1 Sistemas de ayuda a la decisión Modelización de las Preferencias Tema 3. Preferencias y utilidad Indice 1) Motivación. Criterio EMV. Paradoja SP 2) Preferencias sobre loterías. Simples y compuestas 3) Teoría de la utilidad. Axiomas. Equivalencia estratégica 4) Construcción de modelos de preferencias. Funciones de utilidad. Sesgos. Paradoja de Allais. 5) Actitud frente al riesgo. Prima de riesgo. Aficción, aversión y neutralidad. Medida de Pratt. 6) Utilidad multiatributo. Independencia en utilidad, mutua independencia en utilidad, independencia aditiva. Exisistencia de utilidad aditiva y multiplicativa para dos atributos. Asignación multiatributo

2 Sistemas de ayuda a la decisión Modelización de las Preferencias Motivación Decisión en certidumbre e incertidumbre Las consecuencias de las alternativas de decisión dependen del estado El estado es determinista o aleatorio Se considera una alternativa con la distribución de probabilidad de las posibles consecuencias La mejor alternativa se deduce al contemplar las consecuencias y la incertidumbre Se buscan criterios para formular las preferencias por las consecuencias

3 Sistemas de ayuda a la decisión Modelización de las Preferencias Vendedor, pedido de temporada, compra la unidad a 0.18 €/kg, vende la unidad a 0.32 €/kg, pierde la mercancía no vendida: Estados Alternativas EMVE[u] ¼¼½ Probabilidad No desea tener perdidas, no desea perder clientes,… Preferencias individuales Asignación de un valor de utilidad: escala de preferencias sobre las consecuencias y utilidad esperada u(-150)=-1.0, u(30)=0.1, u(210)=0.4, u(240)=0.6, u(420)=0.8, u(630)=1.0

4 Sistemas de ayuda a la decisión Modelización de las Preferencias Juegos, escenarios de elección: Preferencia entre a1 ó a2? Mayoría: a1 > a2 EMV: a1 ~ a2 Mayoría: a1 > a2 EMV(a1) = 10 < EMV(a2) = 750 Paradoja de San Petersburgo Pagar por jugar a: lanzar una moneda (1/2,1/2) hasta que salga cara por primera vez. El premio es 2 n si ocurre en la tirada n-ensima EMV = Σ 2 n (1/2) n = infinito. EMV:”pagar cualquier cantidad” EMV no es una medida apropiada para elegir sin información completa 1½½ ½½ a1a2

5 Sistemas de ayuda a la decisión Modelización de las Preferencias Expresión de las preferencias: comparación de juegos/loterías Lotería simple l = pi = P(ganar el premio xi)  0, Σpi = 1 X: conjunto (finito) de premio xi, x1  x2  …  xn Lotería compuesta qi = P(participar en la lotería li ó ganar el premio xi)  0, Σqi = 1 L: conjunto de loterías Composición finita de loterías Discurso de preferencias sobre el conjunto de loterías A = X  L U {….}

6 Sistemas de ayuda a la decisión Modelización de las Preferencias Axiomas de la utilidad –French– Relación de preferencia débil en A: a>=b “a al menos tan preferida como b” a>b “a es preferido a b” a~b “a es indiferente a b” A1) las preferencias en A constituyen un orden débil Transitiva: a>=b, b>=c  a>=c Completa: a>=b, b>=a ó ambos Consistente: a~b  a>=b y b>=a, a>b  b>/=a Implica: > es un orden estricto (antisimétrica y transitiva), ~ es una relación de equivalencia (reflexiva, simétrica y transitiva) Si a~b y b>c  a>c Si a>b y b~c  a>c Alguna de las proposiciones: a>b, a~b, b>a son ciertas

7 Sistemas de ayuda a la decisión Modelización de las Preferencias Axiomas de la utilidad –French– A2) No trivilalidad: para el decisor es x1 > xn, el premio es relevante A3) Reducción de loterías compuestas: l= l=, l1=, l2=, l’= (p1=q1*p11+q2*p21, p2=q1*p12+q2*p22) l~l’, l’ deducida de la compuesta mediante el teorema de la probabilidad total xi ~, lotería degenerada 3/20¼3/5 ~ 1/51/53/5 con x1x2x3l1x2x3 l1 =¾¼ x1x2 3/20=1/5*3/4, ¼= 1/5*1/4+1/5, 3/5=3/5 Las preferencias dependen sólo de los premios últimos y sus probabilidades, no del mecanismo de composición

