@ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO1 GEOMETRÍA PLANA U.D. 9 * 3º ESO E.AP.

@ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO2 CUADRILÁTEROS Y EXÁGONO U.D * 3º ESO E.AP.

@ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO3 CUADRILÁTEROS Los CUADRILÁTEROS son los polígonos de cuatro lados. Se clasifican en: TRAPEZOIDE No tiene ningún lado paralelo. Ejemplo: La cometa. TRAPECIO Tiene dos lados paralelos llamados bases. Trapecio: Tiene lados y ángulos distintos. Trapecio isósceles : Tiene dos lados iguales. Trapecio rectángulo : Tiene dos ángulos rectos. PARALELOGRAMOS Tienen los lados paralelos dos a dos. Cuadrado: Tiene los lados iguales y los ángulos rectos. Rectángulo: Tiene los ángulos rectos. Rombo : Tiene los lados iguales. Romboide : Tiene los lados y ángulos opuestos iguales.

@ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO4 PARALELOGRAMOS Un paralelogramo es un cuadrilátero que tiene los lados opuestos paralelos dos a dos. Los paralelogramos tienen los lados opuestos iguales. Los paralelogramos tienen los ángulos opuestos iguales. Las diagonales se cortan en su punto medio. Las diagonales de un cuadrado son iguales y perpendiculares. Las diagonales de un rectángulo son iguales. Las diagonales de un rombo son perpendiculares. Cuadrado Rectángulo Rombo Romboide

@ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO5 Ejemplo_1 La diagonal de un cuadrado mide 3 cm más que el lado. Hallar su perímetro y su área. P = 4.l  Necesitamos el lado. A = l 2  Necesitamos el lado. Por Pitágoras: d = l.√2 l + 3 = l.√2  3 = l.√2 – l 3 = l.(√2 – 1) l = 3 / 0,4142 = 7,24 P = 4.l = 4.7,24 = 28,96 cm A = l 2 = 7,24.7,24 = 52,42 cm2. Ejemplo_2 Hallar el área de un cuadrado en función de su diagonal. d = l.√2  l = d / √2 A = l 2 A = l 2 = (d / √2 ) 2 = = d 2 / √2 2 = d 2 / 2 CUADRADO

@ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO6 b h Ejemplo_3 En un rectángulo un lado es 5 cm mayor que el otro y la diagonal mide 10 cm. Hallar la base y la altura del rectángulo. Pongamos h = b+5 Por Pitágoras: d = √( b 2 + (b+5) 2 ) 10 2 = b 2 + b b b b + 25 – 100 = 0 2.b b – 75 = 0 Resolviendo la ecuación: √( ) b = = 4,11 cm 4 h = b + 5 = 9,11 cm P = 2.b+2.hA = b.h b h d’ d RECTÁNGULO

@ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO7 Ejemplo_4 En un rectángulo el perímetro mide 9 cm y el área vale 4,5 cm2. Hallar la diagonal. P = 2.b + 2.h  9 = 2.b + 2.h (1) A = b.h (2) De la primera ecuación: h = (9 – 2.b)/2 = 4,5 – b Sustituyendo en la segunda: 4,5 = b.(4,5 – b)  4,5 = 4,5.b – b 2 b 2 - 4,5.b + 4,5 0 Resolviendo la ecuación: 4,5 +/- √(20, ) b = = = (4,5 +/- 1,5) / 2 = 3 y 1,5 cm 2 Y la altura será: h=4,5 – b  h = 1,5 y 3 cm respectivamente. RECTÁNGULO

@ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO8 Ejemplo_5 En un romboide la altura mide 2 cm menos que la base, y sabemos además que el área vale 12 cm2. Hallar la altura, la base y el lado oblicuo. b l l h b Resolución: h = b – 2 (1) A = b.h  8 = b.h (2) Sustituyendo el valor de h de la (1) en la (2): 8 = b.(b – 2 )  8 = b 2 – 2.b  b 2 – 2.b – 8 = 0 2 +/- 6 Resolviendo la ecuación: b = = 4 y - 2  b = 4 cm 2 Luego h = b – 2 = 4 – 2 = 2 cm y l = indeterminado ROMBOIDE

@ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO9 Ejemplo 6 En un rombo la diagonal mayor es 4 cm mayor que la diagonal menor, y el lado del rombo mide 10 cm. Hallar el área del rombo. En el triángulo rectángulo resaltado, por Pitágoras: l = √ [ (D/2) 2 + (d/2) 2 ] 10 = √ [ ((d+4)/2) 2 + (d/2) 2 ] 100 = (d 2 + 8d + 16) / 4 + d 2 / = d 2 + 8d d 2 2.d 2 + 8d – 384 = 0 Ecuación de 2º grado. Resolviendo la ecuación: d = 12 Luego D = 12+4 = 16 y A = D.d / 2 = 96 cm2 ll l l D d ROMBO

@ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO10 TRAPECIOS Un TRAPECIO es el cuadrilátero ( 4 lados ) que tiene dos lados ( bases) paralelos. La base mayor se designa por “B” y la base menor por “b”. PERÍMETRO: P = B + b + l + l ’ b B l l’l’ hh b B h B b Si unimos dos trapecios como en la figura, se forma un romboide, de área: A = (B+b).h Luego el área del trapecio será la mitad del romboide.

@ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO11 b=5 B = 7 l l ’ h EJEMPLO_8 En un trapecio las bases miden 7 y 5 cm y el área vale 48 cm2. Hallar la altura, los lados oblicuos y dibujarlo. h Sabemos que: A = [(B+b) / 2].h Luego 48 = [(7+5)/2].h  48 =(12/2).h  48 = 6.h  h = 8 cm Pero, sin más datos, el trapecio es indeterminado (infinitas soluciones). TRAPECIO

@ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO12 b=5 B = 7 l l h EJEMPLO_9 En un trapecio isósceles las bases miden 11 y 5 cm y el área vale 48 cm2. Hallar la altura, los lados oblicuos y dibujarlo. h Sabemos que: A = [(B+b) / 2].h Luego 48 = [(11+5)/2].h  48 =(16/2).h  48 = 8.h  h = 6 cm Además a ambos lados se forma un triángulo rectángulo: Cateto mayor = altura, cateto menor = (B – b) / 2, hipotenusa = lado l Luego l = √ (h 2 + [(B – b)/2] 2 ) = √ (6 2 + [(11 – 5)/2] 2 ) = √ (36 + 9) = √45 cm TRAPECIO

@ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO13 b=5 B = 11 l l h EJEMPLO_10 En un trapecio rectángulo el perímetro mide 30 cm, las bases miden 11 y 5 cm y la altura es 2 cm menor que el lado oblicuo.. Hallar el área y dibujarlo. h Sabemos que: A = [(B+b) / 2].h Luego A = [(11+5)/2].h  A = 8.h Además P = B + b + h + l  30 = 16 + h + l Como h = l – 2  30 = 16 + (l – 2 ) + l  30 = l – 2 Luego 2.l = 16  l = 8 cm y por tanto h = 6 cm El área será A = 8.h = 8.6 = 48 cm2 TRAPECIO

@ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO14 Hallar el área del cuadrilátero de lados: a = 7 cm, b = 10 cm, c = 12 cm y d = 7 cm Sabiendo que el ángulo que forman los lados a y d es de 110º. a b c d P Ejercicio Resolución: Dividimos el trapezoide en 4 triángulos. Trazamos las 4 alturas, una por cada triángulo. Medimos las alturas. Calculamos el área de cada triángulo y sumamos las cuatro áreas halladas. TRAPEZOIDE

@ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO15 l apo Ejercicio_1 En un exágono el perímetro vale 54 cm. Hallar el área. PERÍMETRO: P = 6.l 54 = 6.l  l = 54 / 6 = 9 cm ÁREA: A = P. apo / 2 Apo = l. √3 /2 = 4,5.√3 A = 54. 4,5. √3 / 2 = 121,5.√3 cm 2 EXÁGONO ll