Autora: Mª Soledad Vega Fernández Departamento de Matemáticas OPERACIONES CON VECTORES (incompleto) Autora: Mª Soledad Vega Fernández

Es otro vector que se obtiene de la siguiente forma: Departamento de Matemáticas SUMA DE VECTORES Es otro vector que se obtiene de la siguiente forma: O bien

PRODUCTO DE UN VECTOR ( ) POR UN ESCALAR (k) Departamento de Matemáticas PRODUCTO DE UN VECTOR ( ) POR UN ESCALAR (k) Es otro vector que se obtiene de la siguiente forma: Si k >0 ( 2 por ej.) Si k < 0 ( -2 por ej.)

PRODUCTOS DE VECTORES Producto vectorial v x w (o v w) Producto escalar v · w: Es un vector definido por: Es un número real que se obtiene: α Módulo: Perpendicular al plano que contiene a los vectores v w α Producto mixto: [u,v,w] Dirección: Es un número real que se obtiene: [u,v,w] = u ·( v x w) El de avance de un sacacorchos que gira de v a w Sentido: Departamento de Matemáticas

PRODUCTOS DE VECTORES: Expresiones analíticas Departamento de Matemáticas PRODUCTOS DE VECTORES: Expresiones analíticas Si los vectores están expresados en una base ortonormal, los productos quedan de la forma: Producto escalar v · w: Producto mixto: [u,v,w] Es el nº que se obtiene al desarrollar el determinante: Producto vectorial v x w: Vector cuyas componentes son los coeficientes de que se obtienen al desarrollar el:

PRODUCTOS DE VECTORES: Interpretación geométrica Departamento de Matemáticas PRODUCTOS DE VECTORES: Interpretación geométrica Producto vectorial v x w: Producto escalar v · w: Módulo del vector v x w = Área del paralelogramo que tiene por lados v y w A B w v v w h Proyección de w sobre v base altura Producto mixto: Área base Altura [u , v, w] = Volumen del paralelepípedo que tiene por aristas los vectores u,v y w

PRODUCTOS DE VECTORES: Propiedades Departamento de Matemáticas PRODUCTOS DE VECTORES: Propiedades Producto escalar: Módulo de Módulo de un vector

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PRODUCTOS DE VECTORES: Ejercicios Departamento de Matemáticas PRODUCTOS DE VECTORES: Ejercicios Ejercicio nº 1.- a) Halla un vector unitario que sea perpendicular a (3, -1, 1) y a (1, -2, 0). Solución: a) Un vector perpendicular a los dos dados es: (3, -1, 1) x (1, -2, 0) = (2, 1, -5) Dividiendo por su módulo, tendrá módulo 1: También cumple las condiciones su opuesto: b) En general, no es cierto. Por ejemplo:

PRODUCTOS DE VECTORES: Ejercicios Departamento de Matemáticas PRODUCTOS DE VECTORES: Ejercicios Ejercicio nº 2.- b) ¿Cuánto valen cada uno de los siguientes productos mixtos?: Solución: de su producto mixto: b) Utilizando las propiedades de los determinantes, tenemos que:

PRODUCTOS DE VECTORES: Ejercicios Departamento de Matemáticas PRODUCTOS DE VECTORES: Ejercicios Ejercicio 3.- Solución: Hay dos soluciones:

PRODUCTOS DE VECTORES: Ejercicios Departamento de Matemáticas PRODUCTOS DE VECTORES: Ejercicios Ejercicio nº 4.- Solución: vectorial: Ejercicio nº 3.- El volumen del paralelepípedo determinado por ellos. Solución: Es igual al valor absoluto de su producto mixto:

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