MÉTODO DE DINÁMICA MOLECULAR (MD) Concepto básico: generación de configuraciones sucesivas de un sistema a partir de la integración de las leyes de movimiento de Newton. El resultado es una trayectoria que especifica como varían las posiciones y velocidades de las partículas en el sistema en función del tiempo. La trayectoria se obtiene resolviendo las ecuaciones diferenciales generadas por la segunda ley de Newton. Fxi = fuerza sobre una partícula en la dirección xi Tres situaciones Conjunto de moléculas que sufren colisiones en ausencia de fuerzas externas entre colisiones. Cada partícula experimenta una fuerza constante entre las colisiones (ej: carga en un campo eléctrico). La fuerza sobre cada partícula depende de la posición relativa de las demás partículas.

SIMULACIONES CON POTENCIALES CONTINUOS Y VARIABLES MODELOS SIMPLES: La primera simulación de MD de una fase condensada fue realizada por Alder y Waunwright en 1957 usando el modelo de esferas duras (situación de tipo 1). SIMULACIONES CON POTENCIALES CONTINUOS Y VARIABLES La primera simulación utilizando potenciales continuos fue hecha para el Argon (1964). Para resolver las ecuaciones diferenciales de movimiento de Newton se aplican métodos de “diferencia finita”. Idea básica: la integración de las ecuaciones se realiza en etapas de tiempo muy pequeñas (Dt). Para cada Dt: 1) Evaluar la energía potencial de sistema (campo de fuerzas) a partir de las posiciones actuales de las partículas. 2) Derivar la fuerza para cada partícula. 3) A partir de la fuerza se puede determinar la aceleración para cada partícula. 4) Calcular nuevas posiciones a partir de aceleración, velocidad y posiciones actuales. Se asume fuerzas constantes durante cada Dt.

ALGORTIMOS DE INTEGRACIÓN Asumen que las posiciones y las propiedades dinámicas pueden aproximarse por series de Taylor las cuales se van a truncar en diferentes niveles dependiendo del algoritmo. Verlet Ventajas: Simple y expeditivo. Requerimientos de almacenamiento modestos. Combinable con otros algoritmos. Desventajas: Poca precisión. Problema en el cálculo de velocidades. No es un algoritmo autoiniciativo.

Leap-frog Utiliza la aceleración y velocidad para el cálculo de la posición: Ventajas: Simple. Calculas las velocidades explícitamente. Desventajas: Posiciones y velocidades se obtienen desfasadas en el tiempo. Velocity Verlet Calcula velocidades explícitamente y en fase con posiciones.

Beeman Asume una variación lineal de la aceleración en el intervalo Dt. El método de Beeman es de orden mayor que los anteriores pues asume una variación temporal de la aceleración en el intervalo en vez de considerarla constante. Ventajas: Mayor precisión. Mayor tamaño de Dt. Cálculo explícito de velocidades. Desventajas: Mayor costo computacional.

Gear (predictor-corrector) Tres pasos básicos: 1) Predicción de r(t + Dt), v(t + Dt), a(t + Dt), etc. a partir de expansiones de Taylor. 2) Cálculo de la fuerza en las nuevas posiciones y obtención de a(t + Dt). 3) Comparación de a (t + Dt) calculadas y predichas. La diferencia entre los valores predichos y calculados se usan para corregir las posiciones, velocidades, etc., en el paso de corrección: aceleración calculada por Taylor

ELECCIÓN DEL TAMAÑO DEL PASO DE INTEGRACIÓN Ventajas: Gran precisión. Uso de Dt mayor. Desventajas: Mayor espacio de almacenamiento. Evaluación doble de las fuerzas en cada Dt. ELECCIÓN DEL TAMAÑO DEL PASO DE INTEGRACIÓN Típicamente debe ser un orden de magnitud menor que las oscilaciones de mayor frecuencia (menor período). Estas oscilaciones corresponden a las coordenadas de enlace (bond stretching). Por ejempo, un enlace C-H vibra con un período de 10 fs, entonces, 1 fs estaría bien. Esto es una restricción severa ya que los movimientos de frecuencia baja son los que producen mayores cambios conformacionales. Solución: aplicar constricciones.

