Criticalidad Auto-organizada en el Juego de la Vida Javier Novoa C. jstitch@gmail.com Benjamín Luna B. benjamin@sagitario.cic.ipn.mx Laboratorio de Sistemas Complejos, CIC-IPN Septiembre 9, 2005 Título.

Contenido Introducción ¿Qué es la Criticalidad Auto-Organizada (CAO)? ¿Qué son los Autómatas Celulares (AC)? ¿Qué es el Juego de la Vida? CAO en el Juego de la Vida Resultados Conclusiones Contenido.

Criticalidad Auto-Organizada (CAO) La CAO se refiere a un estado estático estadístico producido por procesos con una infinita separación en las escalas de tiempo (k=0) y que exhibe una invarianza de escalas sin necesidad de ajustes externos. [ G. Grinstein ] Propiedades: La relajación de un sistema consiste en la evolución del mismo desde que se le provoca una perturbación hasta que llega a un estado de reposo. Una característica de un sistema con CAO es que los tiempos de relajación obedecen una distribución en ley de potencias. La CAO aparece en fenómenos que son invariantes de las escalas de tiempo y espacio (suceden no importa la escala a la que esté ajustada el sistema). Fundamentalmente, la CAO engloba la idea de sistemas dinámicos con muchos grados de libertad que se auto-organizan naturalmente en un estado crítico en donde los mismos eventos que llevaron a la ocurrencia del estado crítico pueden ocurrir en cualquier escala, con los tamaños distribuidos de acuerdo a una ley de potencias. En los tipos de estructuras CAO, parece haber mecanismos inherentes que aparentan sisemas en equilibrio cerca de puntos críticos, pero que no están cerca del equilibrio, en vez de ello, continúan interactuando con el ambiente, ‘ajustándose a sí mismos’ en un punto en donde aparece el comportamiento crítico.

Observaciones sobre CAO Una avalancha es una perturbación en un sistema que se encuentra relajado. Una montaña puede decirse que presenta CAO, al perturbarse y provocarse una avalancha. Los tiempos de relajación obedecen a una ley de potencias. El coeficiente b es siempre el mismo para un sistema con CAO, no importan los detalles particulares como el tamaño. Por ello, la CAO puede asemejarse a lo que sucede en una montaña nevada, si se miden los tamaños de las avalanchas que suceden en ella, se encontrará una ley de potencias, donde las avalanchas más frecuentes serán las de intensidad menor, casi nula, y las menos frecuentes serán las avalanchas más catastróficas. Un sistema con CAO presenta la peculiaridad de, al ser invariante en las escalas de tiempo y espacio, contar siempre con el MISMO coeficiente de la ley de potencias.

Autómatas Celulares (AC) Son sistemas dinámicos discretos. Permiten modelar sistemas naturales complejos descritos como una colección masiva de objetos simples que interactúan localmente unos con otros. AC.

Autómatas Celulares Definición [ Wolfram, 1994 ] Una LATTICE, en cada sitio de la misma se ubican los objetos simples (celdas) del sistema. Cada celda de la lattice puede tomar un valor, que representa el ESTADO del objeto que ahí se encuentre. Las celdas interactúan con las vecinas que se hayan en su VECINDAD. Definición de AC.

Autómatas Celulares Una serie de REGLAS que definen qué nuevos valores tomarán las celdas a cada paso de tiempo, de acuerdo a sus vecindades. CONDICIONES DE FRONTERA. Las lattices son de tamaño finito, por lo que las celdas de la frontera son tratadas de manera especial. Definición de AC (2).

El Juego de la Vida (Game of Life) En 1970 John Horton Conway ideó un autómata celular conocido como “El Juego de la Vida” [ Gardner, 1970 ]: Lattice de 2 dimensiones, cada celda se conoce como célula, que puede estar viva o muerta. Las reglas rigen lo que sucede con cada célula (nacer, vivir o morir) de acuerdo a sus ocho células vecinas. Life Game.

