Si un primer experimento se puede hacer de m formas diferentes y un segundo experimento de n formas diferentes, entonces los dos experimentos juntos se pueden hacer de m. n formas diferentes. Modelos diferentes de camisetas según color, talla y calidad: 1. Diagrama en árbol: Principio general de recuento MATEMÁTICAS 4 ESO TEMA 19. TÉCNICAS DE RECUENTOJavier Fernández

Variaciones ordinarias o sin repetición de m elementos tomados de n en n (n  m), son los distintos grupos que se pueden formar con los m elementos, de manera que: En cada grupo entren n elementos distintos. Dos grupos son distintos si difieren en algún elemento o en el orden de colocación. El número de variaciones ordinarias se representa por V m,n. V m,n = m (m – 1) (m – 2) …(m – n + 2) (m – n + 1) ¿De cuántas formas pueden llegar 8 corredores a la meta? 2. Variaciones sin repetición MATEMÁTICAS 4 ESO TEMA 19. TÉCNICAS DE RECUENTOJavier Fernández

Variaciones con repetición de m elementos tomados de n en n, son los distintos grupos que se pueden formar con los m elementos, de manera que: En cada grupo entren n elementos repetidos o no. Dos grupos son distintos si difieren en algún elemento o en el orden de colocación. El número de variaciones con repetición se representa por VR m,n. VR m,n = m n ¿Cuántos resultados distintos se Pueden obtener al lanzar dos dados? 3. Variaciones con repetición MATEMÁTICAS 4 ESO TEMA 19. TÉCNICAS DE RECUENTOJavier Fernández

Permutaciones ordinarias de n elementos son los distintos grupos que se pueden formar de manera que: En cada grupo entren n elementos. Dos grupos son distintos si difieren en el orden de colocación de los elementos. El número de permutaciones ordinarias de n elementos se representa por P n. Si en un campeonato participan 5 equipos, ¿de cuántas formas pueden llegar a la meta? P n = n (n – 1) (n – 2) … Permutaciones sin repetición MATEMÁTICAS 4 ESO TEMA 19. TÉCNICAS DE RECUENTOJavier Fernández

n! = n. (n–1). (n–2) Observa V m,n = m. (m–1). (m–2). ….. (m – n + 1) = m (m –1) (m–2) … (m – n +1) (m – n) (m – n –1) (m – n) (m – n –1) = = m! (m – n)! Haciendo m = n, para conservar la validez de la fórmula debe ser 0! = 1 La notación n! permite escribir de manera compacta números grandes. El número 100! tiene 158 cifras. 100!= Factorial de un número natural MATEMÁTICAS 4 ESO TEMA 19. TÉCNICAS DE RECUENTOJavier Fernández

Combinaciones sin repetición de m elementos tomados de n en n (n  m), son los distintos grupos que se pueden formar con los m elementos, de manera que: En cada grupo entren n elementos distintos. Dos grupos son distintos si difieren en algún elemento. El número de combinaciones ordinarias se representa por C m,n ¿De cuántas formas se pueden elegir tres asignaturas optativas entre cinco? Biología Física Historia Latín Matemáticas x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x C 5,3 = V 5,3 P3P3 = Combinaciones sin repetición MATEMÁTICAS 4 ESO TEMA 19. TÉCNICAS DE RECUENTOJavier Fernández

Esto también se puede escribir de la siguiente forma: m (m –1) (m–2) … (m – n +1) (m – n )! m! (m – n)! = m! m! (m – n)! C m,n =  mnmn Esta última expresión recibe el nombre de número combinatorio m (m–1)... (m – n +1) n! En general: C m,n = V m,n PnPn = 7. Números combinatorios MATEMÁTICAS 4 ESO TEMA 19. TÉCNICAS DE RECUENTOJavier Fernández

 m0m0 = 1  mmmm = 1  mnmn =  m m – n  mnmn =  m n – 1 +  m + 1 n 8. Propiedades de los números combinatorios MATEMÁTICAS 4 ESO TEMA 19. TÉCNICAS DE RECUENTOJavier Fernández

1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Triángulo de Pascal ( ) m0m0 = ( ) nnnn =1 mmmm = ( ) m m–n ( ) mnmn + ( ) m n–1 ( ) m+1 n 9. Números combinatorios: Triángulo de Pascal o Tartaglia MATEMÁTICAS 4 ESO TEMA 19. TÉCNICAS DE RECUENTOJavier Fernández =

(a + b) 2 = a ab + b 2 (a + b) 1 = a + b (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 (a + b) 4 = a 4 + 4a 3 b 2 + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4 (a + b) 5 = a 5 + 5a 4 b + 10a 3 b a 2 b 3 +5ab 4 + b Fórmula del binomio de Newton Los números se llaman coeficientes binomiales. ( ) nini 10. Potencia de un binomio MATEMÁTICAS 4 ESO TEMA 19. TÉCNICAS DE RECUENTOJavier Fernández