Diversas denominaciones EjesVectores unitariosAbreviación Ox 1 ē 1 (1,0,0) Eje: Ox i Ox 2 ē 2 (0,1,0) Vector unitario ē i Ox 3 ē 3 (0,0,1) con i = 1, 2, 3 En la Figura 1.1 las coordenadas del punto P son: x 1, x 2, x 3 o x i El radio vector de P es OP= x 1 ē 1 + x 2 ē 2 + x 3 ē 3 = Σ x i · ē 1 i = 1,2,3 x3x3 x1x1 x2x2 11 P(x 1,x 2,x 3 ) 22 33 ē1ē1 ē2ē2 ē3ē3 Vectores y tensores Notación indicial Fig 1.1 O

Convención de Einstein Convención de suma de Einstein: La expresión anterior para OP puede simplificarse o condensarse aún más de la siguiente manera: OP = x i · e i (1) “ Siempre que un mismo índice ocurra dos veces en un término se debe sumar automáticamente, dando al índice repetido valores de 1, 2, 3.” De esta manera la primera expresión para OP puede simplificarse omitiendo el signo Σ y omitiendo expesiones idénticas que difieren solamente en el valor de i. La notación provee brevedad y elegancia en desarrollos. Ejemplos: Ā = A i · ē i = A 1 ē 1 + A 2 ē 2 + A 3 ē 3 lĀl 2 = A i ·A i = A A A 3 2 Ā·Ū = A i ·U i = A 1 ·U 1 + A 2 ·U 2 + A 3 ·U 3

Convención de Einstein -Un índice repetido se llama “dummy” y puede ser reemplazado por cualquier otra letra no utilizada en otro lugar de la expresión: u i ·u i = u k ·u k = u j ·u j en cada caso i, j, k toman valores de 1, 2, 3. -Un mismo índice no puede ocurir más de dos veces en el mismo término: e iii no es permisible -Un índice no repetido se llama índice “libre”, éste debe tomar valores de 1, 2 y 3; pero no se aplica la convención de suma. -Veremos algunos ejemplos.

¿Qué representan diferentes expresiones en notación indicial? - u ii = u kk = u 11 + u 22 + u 33. Es una sóla ecuación porque no hay índices libres, sólo indices dummy. - w i = u i + v i. Es un conjunto de tres ecuaciones para i = 1, 2, 3 ; porque i es un índice libre. - c ik = a ik + b ik Es un conjunto de 9 ecuaciones porque hay dos índices libres. - e ijk · e ilm = e pjk · e plm Es una expresión admisible. Las siguientes son expresiones no admisibles: - a k + b i =0 - a i = δ ik + b j

Delta de Kronecker Se define como: δ ij = 1 si i=j δ ij = 0 si i  j δ 11 = δ 22 = δ 33 = 1 δ 12 = δ 21 = δ 23 = δ 32 = δ 31 = δ 13 = o Sean los vectores ortogonales ē i : ē 1 · ē 1 = ē 2 · ē 2 = ē 3 · ē 3 = 1 ē 1 · ē 2 = ē 2 · ē 3 = ē 3 · ē 1 = 0 Estas relaciones pueden reducirse a: ē i · ē j = δ ij

Delta de Kronecker (Continuación) El delta de Kronecker puede ser utilizado como operador de sustitución: δ ij ·a j = δ i1 ·a 1 + δ i2 ·a 2 + δ i3 ·a 3 Si i = 1 se tiene: δ i1 = 1 δ i2 = δ i3 = 0 ; luego: δ ij ·a j = a 1, e igualmente si i = 2: δ 2j ·a j = a 2 y si i = 3 δ 3j ·a j = a 3 Luego : δ ij ·a j = a i Así, δ ij operando sobre a j sustituye el índice j por i Otro ejemplo:  x i /  x j es = 1 si i = j, es = 0 si i  j; Luego  x i /  x j = δ ij

Símbolo de Permutación o Alternante El símbolo de permutación o alternante se expresa por E ijk, el cual tiene las siguientes propiedades: 0 si hay dos índices iguales; Ε ijk es: 1 si i,j,k tiene n orden de permutación par: 1,2,3; -1 si i,j,k tienen orden de permutación impar: 3,2,1 ; 2,1,3; 1,3,2 E 123 = E 231 = E 312 = 1 E 321 = E 213 = E 132 = 0 E 112 = E 322 = …. = 0 Se puede probar que : (ūxŵ) i = E ijk ·u j ·w k Identidad de permutación: E ijk ·E ilm = δ jl ·δ km - δ jm ·δ kl

