RECTAS EN EL ESPACIO OBLICUAS Y COPLANARES

¿Qué son? Dado un punto 𝑷 del espacio y vector no nulo 𝒗, la recta que pasa por 𝑷 con la dirección 𝒗 es el conjunto de los puntos X que satisfacen: 𝑿=𝑷+ 𝝀𝒗 Para algún 𝝀 ∈ ℝ Ejemplo Consideremos los puntos 𝑷 𝟏,𝟎,𝟎 𝒚 𝑸 𝟐,𝟏,𝟏 . Dado que 𝑷𝑸 = 𝟏,𝟏,𝟏 , 𝐥𝐚 𝐫𝐞𝐜𝐭𝐚 𝐪𝐮𝐞 𝐝𝐞𝐭𝐞𝐫𝐦𝐢𝐧𝐚𝐧:𝐞𝐬 𝐝𝐞𝐜𝐢𝐫, 𝐥𝐚 ú𝐧𝐢𝐜𝐚 𝐫𝐞𝐜𝐭𝐚 𝐪𝐮𝐞 𝐩𝐚𝐬𝐚 𝐩𝐨𝐫 𝐏 𝐲 𝐐, 𝐞𝐬 𝐞𝐥 𝐜𝐨𝐧𝐣𝐮𝐧𝐭𝐨 de puntos 𝑿 𝒙,𝒚,𝒛 que satisfacen: 𝒙.𝒚.𝒛 = 𝟏,𝟎,𝟎 + 𝝀(𝟏,𝟏,𝟏)

COMO UBICAR LAS COORDENAS EN RECTAS EN EL ESPACIO

COMO SABER SI SON RECTAS EN EL ESPACIO OBLICUAS Los vectores deben formar un ángulo distinto a 90° Los planos se cortan entre si y generan una línea recta. Por ejemplo. Determinar si los siguientes pares de planos son oblicuos. X + Z = 1; Y + Z= 1 Para eso tenemos : 𝑪𝒐𝒔 𝜽= 𝒏 𝟏 ∗ 𝒏 𝟐 𝒏 𝟏 ∗ 𝒏 𝟐 Calculamos 𝒏 𝟏 = 𝟏 𝟐 + 𝟎 𝟐 + 𝟏 𝟐 = 𝟐 𝒏 𝟏 = 𝟏,𝟎,𝟏 𝒏 𝟐 =(𝟎,𝟏,𝟏) 𝒏 𝟐 = 𝟎 𝟐 + 𝟏 𝟐 + 𝟏 𝟐 = 𝟐 𝒏 𝟏 ∗ 𝒏 𝟐 =𝟏∗𝟎+𝟎∗𝟏+𝟏∗𝟏=𝟏

EJEMPLO 𝑪𝒐𝒔 𝜽= 𝟏 𝟐 𝟐 = 𝟏 𝟐 𝑪𝒐𝒔𝜽 −𝟏 𝟏 𝟐 = 𝝅 𝟑 𝝅 𝟑 =𝟔𝟎°

COMO SABER SI SON PARALELAS Si un vector es múltiplo escalar del otro Calculamos los vectores 𝒏 𝟏 = 𝟏,𝟎,𝟏 𝒏 𝟐 = 𝟎,𝟏,𝟏 No hay múltiplo escalar del otro. Por lo tanto no son paralelas

COMO SABER SI SON PERPENDICULARES Se debe calcular el producto escalar de los vectores y debe ser igual a 0. Debemos calcular . 𝑛 1 ∗ 𝑛 2 =0+0+1 No se cumple 𝑛 1 ∗ 𝑛 2 =0 Los vectores no son perpendiculares, por lo tanto los planos tampoco lo son.

COMO SABER SI SON RECTAS EN EL ESPACIO COPLANARES Perteneces al mismo plano. Angulo varia entre 0 a 180° Ejemplo. Dados los vectores 𝒂 = 𝟐,−𝟏,𝟒 , 𝒃 = 𝟎.−𝟗,𝟏𝟖 y 𝒄 = 𝟏,𝟒,−𝟕 . Mostrar mediante el triple producto escalar, que los tres se encuentran sobre el mismo plano. 𝒃 ∗ 𝒄 ∗ 𝒂 = 𝒂 ∗ 𝒃 ∗ 𝒄

DESARROLLO 𝒂 = 𝟐,−𝟏,𝟒 , 𝒃 = 𝟎.−𝟗,𝟏𝟖 y 𝒄 = 𝟏,𝟒,−𝟕 = 𝑎 1 𝑏 1 𝑐 1 𝑎 2 𝑏 2 𝑐 2 𝑎 3 𝑏 3 𝑐 3 = 2 0 1 −1 −9 4 4 18 −7 = 2 −9 18 4 −7 +1 0 18 1 −7 + 4 0 −9 1 4 = 2 63 −72 + 0 −18 +4 9 = 2 −9 −18+36 = −18 −18+36=0

DESARROLLO 𝑎 ∗( 𝑏 ∗ 𝑐 ) = 0 𝑎 𝑏 ∗ 𝑐 cos 𝜃 = 0 cos 𝜃 = 0 𝜃=90°, 𝜋 2 𝑏 ∗ 𝑐 𝑃𝑒𝑟𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑎 𝑎 y 𝑏 𝑎 , 𝑏 𝑦 𝑐 son coplanares

DETERMINAR 3 PUNTOS NO COLINEALES No están en la misma recta Deben ser paralelos EJEMPLO ¿Los puntos A (2,3,-2) , B (4,2,-3) y C (0,8,-1) están en la misma recta? 𝑨𝑩 −𝟐, −𝟏, 𝟏 𝑩𝑪 −𝟒, 𝟔, 𝟐 Debemos comprobar si el vector 𝑨𝑩 es múltiplo escalar de 𝑩𝑪 Multiplicar por un numero las componentes de 𝑨𝑩 𝒚 𝐨𝐛𝐭𝐞𝐧𝐞𝐫 𝑩𝑪 No hay múltiplo escalar por lo tanto los puntos no están en la misma recta.

DETERMINAR 3 PUNTOS NO COLINEALES Producto de vectores. + - + 𝐴𝐵 ∗ 𝐵𝐶 = 𝑖 2 −4 𝑗 −1 6 𝑘 −1 2 = 4,0,8 = 𝑖 −2+6 − 𝑗 (4−4)+ 𝑘 (12−4) = 4 𝑖 +8 𝑘 Como no es el vector 0,0,0 , quiere decir que los 3 vectores no son paralelos, lo que quiere decir que no están en la misma recta.

ANGULOS DIEDROS ¿Qué son? Es un ángulo generado por dos planos en un respectivo espacio. Veamos el siguiente Plano P y Q a) Va a determinar una línea recta 𝒍 b) Formado también por recta A, B y 𝒍 c) Se puede representar con los puntos terminales de la intersección de los planos ( Puntos M y N) 𝐝) 𝜶 La media del ángulo diedro, que debe estar 0 < 𝜶<𝟏𝟖𝟎°

TABLA TRIGONOMETRIA

MENSAJE IMPORTANTE El día Jueves deberán desarrollar el trabajo evaluado en clases. Rectas paralelas y perpendiculares Rectas en el Espacio.

FIN DE LA PRESENTACION