(Breve) Introducción a los elementos finitos (84.08) Mecánica de Suelos y Geología FIUBA Getecnia III (UNLP)

Índice La definición de “numérico” La definición de “elemento finito” El procedimiento de solución del FEM No linealidad Ejemplo Conclusiones Introducción elementos finitos 2

Métodos analíticos y numéricos Analítico: geometría simple, material simple: una formula Numérico: geometría compleja, material complejo, un número Introducción elementos finitos 3

Índice La definición de “numérico” La definición de “elemento finito” El procedimiento de solución del FEM No linealidad Ejemplo Conclusiones Introducción elementos finitos 4

FEM – aproximado por definición Un BVP es una gran integral, sin solución analítica en general 5 Introducción elementos finitos

FEM – aproximado por definición Un BVP es una gran integral, sin solución analítica en general FEM es un procedi- miento para partir un BVP complejo en la suma de pedazos (elementos) pequeños (finitos) 6 Introducción elementos finitos

FEM – aproximado por definición Se calcula la respuesta de cada elemento y se la ensambla en un gran recipiente (la matriz de rigidez) Con ella, el BVP se resuelve a gran escala 7 Introducción elementos finitos

Tipos de elemento Hay distintos tipos de elementos con funciones de interpolación que optimizan la respuesta numérica para problemas específicos Introducción elementos finitos 8

Índice La definición de “numérico” La definición de “elemento finito” El procedimiento de solución del FEM No linealidad Ejemplo Conclusiones Introducción elementos finitos 9

Las incógnitas viven en los nodos (p.ej. desplazamientos) u e = f(U e FEM – aproximado por definición 10 Introducción elementos finitos

FEM – aproximado por definición Las incógnitas viven en los nodos (p.ej. desplazamientos) Los desplazamientos se interpolan a los puntos de Gauss u e = f(U e ) 11 Introducción elementos finitos

FEM – aproximado por definición Las incógnitas viven en los nodos (p.ej. desplazamientos) Los desplazamientos se interpolan a los puntos de Gauss Las deformaciones se calculan como derivadas de despl. u e = f(U e ) ∧ ε = f(u e ) 12 Introducción elementos finitos

FEM – aproximado por definición Las incógnitas viven en los nodos (p.ej. desplazamientos) Los desplazamientos se interpolan a los puntos de Gauss Las deformaciones se calculan como derivadas de despl. Las tensiones se calculan con un modelo constitutivo u e = f(U e ) ∧ ε = f(u e ) ∧ σ = f(ε) 13 Introducción elementos finitos

FEM – aproximado por definición Las incógnitas viven en los nodos (p.ej. desplazamientos) Los desplazamientos se interpolan a los puntos de Gauss Las deformaciones se calculan como derivadas de despl. Las tensiones se calculan con un modelo constitutivo Las tensiones se integran (aprox) en fuerzas nodales u e = f(U e ) ∧ ε = f(u e ) ∧ σ = f(ε) ∧ F = f(σ) 14 Introducción elementos finitos

FEM – aproximado por definición Las incógnitas viven en los nodos (p.ej. desplazamientos) Los desplazamientos se interpolan a los puntos de Gauss Las deformaciones se calculan como derivadas de despl. Las tensiones se calculan con un modelo constitutivo Las tensiones se integran (aprox) en fuerzas nodales Las fuerzas nodales deben estar en equilibrio con las condiciones de borde u e = f(U e ) ∧ ε = f(u e ) ∧ σ = f(ε) ∧ F = f(σ)  F = ffff(U e ) = K e x U e = F ext 15 Introducción elementos finitos

FEM – aproximado por definición Las incógnitas viven en los nodos (p.ej. desplazamientos) Los desplazamientos se interpolan a los puntos de Gauss Las deformaciones se calculan como derivadas de despl. Las tensiones se calculan con un modelo constitutivo Las tensiones se integran (aprox) en fuerzas nodales Las fuerzas nodales deben estar en equilibrio con las condiciones de borde Con estos elementos se calculan las incógnitas K e x U e = F ext  U e = (K e ) -1 x F ext 16 Introducción elementos finitos