ALGORITMOS DE CONSTRICCIÓN Importantes en simulaciones de moléculas flexibles donde los movimientos de mayor frecuencia usualmente tienen menor interés. Se usan para incrementar el paso de una simulación sin afectar la precisión de los resultados. Contricción es distinto de restricción SHAKE Algoritmo de constricción. Permite el uso de Dt significativamente mayores  simulaciones más largas. Constraints del tipo: rij2 – dij2 = 0 rij = distancia entre átomos i y j dij= valor fijo de distancia entre i y j Impone tantas constricciones como enlaces tenga el sistema, las cuales se deben cumplir a la vez. Se aplica a enlaces y no a ángulos. SHAKE utiliza un procedimiento iterativo que en cada Dt ajusta todas las distancias de enlace a valores pre-establecidos.

ELECCIÓN DEL ALGORITMO DE DM Factores: 1) Esfuerzo computacional en cada paso. 2) Tamaño de Dt. 3) Conservación de la energía (ensamble microcanónico). 4) Requerimientos de memoria y espacio en disco. 5) Precisión. En general, el algoritmo óptimo debe demandar poco costo computacional (cálculo, memoria y espacio), debe ser preciso (resultados similares a los experimentales), posibilitar trayectorias largas en tiempos razonables, ser moldeable (sencillo de modificar) y adaptarse adecuadamente a diferentes condiciones de simulación

DINÁMICA MOLECULAR A TEMPERATURA Y PRESIÓN CONSTANTES Ensamble microcanónico: N, V y E ctes. Ensamble canónico: N, V y T ctes. Ensamble isotermo-isobárico: N, T y P ctes. Dinámica a T constante La temperatura del sistema se relaciona con el promedio temporal de la energía cinética. <K>NVT = 3/2NkBT Escalamiento de velocidades Se multiplican las velocidades por un cierto factor (l) T0 = temperatura de referencia T(t) = temperatura instantánea DT = (l2 -1)T(t)

2) Acople térmico Se acopla el sistema a un baño térmico (T) con el cual intercambia energía. La temperatura del baño térmico está fija en el valor deseado. Tba = temperatura del baño = constante de acoplamiento DT = Dt/t(Tba – T(t)) Dt = tiempo de integración Ventaja Permite la fluctuación de temperatura alrededor del valor de referencia.

3) Colisiones estocásticas Supone la elección aleatoria de un átomo del sistema cada cierto tiempo y la reasignación de su velocidade a partir de una distribución de Maxwell-Boltzmann a la temperatura de referencia. Baño térmico emitiendo partículas térmicas! La frecuencia de “colisiones” para una partícula es: k = conductividad térmica h = densidad de partículas N = número de partículas o n =nc/N2/3 nc = frecuencia de colisión intermolecular Desventaja Introduce discontinuidades en la trayectoria.

Dinámica a P constante Un sistema se mantiene a presión constante mediante cambios de volumen. Escalamiento del volumen Acople a baño de presión k = compresibilidad isotérmica El cambio en la P es proporcional a la diferencia entre la P del baño y la del sistema en un momento dado: El volumen se reescala por un factor l: Las nuevas posiciones están dadas por: r´i = l1/3ri Escalamiento: isotrópico. anisotrópico.

FASES DE UNA SIMULACIÓN (MD O MC) Inicio Elección del modelo energético (campo de fuerzas). Elección de la configuración de partida. Equilibramiento Evolución del sistema desde la configuración inicial hasta el equilibrio. Producción Recolección de datos y cálculo de propiedades simples. Análisis Cálculos complejos de propiedades. Examen estructural. Detección de problemas. Estimación de errores.

CONDICIONES DE BORDE O FRONTERA Aspecto relevante en una simulación TIPOS DE BORDE Vacío El sistema se encuentra totalmente aislado. Aproximación pobre: Distorsión de la forma molecular en la interfase. Cambios en la forma global por efecto de interacciones intramoleculares. Seudovacío Sin disolvente explícito pero se incluyen efectos del solvente. Ej: campo de fuerza NIS, dinámica estocástica. Mejor aproximación, algunos efectos del disolvente son tenidos en cuenta: apantallamiento de cargas e interacciones de van der Waals. Condiciones periódicas (PBC) Copias del modelo repetidas periódicamente.

