Geometría Analítica en el Espacio UNIVERSIDAD NACIONAL DEL NORDESTE Facultad de Arquitectura y Urbanismo CIENCIAS BÁSICAS Geometría Analítica en el Espacio Realizado por el Magister Ingeniero Luis Kosteski para Analisis Matemático II de Ingeniería

BREVE REPASO DE GEOMETRÍA EN EL PLANO Ecuación Lineal( todas las variables están elevadas a la 1°)= Recta Ecuación General de la Recta: Ax + By + C=0 Y=f(x) Ecuación segmentaria de la Recta:

Ecuaciones cuadráticas (por lo menos una variables elevada al cuadrado) ⇒ Cónicas Cónicas con centro en el origen: Si los términos son positivos = elipse Si además a=b=r = circunferencia

Un término positivo y el otro negativo = Hipérbola El término negativo determina el eje imaginario. La curva NO corta al eje imaginario No se pueden dar dos términos negativos, pues no se estaría en el plano real.

Cónicas sin centro = Parábola La parábola rodea al eje de la variable lineal.

Funciones de dos Variables Una función de dos variables en geometría representa una superficie en el especio de tres dimensiones (R3). Z= f(x,y) Dominios formado por dos variables independientes. Z0= posición de la imagen que corresponde al punto del dominio (x0, y0)

Ecuación Lineal ( todas las variables están elevadas ala 1° potencia) = PLANO ECUACIÓN General del Plano Ecuación segmentaria del Plano

SUPERFICIES CUÁDRICAS Cuádricas concentro en el origen: Variando los signos positivos y negativos se obtiene los distintos tipos de superficies. En este tipo de superficies existe una triple simetría, por lo tanto son simétricas respecto al punto de intersección entre las superficies. Entonces podemos decir que son simétricas respecto a un centro.

ELIPSOIDE Los tres términos cuadráticos positivos

DEFINICIÓN DE TRAZAS Curvas de intersección de la superficie con planos paralelos a los planos de coordenadas. Estas curvas se llaman trazas ( o secciones transversales) de la superficie.

TRAZAS Traza con el plano “xy”, z=0 Traza con el plano “xz”, y=0

Traza con el plano “yz”, x=0 Si una de las trazas es una circunferencia se llama elipsoide de revolución. De acuerdo a los valores de os parámetros el elipsoide puede tomar distintas posiciones

En el caso , que todos los parámetros sean iguales, es decir a=b=c=r, se tiene una esfera

Dos términos cuadráticos positivos y uno negativo= HIPERBOLOIDE DE UNA HOJA El hiperboloide NO CORTA al eje de la variable que está en el término negativo

Traza con el plano “xy”, z=0 Hipérbola con eje real en “y”, eje imaginario en “x”

Traza con el plano “xz”, y=0 Hipérbola con eje real en “z”, eje imaginario en “x”

Traza con el plano “yz”, x=0 La elipse más pequeña, se la llama elipse de garganta ELIPSE

SI en vez de tener como traza una elipse se tiene una circunferencia, la superficie se llama HIPERBOLOIDE DE UNA HOJA DE REVOLUCIÓN Esta es una superficie reglada, es decir, que se la puede obtener mediante rectas. De acuerdo a los valores de los parámetros el hiperboloide de una hoja puede tomar distintas posiciones.

Un término cuadrático positivo y dos términos cuadráticos negativos: HPERBOLOIDE DE DOS HOJAS El hiperboloide NO CORTA al plano formado por los ejes de las variables que están en los términos negativos

TRAZAS DEL HIPERBOLOIDE DE DOS HOJAS Traza con el plano “xy”, z=0 NO EXISTE TRAZA

Plano “xy”, z= d traza con |d | |c | Entonces: Y como |d | |c |, quiere decir que entonces se puede llegar a ELIPSE

Traza con el plano “xz”, y=0 Hipérbola eje real en “z”, eje imaginario en “x”

Traza con el plano “yz”, x=0 Hipérbola eje real en “z”, eje imaginario en “y”

Si los dos parámetro negativos tienen el mismo valor el HIPERBOLOIDE DE DOS HOJAS se dice de revolución ( se llega a a1=b1)

Cuádricas sin centro PARABOLOIDES

Los dos términos cuadráticos con el mismo signo: PARABOLOIDE ELÍPTICO El paraboloide rodea al eje de la variable lineal

Trazas del paraboloide elíptico Traza con el plano “xy”, z=0 Punto (0,0), vértice del paraboloide

Traza con un plano paraleloal “xy”, z=d con d 0 Entonces se puede llegar a: ELIPSE

Traza con el plano “xz”, y=0 Parábola que abraza al eje “z”

Si la sección norma al eje que rodea al paraboloide es una circunferencia, es decir p=Q, el paraboloide se llama de revolución. Si el vértice está desplazado sobre el eje al que rodea el paraboloide, se tiene: Variando los parámetros ya mencionados y sus signos se pueden tener los siguientes paraboloides:

Los dos términos cuadráticos con distinto signo: PARABOLOIDE HIPERBÓLICO

Trazas del paraboloide hiperbólico Traza con el plano “xy”, z=0 Dos rectas que pasan por el origen

Traza con el plano “ xz”, y=0 Parábola que abraza al eje “z” con ramas de concavidad negativas

Traza con el plano “yz”, x=0 Parábola que abraza al eje “z”, con ramas de concavidad positivas

Si marcamos la intersección del paraboloide hiperbólico con los planos paralelos al “xy” tenemos z= d Dependiendo del signo de “d” son hipérbolas con eje imaginario x ó y

El hiperboloide hiperbólico es una superficie reglada

Se llama superficie cilíndrica a una superficie generada por una recta que se desplaza paralela a si misma siguiendo una curva C llamada directriz

Si la directriz de una superficie cilíndrica en una circunferencia, la superficie se llama circular. Análogamente, tenemos superficies cilíndricas, parabólicas, elípticas e hiperbólicas