CLASE 2 Definiciones de probabilidad. Definición axiomática de la probabilidad Propiedades de la probabilidad

Interpretación frecuencial de la probabilidad Dado un suceso A asociado con un experimento aleatorio, la probabilidad del suceso corresponde al límite de la Frecuencia relativa, cuando el número de experiencias tiende a infinito. es el número de veces que ocurre A en las n repeticiones.

Interpretación frecuencial de la probabilidad N(n) p(n) 10 3 0.30 100 15 0.15 1000 167 0.167 10000 1665 0.1665 100000 16661 0.16661 n= número de lanzamientos N(n)= veces que sale el 5 p(n)= frecuencia relativa del 5 Para n tendiendo a infinito, p(n) se aproxima a 1/6.

Interpretación frecuencial de la probabilidad Algunas limitaciones: Existen fenómenos aleatorios únicos que no son repetibles. El límite de las frecuencias podría no ser finito o no existir.

Interpretación clásica (de Laplace) de la Probabilidad Dado un experimento aleatorio con un espacio de n sucesos elementales, la probabilidad del suceso A, que designamos mediante P(A), es la razón entre la cantidad de casos favorables para la ocurrencia de A y la de casos posibles. donde es la cantidad de casos favorables de A.

Interpretación clásica (de Laplace) de la Probabilidad Observaciones: 1)El espacio muestral debe ser FINITO. 2) Cada suceso elemental tiene probabilidad 1/n. Decimos en este caso que los sucesos son equiprobables. 3) La probabilidad es un número no negativo, y menor o igual que 1, es decir, para cualquier suceso A tenemos: 0 ≤ P(A) ≤ 1.

Interpretación clásica (de Laplace) de la Probabilidad 4) Como el conjunto vacío ∅ es un subconjunto de sin elementos, tenemos que su probabilidad es nula, es decir P(∅) = 0. Lo llamamos suceso imposible 5) P( ) = 1, por lo que llamamos suceso seguro al espacio de sucesos elementales. .

Interpretación clásica (de Laplace) de la Probabilidad Ejemplos: Sea la experiencia aleatoria : “tirar dos dados y observar las caras superiores” Sean los siguientes sucesos: A= “Que salga un doble 3” B= “Que salga un 3 y un 6” C= “Qué la suma de los puntos obtenidos es no menor que 8” Calcular las siguientes probabilidades: P(A), P(B), P(C), P(AUC), P(BUC) y P(A C) .

Interpretación clásica (de Laplace) de la Probabilidad Ejemplos: 2)De un lote de 10 artículos, 3 de los cuales son defectuosos, se extraen simultáneamente 5 de ellos. Calcular la probabilidad de que entre los artículos extraídos se encuentren dos defectuosos. .

Interpretación clásica (de Laplace) de la Probabilidad Ejemplos: 3) Si ahora es la misma situación pero los elementos se extraen uno a uno hasta encontrar todos los defectuosos. Calcular la probabilidad de necesitar 5 extracciones. .

Definición axiomática de la probabilidad AXIOMÁTICA DE KOLMOGOROFF Sea un espacio muestral y sea A una -álgebra de sucesos sobre . Una probabilidad es una función que cumple los siguientes axiomas ( . ) : 1) A 2) A sucesos disjuntos dos a dos 3) Si entonces:

Definición axiomática de la probabilidad Observación: Si el álgebra de sucesos es finito, entonces el axioma 3 se traduce: Si A y B son dos sucesos excluyentes, entonces P(AUB)=P(A) + P(B)

Definición axiomática de la probabilidad Propiedades de la probabilidad P(A) = 1 – P(AC) para todo suceso de A. 2) 3) Si A y B son dos sucesos tales que entonces: 4) para todo suceso A, dem.:

Definición axiomática de la probabilidad Propiedades de la probabilidad 5)Sean A y B dos sucesos cualquiera entonces: dem.:

Definición axiomática de la probabilidad Propiedades de la probabilidad 6) Sean sucesos cualesquiera, entonces: Dem a cargo del estudiante

Definición axiomática de la probabilidad Ilustremos los axiomas y teoremas con ejemplos 1) La probabilidad de que un estudiante A apruebe un examen de estadística es 0,8, la de otro estudiante B es 0,4 y la probabilidad de que aprueben los dos es 0,3. Calculemos la probabilidad de los siguientes sucesos: A1= “Al menos uno de los dos aprueba” A2= “ninguno aprueba el examen” A3=”exactamente uno aprueba el examen”

Definición axiomática de la probabilidad 2)Tenemos un torneo de tenis con n jugadores. En la primera ronda, los jugadores se cruzan al azar, y se eliminan si pierden. Pasan a la segunda ronda los ganadores de la primera. Si n es impar, un jugador al azar pasa a la siguiente ronda. Este proceso se repite hasta la última ronda, en la que se enfrentan solo dos jugadores. ¿Cuál es la probabilidad de dos jugadores A y B de enfrentarse en el torneo?

Bibliografía: Durá, J.M. y López, J.M. (1988). Fundamentos de la Estadística. Barcelona: Ariel S.A. Mordeki, Ernesto. (2007) Probabilidad: notas de clase. Olivera, Federico. Introducción a la Probabilidad: Notas de clase. Perera, Gonzalo (2014) Probabilidad y estadística matemática: Primer encuentro. Montevideo: Fin de Siglo.