¿Qué es un mosaico? Preguntamos a ellos

Típico mosaico que normalmente se tiene como idea de mosaico Típico mosaico que normalmente se tiene como idea de mosaico. Se usaba para decorar, sobre todo en Roma. No sólo el suelo, sino también paredes y techos.

Otro suelo

A los matemáticos nos interesan más los mosaicos de este estilo, ya que tienen una misma baldosa que se repite continuamente. ¿Alguien ha visto alguna vez un mosaico como este? Está en la Alhambra ¿Alguien ha estado allí?

TESELADOS - Las baldosas no se solapan - No quedan huecos vacíos Estos mosaicos se llaman teselados, que no es una palabra matemática, es que tesela significa azulejo. Sería como decir “embaldosado”. Tienen que cumplir 2 condiciones: -que no se solapen -que no dejen huecos en medio Imaginad que desastre si nos pusieran las baldosas del baño unas sobre otras o dejando huecos entre ellas! - No quedan huecos vacíos

TIPOS DE TESELADO Teselado periódico Teselado NO periódico Todos los teselados se pueden clasificar en: -Periódicos, en los que el patrón se repite. -No periódicos, en los que el patrón no se repite. Teselado NO periódico

Construyamos Teselados Con esta actividad los niños se vuelven locos, por lo que vamos a poner instrucciones: cuando digamos STOP, todo el mundo deja de construir y levanta las manos. (“a lo masterchef”) Repartimos material, una caja de cartón por mesa, para que construyan sus propios teselados. Aquí les animamos a que consigan hacer alguno usando los pentágonos. STOP Como a los matemáticos nos gusta mucho clasificar las cosas, vamos a clasificar los teselados (siguiente diapositiva)… Hasta justo antes de 25 min de acabar el taller deben estar con las teselas ellos. Si vamos con poco tiempo se quita de aquí. Diapo 15

Todas las baldosas iguales Teselados regulares Todas las baldosas iguales Preguntamos que si quieren usar todas las baldosa iguales, qué baldosas pueden usar.

¿Hay más? Libro de espejos Repartir libro de espejos. Si ponen triángulo, cuadrado o hexágono, queda algo regular. Si no queda raro. Como con el pentágono, por ejemplo. Al poner el octógono o el dodecágono, pero no con un vértice del polígono en el vértice del libro, queda con pautas generadas por dos polígonos. Esto nos da lugar a una nueva clasificación (siguiente diapositiva)…

Teselados SEMIregulares - Dos o más polígonos regulares STOP (leemos diapo) Sólo hay 8 posibilidades para que cada vértice sea igual. Vamos a verlos. - Cada vértice es igual

Teselados SEMIregulares 3 3 3 4 4 3 3 4 3 4 3 3 3 3 6 Muy importante el orden en el que aparecen. Siempre tienen que repetirse en el mismo orden. La primera y la segunda tienen las mismas teselas, pero en diferente orden. 3 4 6 4 3 6 3 6

Teselados SEMIregulares 3 12 12 4 8 8 4 6 12

Teselados SEMIregulares Algunos ejemplos. Con la animación de la diapositiva puede verse que el mismo teselado se repite en el mismo orden en distintos puntos.

Teselados SEMIregulares Estas son las 8 opciones anteriores, solo que coloreados. Se les anima a que hagan uno de ellos, el que más les guste. Los que no suelen hacer son los centrales superiores y el último, hay que animarles a que hagan esos también. STOP Recogen ellos: -Los grandes primero -En los huecos los pequeños -Revisar que no quede ninguna en el suelo Recoger polígonos ESTA DIAPO TERMINA CUANDO FALTAN 25’ PARA TERMINAR EL TALLER

son polígonos regulares? ¿Y si las baldosas no son polígonos regulares?

