POLIEDROS Y FUTBOL Profr. Enrique Espinoza Ordóñez
¿QUÉ NOS TRAEMOS ENTRE ENTRE LOS PIES? Si preguntásemos a cien jugadores, entrenadores o simples aficionados al fútbol qué es lo fundamental para practicar este deporte obtendríamos una buena colección de respuestas distintas: mucho entrenamiento, labor de equipo, compenetración con los compañeros, unas buenas instalaciones, un buen entrenador... Pocos de los encuestados acertarían con la respuesta correcta: un balón. Como casi siempre lo obvio nos pasa desapercibido, pero sin esa pequeña esfera, foco de nuestras miradas y desvelos, este deporte, como tantos otros, no existiría.
Pero, a pesar de ser el objeto sobre el que gravita toda nuestra actividad en la cancha, no le prestamos la atención que se merece Vamos a mirarlo hoy detenidamente, pero desde una óptica un tanto extraña: vamos a mirar el balón con...¡ojos matemáticos!. Si, no te sorprendas, en ese balón que ha pasado tantas veces por tus manos, que tantas alegrías, y alguna que otra tristeza, te ha proporcionado, hay más sorpresas matemáticas de las que te puedes imaginar. Cuando está bien inflado, parece una esfera perfecta, el cuerpo ideal de los filósofos griegos, la creación de los dioses. Pero, ¿realmente es una esfera perfecta?.
Míralo con atención. Observa sus piezas. Son unos polígonos regulares, ya sabes...tienen todos sus lados iguales, muy conocidos. Efectivamente, son pentágonos y hexágonos unidos entre sí. Si está un poco desinflado se puede mantener apoyado perfectamente en equilibrio sobre una de sus caras... Ha dejado de ser una esfera, ahora es... un poliedro. Un poliedro que tiene nombre propio, aunque un tanto raro: icosaedro truncado. Pero volvamos a sus caras. Te has parado alguna vez a contar cuantos pentágonos y cuántos hexágonos tiene. Seguro que no. Y no es una tarea tan simple.
Antes de seguir leyendo, coge uno en tus manos y ánimo: cuéntalos... ¡Tiempo!. ¿Ya lo tienes?. ¿No te habrás equivocado?... Bueno, los pentágonos no ofrecen demasiada dificultad, efectivamente son los que habías dicho...12 Vamos por los hexágonos..., esto se empieza a complicar. Si te faltan dedos para contar, recurre a la mirada matemática y piensa... Cada pentágono está rodeado por cincos hexágonos, luego debería haber doce por cinco... sesenta hexágonos. Pero cada uno de ellos está unido a tres pentágonos diferentes... ¡Ya está! Sesenta dividido entre tres, en total veinte hexágonos. En total 32 caras. ¡No ha sido tan complicado! Ya puestos a contar, ¿cuántas costuras, o aristas como prefieras, tendrá? Te aconsejo que no intentes contarlas a lo salvaje. Ponte otra vez las gafas matemáticas...
Si hay 20 hexágonos y cada uno tiene 6 aristas aristas, más 12 pentágonos por cinco aristas cada uno En total 180 aristas. Pero cuidado, cada arista está compartida por dos polígonos, así que la hemos contado dos veces. Luego hay....¡.90 costuras!. ¿Quién lo diría? Ya nos ha picado la curiosidad. ¿Cuántos vértices, ya sabes... dónde se juntan las aristas, tendrá? Siempre puedes tomar un rotulador empezar a poner un número en cada vértice, pero seguro que la mente cuenta mejor. Veamos..., cada arista tiene dos vértices, así que hay 90 x 2, 180 vértices. Demasiados. ¡Ah, claro! Cada uno lo he contado varias veces. ¡Calma!...
Si en cada vértice confluyen tres aristas, cada uno lo he contado tres veces, asi que hay,... eso es, 180 dividido entre 3, 60 vértices Por cierto, hablando de caras, aristas y vértices. Seguro que ahora te acuerdas de que había una fórmula que relacionaba su número. Si, eso de que: caras + vértices = aristas + 2. ¿Será verdad, con nuestro balón?. Pues claro, acaso lo dudabas: =
Esta relación la demostró un matemático suizo, Leonard Euler, uno de los matemáticos más prolíficos de todos los tiempos. Prolífico en todos los sentidos, no sólo publico más de 500 libros y artículos, a pesar de quedarse tuerto a los 28 años y ciego 17 años antes de morir, además le dió tiempo a tener trece hijos, lo que con toda seguridad constituye un record en el mundo de las matemáticas. Pero volvamos a nuestro balón, bueno, a nuestro icosaedro truncado. Aunque a primera vista no lo parezca, este poliedro se obtiene al cortar los 12 vértices de un icosaedro - uno de los cinco poliedros regulares descubiertos ya por Platón hace más de años, formado por 20 triángulos iguales -, de ahí su nombre. Los 12 pentágonos corresponden a los 12 cortes en los vértices del icosaedro y los 20 hexágonos son los restos de las caras del icosaedro.
¿Por qué se utiliza este poliedro para construir los balones?, ¿es el que más se aproxima a una esfera? Su volumen es sólo el 86,74 % de la esfera correspondiente, que no es una mala aproximación. Al curvar sus caras cuando se infla este porcentaje aumenta ligeramente y sobrepasa el 95 %. Pero hay otro poliedro de nombre casi impronunciable, el rombicosidodecaedro, para abreviar le llamaremos "rombico", que ocupa el 94,32 % de la esfera, ¡ y sin inflar!. El "rombico" está formado por 12 pentágonos, 30 cuadrados y 20 triángulos caras en total; casi el doble que nuestro sencillo icosaedro truncado. Tiene "sólo" 120 aristas y, según Euler, 60 vértices. Sospechamos por qué ninguna casa deportiva se ha lanzado a la aventura de comercializar un balón basado en este poliedro...tantas caras saldrían demasiado "caras".
Se pueden conseguir balones basándose en poliedros que se aproximan aún más a la esfera. Para ello hay que utilizar polígonos no regulares, es decir, con lados de distinta longitud. De hecho, algunos balones de fútbol se han construido de esta forma aunque también resultan más caros de fabricar. SSSSi quieres ver como serían basta que te fijes en algunas de las bóvedas que se utilizan para cubrir los radiotelescopios, esas cúpulas que hay en algunos observatorios astronómicos. PPPParecen semiesferas perfectas, sin embargo, aunque un poco exóticos, son poliedros.
En fin, a partir de ahora, cuando hagas una “chilenita” y veas volar el balón hacia la portería piensa que el viejo Platón, que identificaba al icosaedro con el agua, y el ciego Euler, que se entretuvo en contar tantas caras y vértices de tantos poliedros han hecho posible, en parte, que ese tanto suba al marcador.