Índice La definición de “numérico” La definición de “elemento finito” El procedimiento de solución del FEM No linealidad Ejemplo Conclusiones Introducción elementos finitos 17

No linealidad El problema es (mas o menos) simple cuando el modelo constitutivo es lineal porque K e es constante y sólo debe ser invertida una vez Introducción elementos finitos 18

No linealidad El problema es (mas o menos) simple cuando el modelo constitutivo es lineal porque K e es constante y sólo debe ser invertida una vez (Afortunadamente) los geomateriales casi nunca son lineales (como mínimo, fallan) y por lo tanto K e no es constante: muchas inversiones This is where iteration comes All your efforts can be easily spoiled at iteration level, you also need to know about this Introducción elementos finitos 19

Índice La definición de “numérico” La definición de “elemento finito” El procedimiento de solución del FEM No linealidad Ejemplo Conclusiones Introducción elementos finitos 20

Ejemplo: desplazamientos Introducción elementos finitos 21

Ejemplo: desplazamientos u e = f(U e ) Introducción elementos finitos 22

Ejemplo: desplazamientos u e = f(U e ) Introducción elementos finitos 23

Ejemplo: deformaciones u e = f(U e ) ε = f(u e ) Introducción elementos finitos 24

Ejemplo: deformaciones u e = f(U e ) ε = f(u e ) Introducción elementos finitos 25

Ejemplo: deformaciones u e = f(U e ) ε = f(u e ) Introducción elementos finitos 26

Ejemplo: deformaciones u e = f(U e ) ε = f(u e ) Introducción elementos finitos 27

u e = f(U e ) = H x U e Ejemplo: desplazamientos FEM Introducción elementos finitos 28

Ejemplo: desplazamientos FEM Introducción elementos finitos 29

u e = f(U e ) = H x U e Ejemplo: desplazamientos FEM Introducción elementos finitos 30

Ejemplo: deformaciones FEM u e = H x U e ε = B x U e Introducción elementos finitos 31

Ejemplo: tensiones (elasticidad) u e = f(U e ) ε = f(u e ) σ = f(ε) Introducción elementos finitos 32

Ejemplo: tensiones (elasticidad) u e = f(U e ) ε = f(u e ) σ = f(ε) Introducción elementos finitos 33

Ejemplo: tensiones (elasticidad) u e = f(U e ) ε = f(u e ) σ = f(ε) Introducción elementos finitos 34

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Conclusiones Un BVP se puede analizar con métodos analíticos y numéricos Introducción elementos finitos 36

Conclusiones Un BVP se puede analizar con métodos analíticos y numéricos Los métodos numéricos resuelven de manera aproximada una enorme integral que no tiene solución analítica Introducción elementos finitos 37

Conclusiones Un BVP se puede analizar con métodos analíticos y numéricos Los métodos numéricos resuelven de manera aproximada una enorme integral que no tiene solución analítica La estrategia de solución consiste en partir el gran problema en muchos problemas pequeños Introducción elementos finitos 38

Conclusiones Un BVP se puede analizar con métodos analíticos y numéricos Los métodos numéricos resuelven de manera aproximada una enorme integral que no tiene solución analítica La estrategia de solución consiste en partir el gran problema en muchos problemas pequeños Precaución: Las dificultades numéricas asociadas pueden invalidar los resultados de los cálculos Fin Introducción elementos finitos 39

Bibliografía Bathe, K. Finite element procedures. Bathe. Potts y Zdracovic. Finite element analysis in geotechnical engineering. Theldord. Potts et al. Guidelines for the use of advanced numerical analyses. COST Action C7. Telford. USACE. Geotechnical analysis by the finite element method. Zienkiewicz et al. The finite element method. Butterworth-Heinemann. Zienkiewicz et al. Computational geomechanics. Wiley. Introducción elementos finitos 40