Hay muchas baldosas que no son polígonos regulares Alhambra de Granada

Estos en forma de huesos. Alhambra de Granada

Estos en forma de aviones. Alhambra de Granada

Estos otros. Alhambra de Granada

Maurice Cornelius Escher es un pintor que pasó por la Alhambra y le sorprendió tanto que estas baldosas no fueran regulares que se puso a estudiarlas y luego hizo algunas que van a tener ellos en el material posterior. M. C. Escher 1898 - 1972

Escher todas

Movimientos del plano Traslación Rotación Reflexión Para clasificar los mosaicos, los matemáticos pensaron en utilizar los movimientos del plano, que son los que han dado en clase. A la rotación la llaman giro y a la reflexión simetría. Matemáticamente, estos son las transformaciones isométricas, es decir, tras aplicar el movimiento la figura guardan la misma forma y dimensión. Nota: En el cole se llama simetría a las que son simetrías especulares. Sin embargo, matemáticamente, simetría es todo lo que mantiene la métrica, luego la rotación y la reflexión también son simetrías. Siempre que no desproporciones y no cambiar el tamaño es hacer simetría.

17 grupos cristalográficos Combinando estos movimientos, los matemáticos se dieron cuenta de que había 17 categorías en las que clasificar los mosaicos. Coinciden con los grupos de los cristales. Están todos en los mosaicos de la Alhambra.

Eje de reflexión Rotación de orden 6 (60º) Rotación de orden 4 (90º) Se sacan las transparencias y las cartulinas y se les explica cómo funcionan. Ver Anexo I_Grupos cristalográficos Rotación de orden 3 (120º) Rotación de orden 2 (180º)

¿Por qué los cristales eligen estas formas? Experiencia imanes Cuando los científicos empezaron a estudiar los cristales, les metieron rayos x para averiguar su distribución atómica. Pasa lo mismo que con los mosaicos. Algunos encajan 1 vez en un giro completo, otros encajan 2 veces… y así se clasifican todos los cristales de la misma forma en la que se clasifican los mosaicos. Polarización de la luz con espato de Islandia y láser: se deja el láser fijo y se mueve el espato hasta que se vea cómo el laser se duplica. Un cristal se forma porque la piedra está fundida a una temperatura altísima, se va colocando poco a poco hasta equilibrarse todos los átomos. Esto se ve con los imanes y el agua. 7 por mesa. Se ve que las fuerzas se desequilibran cuando se colocan más de 7 tapones, lo mismo pasa en la naturalea. Por eso hay menos cristales en la naturaleza. Experiencia imanes

Teselados NO periódicos Los periódicos son los que se repite el dibujo por traslación. Los no periódicos son aquellos que la transparencia no encaja por traslación. Vamos a ver los que desarrolló el matemático Roger Penrose.

Los encuentra buscando teselados en los que intervienen los pentágonos y los saca de estudios anteriores de Kepler y de Durero. Roger Penrose 1931

Este es el mosaico de Penrose. Está basado en el pentágono. Son estas dos piezas.

Para conectarlas bien tienen que unirse bien los arcos naranjas y verdes

Ejemplo de bien encajadas en torno a cada vértice marcado con un punto amarillo. Los arcos verdes siempre cierran pequeños círculos, y los arcos naranjas nunca cierran círculos.

Ejemplo de bien encajadas

Teselado que aparentemente se repite, pero en realidad no hay un patrón. Si esto lo imprimiéramos en una transparencia, al moverlo no encajaría.

Teselado que aparentemente se repite, pero en realidad no hay un patrón. Si esto lo imprimiéramos en una transparencia, al moverlo no encajaría.

Este patrón le llamó mucho la atención a los científicos Este patrón le llamó mucho la atención a los científicos. Pues lo encontraron en la estructura de los cuasicristales, un material cuya estructura es ordenada pero no periódica, como el teselado de Penrose. Hay muchos materiales modernos que tienen que ver con los cuasicristales. Cuasicristal

Dos preguntas: Habéis aprendido algo??? Os lo habéis pasado bien???  Aplauso!