = IpR m0 2m Bx = 3/2 4p 2 [x + R ] A una distancia muy grande de la espira x>>R la expresión se reduce a: m0 2m Bx = 4p | x | 3

LEY DE BIOT Y SAVART Ejercicio Respuesta Una bobina circular de radio 5.0 cm tiene 12 vueltas y se encuentra en el plano YZ. Por ella circula una corriente de 4 A en un sentido tal que el momento magnético de la espira está dirigido a lo largo del eje X. Determinar el campo magnético sobre el eje X en (a) x = 0, (b) x = 15 cm y (c) x = 3 m. Respuesta I = 25.5 A.

LEY DE BIOT Y SAVART Bx = = 6.03 x 10 T Bx = = 1.91 x 10 T Respuesta: a) Bx = = 6.03 x 10 T m0NI 2R -4 b) Bx = = 1.91 x 10 T m0 2 R NI [x + R ] 3/2 -5 c) Bx = = 2.8 x 10 T -9 m0 4p 2Nm | x | 3

LEY DE BIOT Y SAVART Ejercicio Respuesta Una pequeña barra magnética de momento magnético m = 0.03 A m se sitúa en el centro de la bobina del ejercicio anterior modo que su momento magnético se encuentra en el plano XY y forma un ángulo de 30° con el eje X. Despreciando cualquier variación de B en la región ocupada por el imán calcular la torca ejercida sobre el imán. 2 Respuesta t = - 9.04 x 10 Nm k. -6

LEY DE BIOT Y SAVART B debido a la corriente en un solenoide

LEY DE BIOT Y SAVART Considérese un solenoide de longitud L formado por N vueltas de cable conductor que transporta una corriente de intensidad I. Colocando el eje del solenoide en X Y x0 x1 x dx X

LEY DE BIOT Y SAVART Tomando el número de vueltas por unidad de longitud como el elemento diferencial de corriente será: n = N/L di = nIdx Y x0 x1 L x x dx X

LEY DE BIOT Y SAVART dBx = Bx = 2pR nI m0 4p [x + R ] m0 dx 4p El campo magnético en un punto sobre el eje X por una espira colocada en el origen será: m0 2pR nIdx 2 dBx = 3/2 4p 2 [x + R ] Para el solenoide completo x1 m0 2 dx Bx = 2pR nI 3/2 4p 2 [x + R ] x0

LEY DE BIOT Y SAVART Bx = 2pR nI 1 Bx = m0nI [ + ] Bx = m0nI m0 x Así x1 m0 x 2 Bx = 2pR nI 2 R [x + R ] 1/2 4p x0 x1 x0 1 Bx = m0nI [ + ] 2 2 1/2 2 2 1/2 [x1 + R ] [x0 + R ] 2 Si L>>R Bx = m0nI Para un solenoide largo con n vueltas

LEY DE BIOT Y SAVART Ejercicio Respuesta Determinar el campo magnético en el centro de un solenoide de longitud 20 cm, radio 1.4 cm y 600 vueltas, por el que circula una corriente de intensidad 4 A. Respuesta B = 1.5 x 10 T -2

LEY DE BIOT Y SAVART B debido a la corriente en un conductor rectilíneo

LEY DE BIOT Y SAVART dB = sen f dB = cos q B debido a la corriente en un conductor rectilíneo m0 Idx dB = sen f 4p r 2 m0 Idx dB = cos q 4p r 2

LEY DE BIOT Y SAVART x = y tanq y secq = r/y dx = y sec q dq = y dq De la figura x = y tanq y secq = r/y r 2 dx = y sec q dq = y dq 2 y 2 r 2 dx = dq y

LEY DE BIOT Y SAVART dB = cos q = cos q dq B = cos q dq Así, para un segmento del conductor, con y = R : m0 r dq 2 m0 I I dB = cos q = cos q dq 4p r 2 R 4p R q1 m0 I B = cos q dq 4p R q0 m0 I B = (sen q1 - sen q0) 4p R

LEY DE BIOT Y SAVART B = m0 2I 4p R Así, para el conductor completo, con q0 = -90° y q1 = + 90° : m0 2I B = 4p R

LEY DE BIOT Y SAVART BL = (sen q1 - sen q0) BL = (sen 45°- sen (-45°)) Ejercicio Determinar el campo magnético en el centro de una espira de corriente cuadrada de lado L = 50cm por la cual circula una corriente de intensidad 1.5 A Solución Para cada lado de la espira m0 2I BL = (sen q1 - sen q0) 4p R m0 I BL = (sen 45°- sen (-45°)) 4p L/2

LEY DE BIOT Y SAVART B = 4BL = 4BL = 3.39 x 10 T Y, para la espira completa: -6 B = 4BL = 4BL = 3.39 x 10 T

LEY DE BIOT Y SAVART F entre dos conductores paralelos

LEY DE BIOT Y SAVART F entre dos conductores paralelos

LEY DE BIOT Y SAVART dF2 = |Idl2 x B1| dF2 = I2dl2 B1 dF2 = I2dl2 El módulo de la fuerza magnética sobre el segmento I2dl2 es dF2 = |Idl2 x B1| dF2 = I2dl2 B1 Si la distancia de separación entre los conductores a, es mucho menor que la longitud l, el campo es igual que el generado por un conductor infinitamente largo m0I1 dF2 = I2dl2 2p R

LEY DE BIOT Y SAVART dF2 = I2 = 2 F2 = La fuerza por unidad de longitud es dF2 m0I1 m0 I1 I2 = I2 = 2 dl2 2p a 4p a m0 LI1 I2 F2 = 2p a

LEY DE BIOT Y SAVART Ejercicio Respuesta Dos barras rectilíneas de 50 cm y separadas 1.5 mm en una balanza de corriente transportan corrientes de 1.5 A de intensidad en direcciones opuestas. ¿Qué masa debe situarse en la barra superior para equilibrar la fuerza magnética de repulsión? Respuesta m = 1.53 x 10 g -3

LEY DE GAUSS PARA EL MAGNETISMO Flujo de campo magnético a través de una superficie gaussiana

LEY DE GAUSS PARA EL MAGNETISMO El flujo magnético a través de una superficie cerrada es Fm = BndA = 0 S

LEY DE AMPERE El campo magnético B en un contorno cerrado C es proporcional a la corriente que atraviesa la superficie S limitada por C C S B

LEY DE AMPERE B dl = m0IC C C S B

LEY DE AMPERE Para un alambre largo y recto C S

LEY DE AMPERE B dl = B dl = B 2pR C C C S

LEY DE AMPERE B 2pR = m0IC B = Para un alambre largo y recto m0I1 2p R De donde m0I1 B = 2p R

LEY DE AMPERE B dl = B dl = B dl = B dl = B dl B L = m0nLI B = m0nI Para un solenoide B dl = B dl = B dl = B dl = B dl C C1 C2 C3 C4 B L = m0nLI B = m0nI

LEY DE AMPERE Para un Toroide http://www.youtube.com/watch?v=jdsUQs9w0u w

LEY DE AMPERE B debido a la corriente en un toroide

LEY DE AMPERE B dl = B2pr = m0IC Un toroide puede considerarse como un solenoide que se dobla formando una dona. Las líneas del campo magnético forman círculos concéntricos dentro del toroide B dl = B2pr = m0IC C

LEY DE AMPERE B2pr = m0NI B = Si a y b son los radios interior y exterior del toroide, la corriente total a través de la superficie limitada por un círculo de radio r entre a y b será NI B2pr = m0NI m0NI B = 2p r