MODELADO REJILLA ADAPTATIVA DE LAS CÉLULAS CANCEROSAS EN LA PRIMERA ETAPA DE LA INVASIÓN Grupo 1

INTEGRANTES Alvaro Proleon Raul Collantes Gonzalez Joao Alexander Mari Salcedo Carlos Enrique Mendoza Medrano Esteban Adrian Sotomayor Fernández Tania Marianella

RESUMEN La Modelización del sistema activador del plasminógeno uroquinasa(UPA) con un modelo para las células cancerosas dinámica conducen a un sistema de cinco ecuaciones diferenciales parciales acopladas la solución de los cuales,sobre el dominio de una sola dimensión se puede obtener usando el método de los elementos finitos(FEM).Aunque el presente acuerdo de trabajo con un problema de modelo 1D un tanto simplificada, la obtenida numérica resultados confirman la validez de la técnica utilizada; Además, debido a la resolución espacial mejorada proporcionada con respecto a cálculos realizados sobre dominios uniformemente discretos, añaden predicciones más realistas acerca de la etapa temprana de tumores

INTRODUCCIÓN El cáncer es una de las principales causas de morbilidad y mortalidad en todo el mundo; según la Organización Mundial de la Salud en 2012 hubo unos 14 millones de nuevos casos y 8,2 millones de muertes relacionadas con el cáncer. Revisiones recientes se centran en la modelización matemática del crecimiento celular y la proliferación del cáncer, uno de dichos modelos es el Modelo de Crecimiento Avascular, el cual se agrupa en tres categorías: 1. Los Modelos continuos expresados como sistemas de Ecuaciones Diferenciales Parciales-PDE 2. Enfoques discretos 3. Enfoques continuo híbrido/combinaciones discretas

PRESENTACIÓN DEL PROBLEMA El problema consiste en determinar un modelo matemático apropiado para detener el crecimiento celular y la proliferación del cáncer en la primera etapa de la invasión. Desafortunadamente, las técnicas ya existentes de remallado estáticas pueden dar lugar a una enorme cantidad de errores, de igual manera, la modelización del sistema dinámico también tiene muchas fallas. Siendo conscientes de esta realidad problemática, se ha desarrollado simulaciones numéricas que de hecho, mejorarán la resolución del modelo y dará una nueva visión acerca del problema de la proliferación de las células cancerosas.

OBJETIVOS Implementar la técnica numérica PDE utilizando FEM, con el fin de resolver el sistema PDE. Verificar la validez de la técnica utilizada con los resultados numéricos obtenidos. Simular a valores bajos de Dc (Difusión de Células cancerosas) para saber la estructura de la invasión tumoral frontal que puede estar asociado a un aumento del grado de malignidad. Comprobar la interacción entre las células cancerosas y la motilidad su proliferación heterogénea. Obtener predicciones más realistas acerca de la etapa temprana de tumores mediante una resolución espacial mejorada proporcionada con respecto a cálculos realizados sobre dominios uniformemente discretos. Establecer y verificar predicciones que pueden ser útiles desde el punto de vista clínico y quirúrgico.

DESCRIPCIÓN DE LA SOLUCIÓN Anteriormente hemos observado que el sistema PDE es una categoría del Modelo de crecimiento tumoral vascular. Ahora El modelo de evolución para la invasión de células cancerosas dice lo siguiente del sistema PDE: Las Ecuaciones. (4) - (8) constituyen un sistema de cinco PDEs acoplados el modelado de la interacción entre el sistema de uPA y las células cancerosas, que hay que resolver en un dominio espacial unidimensional.

DESCRIPCIÓN DE LA SOLUCIÓN Para nuestros cálculos, modelamos el problema real simulando una porción unidimensional de tejido de espesor d = 7 mm. Entonces, el dominio en el 0 <x <7 espesor no dimensional se discretiza por una malla de 700 puntos de la cuadrícula, y la evolución dinámica del sistema se controla en el 0 <t <500 intervalo de tiempo no dimensional, lo que corresponde a alrededor de 58 días. Además Dc = 3.5 × 10-4, las ecuaciones (4) - (8) se resuelven en cada paso de tiempo, sustituyendo en la ecuación (16) la solución exacta w (x, t) con c (x, t), permitiendo que los puntos de la rejilla, sobre la que se calcula la solución, ser impulsadas por la concentración de las células cancerosas. Tal elección da una malla densa de acuerdo a la creciente ∇ c.