Las condiciones periódicas posibilitan simulaciones con un número de átomos bastante bajo pero el efecto es similar a si se encontraran en el medio de un fluido (solvente). Lo que se hace es replicar el sistema en todas las direcciones, de manera de obtener 27 copias del mismo. Cada átomo del sistema poseerá 26 imágenes distintas del mismo. Las coordenadas de las imágenes son múltiplos de las originales y se calculan fácilmente a partir de las dimensiones de la unidad que se este usando para replicar (ej: caja cúbica, octaédrica truncada, dodecaedro rómbico, etc.). El efecto que se logra es que los átomos del sistema siempre estén rodeados por partículas y no “vean” el vacio circundante. Cuando una particula sale de la caja central durante la simulacion, la imagen de la misma penetra en la misma caja por el lado opuesto. El sistema puede estar aislado o acompañado de solvente. Pero en casos donde existan muchos atomos, puede no ser aplicable este tipo de esquema. La celda cúbica es la que más átomos demanda en el caso de simular sistemas solvatados pues el solvente en principio debería llenar el área de la celda. En estos casos, se puede reducir el número de átomos utilizando las otras celdas, ej: octaedro truncado que como se ve en la figura tiene un volumen menor que la caja cúbica.

Ventaja: Permite simular sistemas pequeños sin introducir efectos de vacío: los átomos siempre están rodeados de otros átomos. Desventajas: Pérdida de fluctuaciones con longitud de onda mayor al largo de la celda. Pérdida de interacciones no enlazantes. EFECTOS DEL SOLVENTE Condiciones periódicas. Pared extendida (“extended wall”).

TRATAMIENTO DE LAS INTERACCIONES NO ENLAZANTES Evaluación costosa  pares de interacciones proporcional a N2 Potenciales no enlazantes dependen inversamente de la distancia: Uso de radios de cut off: Twin range method Dos radios de cut off -rc1 Lennard Jones + Coulomb -rc2 Coulomb con rc2 > rc1 (ej: rc1 = 8Å y rc2 = 15Å) En PBC  convención de mínima imagen: la interacción se calcula con respecto al átomo mismo o a su imagen más cercana (una sólo vez) rc2 < l/2 (caja cúbica) Combinación de radios cut off con lista de vecinos no enlazantes (non bonded neighbour list)

Necesidad de actualizar la lista de vecinos periódicamente -Los vecinos se determinan cada n Dts y se almacenan en una lista: -En cada Dt, se calculan las distancias con respecto a la lista de vecinos rcnei >= rc2 Necesidad de actualizar la lista de vecinos periódicamente Método twin range + neighbour pair list: r < rc1  todas las interacciones en cada Dt rc1 < r < rc2  sólo interacciones electrostáticas cada vez que se actualiza la lista de vecinos

Radios de cut off entre grupos Cuando se simulan sistemas moleculares grandes, es ventajoso usar radios de cut off basados en grupos. Las moléculas se dividen en “grupos”, cada uno de los cuales contiene una cantidad relativamente pequeña de átomos conectados. Cálculo de interacciones no enlazantes entre grupos de átomos en vez de átomos aislados. Concepto de grupos de carga (charge groups): Carga total = 0  dipolo-dipolo término dominante. Radios de cut off entre grupos: Medido entre los centros de masa. Considerando un átomo marcador. Ventajas Menor alcance de interacciones electrostáticas (1/r3). Funciona mejor con radios de cut off. Desventajas del uso de radios de cut off 1) Aproximación. 2) Introducción de discontinuidades en el potencial y la fuerza.

MEJORAS EN LA DISCONTINUIDAD DEL POTENCIAL Potenciales corridos: “shifted potentials”. V´(r) = V(r) – Vc r <= rc V´(r) = 0 r > rc Vc = valor del potencial en rc Funciones de cambio: “switching functions”. S = 1 rij < rc1 S = (rc2 –rij)/(rc2 –rc1) rc1<=rij<=rc2 S = 0 rc2 < rij V´(r) = V(r)S(r) TRATAMIENTO DE LAS FUERZAS DE LARGO ALCANCE Sumatoria de Ewald. Campo de reacción. Celdas multipolo.

Campo de reacción Se construye una esfera alrededor de la molécula cuyo radio es igual a la distancia de cut off. Las interacciones dentro del radio de cut off se calculan explicitamente. Se agrega una corrección por las interacciones perdidas (fuera del radio). Se considera al resto de las moléculas como un dieléctrico continuo. Término adicional al potencial electrostático (calculado dentro de rc) Vi = Ei.mi mi: dipolo de molécula i mj: dipolo de molécula j dentro de rc es: constante dieléctrica del medio fuera de rc

Se modelan los átomos fuera del radio de cut off como un dieléctrico continuo Buena aproximación para fluidos Ventajas: Simple conceptualmente. Fácil de implementar. Desventajas: Necesidad de conocer es.