Dpto. Física Aplicada UCLM RESUMEN CAMPO MAGNÉTICO Antonio J. Barbero Dpto. Física Aplicada UCLM

ACCIÓN DE UN CAMPO MAGNÉTICO SOBRE UNA PARTÍCULA QUE SE MUEVE PERPENDICULARMENTE A LAS LÍNEAS DE CAMPO Módulo fuerza magnética Campo magnético uniforme en todos los puntos donde Fuerza magnética Módulo fuerza centrípeta Hasta aquí no hay campo magnético Carga +  fuerza magnética de igual sentido que el producto Igualando ambas Consecuencia: la fuerza magnética actúa como fuerza centrípeta que cambia la dirección de la trayectoria pero sin alterar el módulo de la velocidad Ejemplo: un protón moviéndose a 1000 km/s en un campo magnético de 0.01 T. Mientras permanezca dentro del campo magnético uniforme, la partícula describirá una trayectoria de radio R contenida en el plano perpendicular al campo magnético. PREGUNTA: ¿Cómo sería la trayectoria de un electrón y qué radio tendría si entrase en el mismo campo magnético moviéndose a la misma velocidad? El electrón es 1836 veces más ligero que el protón.

FUERZA MAGNÉTICA SOBRE UNA CARGA EN MOVIMIENTO La fuerza magnética: * Actúa sobre cargas en movimiento * Perpendicular al plano determinado por velocidad y campo magnético * Actúa como fuerza centrípeta (cambia la dirección del vector velocidad, no su módulo) trayectoria

FUERZA MAGNÉTICA SOBRE UNA CARGA EN MOVIMIENTO (II) Véase que La trayectoria proyectada en plano XY es una órbita circular cuyo radio depende de la carga q y de la masa m de la partícula. Trayectoria de la partícula cargada en el campo magnético: mientras que la componente perpendicular de la velocidad hace que describa una órbita circular, la componente paralela introduce una deriva que transforma la trayectoria en una espiral. Componente paralela a Componente perpendicular a Fuerza magnética = Fuerza centrípeta Trayectoria proyectada en plano XY Periodo de la órbita

FUERZA MAGNÉTICA SOBRE UNA CARGA EN MOVIMIENTO (III) Una carga se mueve en un campo magnético. Asocie cada trayectoria con el esquema A, B, C o D correspondiente. A) B) C) D) C) Carga positiva ascendente A) Carga positiva descendente D) Carga negativa ascendente B) Carga negativa descendente

FUERZAS MAGNÉTICAS SOBRE CORRIENTES MOMENTO MAGNÉTICO Fuerza sobre un elemento de corriente Fuerza sobre un tramo conductor Momento magnético Espira plana Efectos del campo B sobre el momento magnético Torque que tiende a alinearlo con el campo Energía potencial de la configuración Fuerza sobre corriente rectilínea L es la distancia PQ

CAMPO MAGNÉTICO CREADO POR UNA CARGA MÓVIL Campo creado en un punto arbitrario P Si q < 0, el sentido del campo magnético es opuesto al del del producto Constante magnética Si q > 0, el sentido del campo magnético es el mismo que el del producto CAMPO MAGNÉTICO CREADO POR UNA CARGA QUE VIAJA HACIA FUERA DEL PLANO DEL PAPEL Carga positiva Carga negativa

Campo magnético en P: Ley de Biot y Savart CAMPO MAGNÉTICO CREADO POR UNA CORRIENTE (I) Contribución de cada elemento de corriente al campo magnético en P Ejemplo: cálculo del campo magnético en el centro de una espira conductora de radio R situada sobre el plano YZ, que transporta una corriente I en sentido antihorario. 1) Véase que 2) Todos los elementos son a YZ 3) 4) El módulo de todos los elementos es el mismo, pues el radio R es constante. Campo magnético en P: Ley de Biot y Savart El subíndice L de la integral se refiere a la longitud total del conductor que transporta la corriente.

CAMPO MAGNÉTICO CREADO POR UNA CORRIENTE (II) Ley de Ampère. Enunciado: La circulación del campo magnético a lo largo de una curva cerrada es proporcional a la corriente neta que atraviesa cualquier superficie delimitada por la curva. La ley de Ampère resulta de utilidad para el cálculo del campo magnético que gocen de apropiadas condiciones de simetría. Ejemplo: cálculo del campo magnético alrededor de un conductor rectilíneo indefinido que transporta la corriente I. Sobre cualquier circunferencia de radio R concéntrica con el conductor, el módulo del campo magnético será el mismo, ya que todos los puntos de la circunferencia se encuentran a igual distancia de los elementos de corriente que constituyen las fuentes del campo magnético. Además, existen tantos elementos de corriente a un lado como a otro del plano determinado por la superficie del círculo delimitado por la circunferencia, luego el campo magnético debe estar contenido por simetría en el plano de dicho círculo, y debe ser paralelo al elemento de longitud tangente a la circunferencia. Circulación a lo largo de la curva C CIRCULACIÓN Indica curva cerrada Ley de Ampère. Formulación matemática: I se refiere a la corriente neta que atraviesa cualquier superficie delimitada por la curva cerrada C. Dirección tangente

Cálculo del campo por Biot y Savart: EJEMPLO 1. Campo magnético de un conductor rectilíneo en un punto arbitrario. El campo magnético debido a cada elemento de corriente en un punto como el indicado en el esquema tiene sentido entrante (a la derecha del conductor tiene sentido saliente, aunque esto no se muestra en la figura) r h l  Cálculo del campo por Biot y Savart:  Módulo dB Vector unitario perpendicular al plano de la figura, entrante a la izquierda y saliente a la derecha de la misma h  r 1 2 CASO PARTICULAR: Supongamos que hay cuatro conductores formando un cuadrado de lado L por donde circula la corriente I, y se pide el campo en el centro, por lo que los ángulos 1 y 2 son ambos 45º. El valor de h es El campo total es (Sentido saliente)