RESULTADOS NUMÉRICOS En la Fig. 2, nos muestran las trayectorias de nodos generados por el algoritmo adaptativo de malla dentro del dominio simulado. El eje horizontal corresponde a la el espesor del tejido en el ≤ x ≤ 7 gama 0, mientras que el eje vertical corresponde a la escala de tiempo de la evolución en solución el intervalo de tiempo 0 ≤ t ≤ 500. En t = 0 los nodos son uniformemente espaciadas y la distribución de células se prescribe por la inicial condiciones; t> 0 los nodos se mueven de acuerdo a la evolución de ∇ c: sus trayectorias son lisas dentro de pocas décimas de unidad de tiempo, mientras que por encima t = 40 se vuelven más y más homogénea. Ese comportamiento refleja en la Fig. 3, en el que mostrar el patrón de proliferación de células cancerosas, linealmente asignada en una escala de niveles de gris entre el negro (densidad cero) y blancos colores (máxima densidad), con ejes horizontales y verticales como en la Fig. 2. Para t <40, no se puede detectar la proliferación a lo largo del espesor del tejido, mientras que al aumentar los tiempos de células cancerosas comienzan a proliferar.

En la Fig. 4 (a) - (f) que vigilar la evolución de densidad de las especies que interactúan a lo largo del espesor del tejido, en varios temporal pasos, es decir, la densidad de células de cáncer de c (x, t) (línea continua), la densidad v VN (x, t) (línea de puntos), la densidad de UPA u (x, t) (discontinua salpicaban línea), el PAI-1 de densidad p (x, t) (línea discontinua) y la densidad de la plasmina m (x, t) (línea de trazos y puntos delgada). Nos centramos nuestra atención en el perfil de concentración de células de cáncer: en t = 0, Fig. 4 (a), se prescribe por la impusieron condiciones iniciales, y hasta t = 30 es uniformemente agrupado cerca de x = 0 en una forma progresiva amplia y lisa estructura. En t = 35, Fig. 4 (b), el perfil de densidad comienza a cambiar: alrededor de x = 0.5 un frente empinada y brusca de la invasión es diferente. Por t = 75, Fig. 4 (c), las estructuras nuevas y agudas se presentan en el perfil de densidad superpuesto sobre un fondo liso, lo que indica una agrupación de células de cáncer no homogénea. En t = 105, Fig. 4 (e), el simulado dominio está casi totalmente invadido, un comportamiento que persiste hasta t = 500, Fig. 4 (f): el perfil de densidad presenta repetida picos agudos, consecuencia del carácter no homogéneo de los grupos celulares de cáncer, por lo tanto, malignidad.

Como hemos demostrado [42] que los resultados de la función de monitor utilizado en un método más fiable, eficaz y eficiente que la utilizada en [55], se espera una mejora general de nuestro método MMPDE, particularmente con respecto a las redes de uniformes métodos, y sugieren que durante la etapa temprana de la formación de tumores de un alto grado de malignidad se asocia a un mínimo velocidad de la invasión; una vez que una porción de tejido ha sido invadido por tumor, tumor maligno se basan en la altamente no homogénea patrones de proliferación.

CONCLUSIONES En este trabajo, hemos implementado la técnica numérica PDE utilizando FEM, con el fin de resolver el sistema PDE derivados por Andasari et al. [33], como el resultado de una modelización matemática de la interacción del sistema de uPA con célula de cáncer proliferación. Las variaciones en la motilidad de células de cáncer como consecuencia de mutaciones de células malignas conducir a una mayor velocidad de el frente de invasión. Aunque el presente acuerdo de trabajo con un problema de modelo 1D un tanto simplificada, la obtenida numérica resultados confirman la validez de la técnica utilizada; Además, debido a la resolución espacial mejorada proporcionada con respecto a cálculos realizados sobre dominios uniformemente discretos, añaden predicciones más realistas acerca de la etapa temprana de tumores

BIBLIOGRAFÍA