TEMA 4 COMBINATORIA

1. Introducción a la combinatoria 2. Variaciones. -sin repetición -con repetición 3. Permutaciones. 4. Combinaciones. -sin repeticiones -con repeticiones 5. Números combinatorios. Propiedades. 6. Potencia de un binomio. Binomio de Newton. 7. Planteamiento de un problema de combinatoria.

1. Introducción a la combinatoria La Combinatoria es la parte de las Matemáticas que se ocupa de estudiar procedimientos y estrategias para contar las posibles agrupaciones de los elementos de un conjunto. El estudio de la combinatoria constituye la base que sostiene el análisis y solución de muchos problemas relacionados con la teoría de las probabilidades y sus aplicaciones prácticas. Con los problemas combinatorios deben enfrentarse los biólogos, físicos, químicos, los matemáticos, lingüistas, ingenieros y muchos otros usuarios.

•Objetivo: ANALIZAR, CLASIFICAR y RESOLVER los PROBLEMAS. Existen distintas formas de realizar estas agrupaciones, según se repitan los elementos o no, según se puedan tomar todos los elementos de que disponemos o no y si influye o no el orden de colocación de los elementos como por ejemplo: * Combinaciones * Permutaciones * Variaciones con repetición o sin repetición •Objetivo: ANALIZAR, CLASIFICAR y RESOLVER los PROBLEMAS. –Adquirir la capacidad de poder analizar y clasificar un problema de recuento. Aplicar alguno de los métodos conocidos. –A veces, hay que descomponer el problema en subproblemas que se puedan resolver directamente. Después, hay que construir la solución del problema.

2. Variaciones. -sin repetición. Las variaciones sin repetición de n elementos tomados de p en p se definen como las distintas agrupaciones formadas con p elementos distintos, eligiéndolos de entre los n elementos de que disponemos, considerando una variación distinta a otra tanto si difieren en algún elemento como si están situados en distinto orden. El número de variaciones que se pueden constriur se puede calcular mediante la fórmula:

-con repetición. Las variaciones con repetición de n elementos tomados de p en p se definen como las distintas agrupaciones formadas con p elementos que pueden repetirse, eligiéndolos de entre los n elementos de que disponemos, considerando una variación distinta a otra tanto si difieren en algún elemento como si están situados en distinto orden. Su fórmula es :

3. Permutaciones. -sin repetición. Las permutaciones sin repetición de n elementos se definen como las distintas formas de ordenar todos esos elementos distintos, por lo que la única diferencia entre ellas es el orden de colocación de sus elementos.

-con repetición. Permutaciones con repetición de n elementos en las que el primer elemento se repite n1 veces, el segundo se repite n2 veces ... y el último se repite nk veces, son los distintos grupos de n elementos que se pueden hacer de forma que en cada grupo, cada elemento aparezca el número de veces indicado y que dos grupos se diferencian únicamente en el orden de colocación de los elementos. Se representa por: PRnn1,n2,...,nk.

Permutaciones con repetición Ejemplo. Si construimos las permutaciones sin repetición de cinco elementos en las que el número 1 se repite dos veces y el número 2 se repite tres veces: ▪ tenemos que formar grupos de cinco elementos utilizando exactamente dos veces el 1 y tres veces el 2. ▪ los grupos (1,1,1,2,2) y (1,2,1,2,1) son distintos, aunque tienen los mismos elementos, están colocados en distinto orden.

Permutaciones sin repetición. Ejemplo. Si con los elementos del conjunto A={1,2,3,4} construimos las permutaciones sin repetición de orden cuatro: ▪ tenemos que formar grupos de cuatro elementos. ▪ los grupos (1,2,3,4) y (3,1,4,2) son distintos, aunque tienen los mismos elementos, están colocados en distinto orden. ▪ el grupo (1,1,2,3) no es válido porque tiene elementos repetidos.

4. Combinaciones. -sin repeticiones. Las combinaciones sin repetición de n elementos tomados de p en p se definen como las distintas agrupaciones formadas con p elementos distintos, eligiéndolos de entre los n elementos de que disponemos, considerando una variación distinta a otra sólo si difieren en algún elemento, (No influye el orden de colocación de sus elementos). Se calcula mediante la fórmula:

EJEMPLO. En una clase de 35 alumnos se quiere elegir un comité formado por tres alumnos. ¿Cuántos comités diferentes se pueden formar? No entran todos los elementos. No importa el orden: Juan, Ana. No se repiten los elementos. Combinaciones De esta forma, se pueden realizar distintos cálculos; para lo cual debemos elegir "p" y "n" en el CALCULADOR.

-con repeticiones. Combinaciones con repetición de m elementos tomados de n en n son los distintos grupos de n elementos iguales o distintos que se pueden hacer con los m elementos que tenemos, de forma que dos grupos se diferencian en algún elemento y no en el orden de colocación. Se representa por: Crm,n. Ejemplo. Si con los elementos del conjunto A={1,2,3,4} construimos las combinaciones con repetición de orden tres: ▪ los grupos (1,2,3) y (1,2,4) son distintos porque tienen un elemento distinto. ▪ los grupos (1,2,3) y (3,2,1) son iguales porque tienen los mismos elementos aunque estén colocados en distinto orden. ▪ el grupo (1,1,2) es válido porque los elementos se pueden repetir.

5. Números combinatorios. Propiedades. El número Cm, n se conoce también como número combinatorio. Son utilizados para expresar las combinaciones. Las combinaciones de n elementos tomados de m en m, cuentan el número de grupos diferentes que se pueden formar con m elementos distintos, elegidos de un conjunto de n elementos.

Propiedades. 1. 2. 3.

6. Potencia de un binomio. Binomio de Newton. El cuadrado de una suma (a + b)2 o el cuadrado de una resta (a - b)2 son sólo los casos más sencillos cuando elevamos un binomio a una potencia. Para estos casos, son conocidas las fórmulas "el cuadrado del primero más (o menos) el doble del primero por el segundo más el cuadrado del segundo", es decir: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a - b)2 = a2 - 2ab + b2 Si generalizamos esto para cualquier exponente n, tenemos lo que se conoce como "Binomio de Newton".

Según esta fórmula, los coeficientes del desarrollo de (a + b)n son los números combinatorios mientras que los términos van disminuyendo el grado de a de uno en uno y aumentando el de b de uno en uno (de forma que la suma de los exponentes siempre es n), con lo que obtenemos:

Por ejemplo: (a + b)6 = a6 + 6a5b + 15a4b2 + 20a3b3 + 15a2b4 + 6ab5 + b6 (a - b)6 = a6 - 6a5b + 15a4b2 - 20a3b3 + 15a2b4 - 6ab5 + b6

7. Planteamiento de un problema de combinatoria. Importa el orden si Intervienen todos los elementos si no SE REPITEN LOS ELEMENTOS SE REPITEN LOS ELEMENTOS si no si no PERMUTACIONES CON REPETICIONES PERMUTACIONES SIN REPETICIONES VARIACIONES CON REPETICIONES VARIACIONES SIN REPETICIONES

no Importa el orden Se puede repetir no si Combinaciones Combinaciones Sin repeticiones Combinaciones Con repeticiones