8 Sistemas de ayuda a la decisión Modelización de las Preferencias A4) Sustitución: a,b  A / a~b y l,l’  A / y  l<~l’ Si dos elementos de A son indiferentes, no es importante cual se obtiene en una lotería Lotería de referencia: x1pxn , rueda de la fortuna A5) Experimento de referencia: x1pxn  A  p  [0,1]  A = X  L  x1pxn |A| > |L|, A < conjunto de loterías compuestas A6) Monotonía: x1 p xn >= x1 p’ xn  p  p’ A7) Continuidad:  xi  X  pi  [0,1] / xi ~ x1pxn, lógico: p= p> 1pero al revés si p= Análisis de sensibilidad+imprecisión Hay premios xi para los que no  pi, siempre al revés con otras p’s p=11-p> 1Con pi pequeño si deberiamos 50Muerte 10P(accidente) > , seguros, pi  indiferencia

9 Sistemas de ayuda a la decisión Modelización de las Preferencias Existencia de u Si las preferencias cumplen A1)—A7)   u(·), función de utilidad, sobre X que representa >= según: xi>=xj  u(xi)  u(xj)  xi, xj  X. Y dadas l1= y l2= es l1 >= l2  Σ ri u(xi)  Σ qi u(xi)  l1, l2  A. u(·) es una función de valor ordinal para cada decisor E[u(·)] sirve para representar las preferencias del decisor sobre las loterías Principio de max E[u(·)] La lotería más preferida será la de max E[u(·)] r1 r2r 3 ~…..r1r2r3 x1 x2 x3x1p1x3 x1p2x3 x1p3x3  x1(Σ ripi)x3 ~ l1. u(l1) = Σ ripi = Σ ri u(xi) xi >= xj  x1pix3 >= x1pjx3  pi = u(xi)  pj = u(xj)

10 Sistemas de ayuda a la decisión Modelización de las Preferencias Equivalencia estratégica Unicidad de u(·) salvo transformaciones afines positivas Si u(·) es f.u. sobre X  w(·) = au(·)+b, a>0, representa las mismas preferencias Si u(·) y w(·) son dos f.u sobre X que representan las mismas preferencias   a>0 y b / w(·) = au(·)+b  La escala de u(·) se puede cambiar para forzar el intervalo de trabajo sin afectar al orden de las utilidades Σ ri u(xi)  Σ qi u(xi)  Σ ri a u(xi) + b  Σ qi a u(xi) + b  Dos f.u relacionadas por una transformación afín positiva se dicen estrategicamente equivalentes

11 Sistemas de ayuda a la decisión Modelización de las Preferencias Asignación de la función de utilidad Métodos de comparación de preferencias: comparar alternativas conocidas y ordenar sus preferencias  necesidad de muchas comparaciones Métodos de equivalencia; alternativas parcialmente conocidas; especificadas para que se muestren indiferentes. Comparar premios seguros xs y x1pxn Suponer u(x1)=1 y u(xn)=0, u  [0,1] 1.Equivalencia en certidumbre: buscar xs / ~ 2.Equivalencia en probabilidad: buscar p / ~ 3.Equivalencia en valor: variar premios en la lotería u(xs) = p u(x1) + (1-p) u(xn) = p y se ajustan por la función u(·)

12 Sistemas de ayuda a la decisión Modelización de las Preferencias Sesgos Pueden influir en la formulación y asignación de las preferencias Cada método de educción induce diferentes formas de procesamiento de la Información, pueden producirse respuestas diferentes y paradójicas Fuentes potenciales del sesgo: condición de varianza (Encuadrado, Allais, Ellsberg), dominancia estocástica (raro), transitividad (test) y axioma de sustitución (sobrestimación de probablidades bajas) Encuadrado (framing): influye el modo de encuadrar la pregunta V, A,B (75% prefiere A) M, C,D (75% prefiere D) (v-vida, m-muerte, A-tradición, B-innovación, C-tradición, D-innovación) Enmarcar en terminos positivos lleva a ser averso al riesgo y preferir certidumbre

13 Sistemas de ayuda a la decisión Modelización de las Preferencias Paradoja de Allais: ¿A ó B? ¿C ó D? A, B (82% A>=B) C, D (y D>=C) max E[u]?, u(0mill)=0, u(5mill)=1 A>=B  u(1mill)> u(1mill)  u(1mill)>0.91 D>=C  0.10 > 0.11 u(1mill)  u(1mill) < 0.91 Se sobrevaloran las consecuencias ciertas frente a las inciertas

14 Sistemas de ayuda a la decisión Modelización de las Preferencias Paradoja de Ellsberg: una urna con 90 bolas rojas, azules y amarillas. 30 son rojas. Extraemos una bola. p=P(azul) A: 1000€ es roja, B: 1000 € es azul A, B (mayoría A>=B) C: 1000€ es roja o amarilla, D: 1000€ es azul o amarilla C, D (mayoría D>=C) max E[u]? A>=B  1/3u(1000)>pu(1000)  1/3 > p D>=C  2/3u(1000)>(1-p)u(1000)  1/3 < p Alejarse de los juegos arriesgados con probabilidades imprecisas