4.- Valor del campo magnético dado por la ley de Biot y Savart EJEMPLO 2. Campo magnético en un punto cualquiera del eje de simetría de una espira circular. 1.- Espira plana circular de radio R cuyo centro es nuestro origen de coordenadas 2.- La espira transporta la intensidad de corriente I. Consideramos un elemento de corriente. 3.- Este elemento de corriente 𝐼𝑑 𝑙 genera un campo magnético 𝑑 𝐵 en el punto (0,0,z) 4.- Valor del campo magnético dado por la ley de Biot y Savart 𝑋 𝑌 𝑍 90−𝜃 𝜃 𝑢 𝑟 𝑟 𝑑 𝐵 𝑢 𝑁 𝑢 𝑍 5.- Véanse los ángulos 𝑧 𝑌 𝑋 𝑍 𝜃 90−𝜃 𝑢 𝑟 𝑢 𝑁 𝑢 𝑍 𝜑 𝑑 𝐵 𝑑 𝐵 𝑍 𝑑 𝐵 𝑋𝑌 (0,0,z) 𝑅 𝑢 𝜑 𝐼𝑑 𝑙 =𝐼𝑑𝑙 𝑢 𝜑 𝑑𝜑 𝜑 6.- La dirección del campo 𝑑 𝐵 en el punto (0,0,z) es normal al plano que determinan los vectores 𝐼𝑑 𝑙 y 𝑢 𝑟 . El vector unitario en esa dirección es 𝑢 𝑁 . 7.- El campo magnético 𝑑 𝐵 en el punto (0,0,z) tiene una componente dirigida según el eje Z y otra paralela al plano XY. 11 El vector unitario 𝑢 𝜑 determina en cada punto de la circunferencia la dirección local de la tangente. El elemento de corriente 𝐼𝑑 𝑙 tiene en cada punto esa misma dirección y sentido.

8.- Expresamos 𝑑 𝐵 en función del vector unitario 𝑢 𝑁 EJEMPLO 2. Campo magnético en un punto cualquiera del eje de simetría de una espira circular (continuación). 8.- Expresamos 𝑑 𝐵 en función del vector unitario 𝑢 𝑁 9.- Para obtener el campo 𝐵 debemos integrar 𝑑 𝐵  véase que la componente 𝑑 𝐵 𝑍 es igual a 10.- Observando la figura debemos notar que el campo magnético en (0,0,z) no tendrá componente neta en dirección paralela al plano XY, porque cada componente 𝑑 𝐵 𝑋𝑌 se verá cancelada por la simétrica que apunta en dirección opuesta (la que corresponde al ángulo 𝜑+𝜋). Por tanto el campo 𝐵 será igual a 𝑋 𝑌 𝑍 90−𝜃 𝜃 𝑢 𝑟 𝑟 𝑑 𝐵 𝑢 𝑁 𝑢 𝑍 𝑧 𝑌 𝑋 𝑍 𝜃 90−𝜃 𝑢 𝑟 𝑢 𝑁 𝑢 𝑍 𝜑 𝑑 𝐵 𝑑 𝐵 𝑍 𝑑 𝐵 𝑋𝑌 𝑅 𝑢 𝜑 𝐼𝑑 𝑙 =𝐼𝑑𝑙 𝑢 𝜑 𝑑𝜑 𝜑 Integramos:

a) Cálculo del campo magnético en el origen de coordenadas EJEMPLO 3.- Un conductor muy largo que transporta una corriente continua I = 50 A está doblado formando un arco de cuarto de circunferencia de la manera que muestra la figura 3 A. El radio al que alude la figura es R = 1.25 cm. Ayuda a) Calcular el campo magnético en el origen de coordenadas explicando razonadamente cuál es su dirección y sentido. b) Una partícula de 0.01 gramos que tiene una carga de 10-7 C pasa por el origen de coordenadas moviéndose en el plano XY a 400 m/s, y formando su vector velocidad un ángulo q = 60º con la parte negativa del eje X (figura 3 B). Calcular su aceleración en ese momento, explicando razonadamente cuál es la dirección y sentido de dicha aceleración. Figura 3 A Figura 3 B a) Cálculo del campo magnético en el origen de coordenadas El campo que cada uno de los tres tramos de conductor, de acuerdo con la regla de la mano derecha, produce en el origen de coordenadas, está dirigido según el eje Z (perpendicular al plano del papel, sentido saliente). El campo total tiene pues igual dirección y sentido.

b) Aceleración de la carga en el origen de coordenadas EJEMPLO 3.- Un conductor muy largo que transporta una corriente continua I = 50 A está doblado formando un arco de cuarto de circunferencia de la manera que muestra la figura 3 A. El radio al que alude la figura es R = 1.25 cm. Ayuda a) Calcular el campo magnético en el origen de coordenadas explicando razonadamente cuál es su dirección y sentido. b) Una partícula de 0.01 gramos que tiene una carga de 10-7 C pasa por el origen de coordenadas moviéndose en el plano XY a 400 m/s, y formando su vector velocidad un ángulo q = 60º con la parte negativa del eje X (figura 3 B). Calcular su aceleración en ese momento, explicando razonadamente cuál es la dirección y sentido de dicha aceleración. Figura 3 A Figura 3 B b) Aceleración de la carga en el origen de coordenadas La fuerza magnética tendrá el sentido contrario al producto ya que la carga es negativa. Por tanto la fuerza forma un ángulo de 90º- q = 90º- 60º = 30º con la parte positiva del eje X Módulo Aceleración: aplicamos la 2ª ley de Newton