Ing. Raúl Alvarez Guale, MPC Reglas Aditivas Ing. Raúl Alvarez Guale, MPC

Distribución Muestral de una Proporción A menudo resulta mas sencillo calcular la probabilidad de algún evento a partir de las probabilidades conocidas de otros eventos. Esto puede ser cierto si el evento en cuestión se puede representar como la unión de otros dos eventos o como el complemento de algún evento. A continuación se presentan varias leyes importantes que con frecuencia simplifican el calculo de las probabilidades. La primera, que se denomina regla aditiva, se aplica a uniones de eventos.

Teorema Si A y B son dos eventos, entonces P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B). S A B A ∩ B

Corolario Si A y B son mutuamente excluyentes, entonces P(A ∪ B) = P(A) + P(B). A ∩ B=ϕ P(A ∩ B)=P(ϕ) P(ϕ)=0 Entonces P(A ∩ B)=0 S A B

Corolario Si A1, A2,..., An son mutuamente excluyentes, entonces P(A1 ∪ A2 ∪ … ∪ An) = P(A1) + P(A2) + … + P(An). 066 S A1 A2 … An

Corolario Si A1, A2,..., An es una partición de un espacio muestral S, entonces P(A1 ∪ A2 ∪ … ∪ An) = P(A1) + P(A2) + … + P(An) = P(S) = 1. 066 S A1 A2 … An

Teorema Para tres eventos A, B y C, P(A ∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C) – P(A ∩ B) – P(A ∩ C) – P(B ∩ C) + P(A ∩ B ∩ C). S A B A∩B ∩C C

Ejemplo 1 Al final del semestre John se va a graduar en la facultad de ingeniería industrial de una universidad. Después de tener entrevistas en dos empresas en donde quiere trabajar, determina que la probabilidad que tiene de lograr una oferta de empleo en la empresa A es 0.8, y que la probabilidad de obtenerla en la empresa B es 0.6. Si, por otro lado, considera que la probabilidad de recibir ofertas de ambas empresas es 0.5, que probabilidad tiene de obtener al menos una oferta de esas dos empresas?

Ejemplo 1 Solución P(A)= 0.8 P(B)= 0.6. P(A∩B)= 0.5 Utilizando P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) P(A ∪ B) =0.8 + 0.6 – 0.5 = 0.9

Ejemplo 2 ¿Cuál es la probabilidad de obtener un total de 7 u 11 cuando se lanza un par de dados? Solución

Espacio Muestral: Ejemplo 2 (1,1), (1, 2),(1,3),(1,4), (1,5), (1,6) (2,1), (2, 2),(2,3),(2,4), (2,5), (2,6) (3,1), (3, 2),(3,3),(3,4), (3,5), (3,6) (4,1), (4, 2),(4,3),(4,4), (4,5), (4,6) (5,1), (5, 2),(5,3),(5,4), (5,5), (5,6) (6,1), (6, 2),(6,3),(6,4), (6,5), (6,6) }

Espacio Muestral: Ejemplo 2 (1+1),(1+2),(1+3),(1+4),(1+5),(1+6) (2+1),(2+2),(2+3),(2+4),(2+5),(2+6) (3+1),(3+2),(3+3),(3+4),(3+5),(3+6) (4+1),(4+2),(4+3),(4+4),(4+5),(4+6) (5+1),(5+2),(5+3),(5+4),(5+5),(5+6) (6+1),(6+2),(6+3),(6+4),(6+5),(6+6) }

Ejemplo 2 S={ 2, 3, 4, 5, 6, 7 3, 4, 5, 6, 7, 8 4, 5, 6, 7, 8, 9 5, 6, 7, 8, 9 10 6, 7, 8, 9 10, 11 } 7, 8, 9 10, 11, 12 P(A)=6/36 P (A ∪B) = P (A) +P (B ) P (A ∪B) = 8/36 = 2/9 P(B)=2/36

Ejemplo 3 Las probabilidades de que un individuo que compra un automóvil nuevo elija uno de color verde, uno blanco, uno rojo o uno azul son 0.09, 0.15, 0.21 y 0.23, respectivamente, ¿cuál es la probabilidad de que un comprador dado adquiera un automóvil nuevo que tenga uno de esos colores?

Ejemplo 3 Solución: Sean V, B, R y A los eventos de que un comprador seleccione, respectivamente, un automóvil verde, blanco, rojo o azul. Como estos cuatro eventos son mutuamente excluyentes, la probabilidad es P(V ∪ B ∪ R ∪ A) P(V ∪ B ∪ R ∪ A) = P(V) + P(B) + P(R) + P(A) = 0.09 + 0.15 + 0.21 + 0.23 = 0.68.

Teorema Si A y A’ son eventos complementarios, entonces P(A) + P(A’) = 1 S A

Ejemplo 3 Si las probabilidades de que un mecánico automotriz de servicio a 3, 4, 5, 6, 7, 8 o más vehículos en un día de trabajo dado son 0.12, 0.19, 0.28, 0.24, 0.10 y 0.07, respectivamente, ¿cuál es la probabilidad de que dé servicio al menos a 5 vehículos el siguiente día de trabajo?

Ejemplo 3 Solución 1: Sea E el evento de que al menos 5 automóviles reciban servicio. Ahora bien, P(E) = 1 – P(E), donde E es el evento de que menos de 5 automóviles reciban servicio. Como P(E) = 0.12 + 0.19 = 0.31 del teorema 2.9 se deduce que P(E) = 1 – 0.31 = 0.69.

Ejemplo 3 Solución 2: Sea x el número de vehículos trabajados P(X=3) =0,12 P(x=4)=0,19 P(x=5)=0,28 P(X=6)=0,24 P(X=7)=0,10 P(X=8+)=0,07 P(X=5)+P(X=6)+P(X=7)+P(X=8+) 0.28 + 0.24 + 0.10 + 0,07 0.28 + 0.24 + 0.10 + 0,07 0,69

Ejemplo 4 Suponga que las especificaciones del fabricante para la longitud del cable de cierto tipo de computadora son 2000 ± 10 milímetros. En esta industria se sabe que el cable pequeño tiene la misma probabilidad de salir defectuoso (de no cumplir con las especificaciones) que el cable grande. Es decir, la probabilidad de que aleatoriamente se produzca un cable con una longitud mayor que 2010 milímetros es igual a la probabilidad de producirlo con una longitud menor que 1990 milímetros.

Ejemplo 4 Se sabe que la probabilidad de que el procedimiento de producción cumpla con las especificaciones es 0.99. a) ¿Cuál es la probabilidad de que un cable elegido al azar sea muy largo? b) ¿Cuál es la probabilidad de que un cable elegido al azar sea mas grande que 1990 milímetros?

Ejemplo 4 Solución: Sea E el evento de que un cable cumpla con las especificaciones. Sean P y G los eventos de que el cable sea muy pequeño o muy grande, respectivamente. ¿Cuál es la probabilidad de que un cable elegido al azar sea muy largo? P(G)=?

Ejemplo 4 P(G)=P(P) P(E)=0,99 P(E’)=0,01 Entonces P(E)+ P(E’)=1 P(G)+P(P)=0,01 2P(G)=0,01 P(G)=0,005

Ejemplo 4 b) ¿Cuál es la probabilidad de que un cable elegido al azar sea mas grande que 1990 milímetros? Solución: P(E)+ P(E’)=1 P(E)+ P(G)+P(P)=1 P(E)+P(G)=?? 0,99+0,005 = 0,995

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