Algebra de vectores con notación indicial Vectores unitarios ē i : ē i ·ē j =δ ij ē i ·(ē j x ē k ) = E ijk Para vectores cualesquiera: ā·ĉ = a i ·c i āxĉ = E ijk ·a j ·c k ·ē i (āxĥ)·ĉ = E ijk ·a i ·h j ·c k [āx(ĥxĉ)] i = E ijk ·E klm ·a j ·h l ·c m Esta expresión es equivalente a la conocida: āx(ĥxĉ) = (ā·ĉ)ĥ - (ā·ĥ)ĉ

Transformación de ejes coordenados Rotación de ejes Un vector puede ser expresado por sus componentes en un sistema arbitrario x,y,z o según otro sistema de referencias arbitrario x’,y’,z’; sin embargo el vector sigue siendo el mismo. Por tanto las componentes del vector según x,y,z y según x’,y’,z’ deben estar relacionadas. Llamaremos x 1,x 2,x 3 las componentes del vector en el sistema x,y,z y x’ 1,x’ 2,x’ 3 aquellas en el sistema x’,y’,z’. Los dos sistemas de ejes coordenados y los ángulos entre sus ejes se muestran el la Fig. 1.2

Sistemas de referencias x,y,z y x’,y’,z’ Fig. 1.2

Cosenos de ángulos entre ejes antiguos y nuevos Los cosenos a ij de los ángulos entre los ejes nuevos y los ejes antiguos se pueden organizar en la siguiente matriz, en la cual el primer índice del término a ij se refiere a los ejes nuevos y el segundo índice a los ejes antiguos. De esta manera a ij es el coseno del ángulo entre el eje x’ i y el eje x j. Ejesx1x1 x2x2 x3x3 x’ 1 a 11 a 12 a 13 x’ 2 a 21 a 22 a 23 X’ 3 a 31 a 32 a 33 Ejes antiguos Ejes nuevos

Transformación de componentes al girar los ejes coordenados Si un vector tiene componentes p 1, p 2,, p 3 respecto de los ejes x 1, x 2, x 3 tendrá componentes p’ 1, p’ 2, p’ 3 respecto de los ejes x’ 1, x’ 2, x’ 3. La relación entre ambos conjuntos de componentes será: p’ i = a ij ·p j (términos nuevos en función de los antiguos notar que los índices dummy ocurren en lugares más próximos) p i = a ji · p’ j ( términos antiguos en función de los términos nuevos, los índices dummy ocurren en lugares alejados)

Orden de tensores Los escalares son tensores de orden cero; los vectores son tensores de orden 1; las tensiones y las deformaciones son tensores de orden 2. Como cosa novedosa para muchos, el módulo elástico de un material anisotrópico es un tensor de orden 4, porque relaciona dos tensores de orden 2: tenión con deformación,

Transformación de componentes en tensores de segundo orden Dos vectores, o tensores de primer orden, se relacionan por un tensor de segundo orden: p k = T kl · q l Donde: k es un índice libre y l es un índice dummy. Las componentes de p (p’ i ) en un nuevo sistema de ejes x’ i en función de las componentes (p k ) en el sistema antiguo de ejes son: p’ i = a ik ·p k Las componentes de q (q l ) en el antiguo sistema de ejes x i en función de las componentes (q’ i ) en el nuevo sistema de ejes son : q l = a jl ·q’ j Efectuando las siguientes relaciones: p’ i = a ik ·p k = a ik ·T kl ·q l = a ik ·T kl ·a jl ·q’ j p’ i = T’ ij ·q’ j Luego: T’ ij =a ik ·a jl ·T kl (Componentes en ejes nuevos en función de las componentes en ejes antiguos)

Transformación de componentes en tensores de segundo orden La obtención de las componentes en el sistema antiguo de ejes en función de las componentes en el sistema nuevo de ejes (transformación inversa) se realiza mediante la siguiente ecuación: T ij = a ki ·a lj ·T’ kl Se puede utilizar como ayuda memoria:En la transformación donde las nuevas componentes son expresadas en términos de las antiguas componentes los índice dummy se colocan lo más cerca posible; mientras que en la transformación inversa los índices dummy se colocan lo más alejado posible.