Reglas Una célula viva permanecerá viva en el siguiente paso de tiempo si tiene dos o tres células vecinas vivas, en cualquier otro caso morirá. Una célula nacerá en el siguiente paso de tiempo si y solamente si tiene exactamente tres células vecinas vivas. Reglas de Life de Conway.

Condiciones de Frontera Frontera Abierta: las celdas afuera del borde se consideran con un valor fijo. En el caso del juego de la vida, una frontera abierta es [ Blok, 1995 ]: Fría si las células afuerda del borde se consideran muertas. Caliente si se consideran vivas. Condiciones de frontera en Life, en particular la abierta.

El Juego de la Vida Ejemplo de Life.

Configuraciones cíclicas Existencia de estructuras cíclicas en Life, una peculiaridad de un AC como este es este fenómeno, que no fue programado para existir, y que sin embargo existe debido a las interacciones locales que provocan este comportamiento complejo.

Estados de reposo Un estado de reposo en el juego de la vida es aquel donde se presenta la misma configuración de células de la lattice, entre un tiempo y 1, 2, 3, ..., o hasta n tiempos anteriores. Esto es debido a la existencia de configuraciones cíclicas en el juego de la vida. ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) Estados de reposo en Life. Ejemplo con dos estructuras cíclicas, una de período 2, y otra de 3. La conjunción provoca el período 6 para llegar al estado de reposo. ( 4 ) ( 5 ) ( 6 ) ( 7 )

CAO en el Juego de la Vida Una vez alcanzado un estado de reposo, el juego de la vida es perturbado cambiando una célula muerta a viva aleatoriamente. Esto provoca una avalancha en el sistema. La avalancha es medida contando el número de pasos de tiempo necesarios para que el juego de la vida retorne a un estado de reposo. CAO en Life.

CAO en el Juego de la Vida ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 ) Ejemplo de una perturbación en Life, una vez que estaba en reposo. ( 5 ) ( 6 )

Consideraciones previas Para los experimentos, usamos: Fronteras abiertas frías. Lattices cuadradas de tamaños 64x64, 128x128, 256x256, 512x512, 1024x1024 y 2048x2048. Configuración inicial fue aleatoria de células vivas con una probabilidad de existencia de 50%. Consideraciones previas del experimento.

Desarrollo Corre el juego de la vida hasta un estado de reposo. El sistema se perturba. Luego se llega a otro estado de reposo (midiendo la duración de la avalancha). Se vuelve a perturbar, hasta conseguir un número suficiente de mediciones. Una perturbación se provoca: Cambiando una célula muerta a viva, tal que tenga en su cercanía células vivas, para alterar al sistema y evitar avalanchas de duración 1, irrelevantes para la CAO. Descripción del experimento.

Resultados Las gráficas muestran las distribuciones de la duración de las avalanchas respecto al tiempo para los distintos tamaños de lattice analizados. Resultados obtenidos.

Resultados obtenidos (2).

Conclusiones Las duraciones de las avalanchas presentan leyes de potencias para todos los tamaños de lattice analizados. Se realizaron experimentos con un tamaño de lattice superior al que otras investigaciones manejaron como máximo, y los resultados fueron los esperados. En todas las lattices analizadas se presenta aproximadamente el mismo coeficiente b, la pendiente de la ley de potencias. Conclusiones.

Conclusiones Esta consistencia del coeficiente b en el sistema es el indicio de que el juego de la vida puede presentar Criticalidad Auto-Organizada. Los resultados concuerdan con lo obtenido por otros investigadores (Alstrøm y Leão, 1994; Bennett y Bourzutschky, 1991; Blok y Bergersen, 1997 ). El Juego de la Vida, a pesar de no ser un sistema natural, puede presentar CAO. Conclusiones (2).

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Instituto Politécnico Nacional Centro de Investigación en Computación Laboratorio de Sistemas Complejos Javier Novoa Cataño jstitch@gmail.com Benjamín Luna Benoso benjamin@sagitario.cic.ipn.mx Fin.