Recuerda. Igualdades numéricas y con letras Tema: 7 Ecuaciones de primer grado 1 Matemáticas 1º Recuerda. Igualdades numéricas y con letras La balanza está equilibrada. Representa una igualdad numérica 12 + 2 = 9 + 5 1er miembro 2º miembro Una igualdad numérica se compone de dos expresiones numéricas unidas por el signo igual (=). La expresión de la izquierda del signo igual se llama primer miembro, y la de la derecha, segundo miembro. Igualdades con letras IMAGEN FINAL ¿Qué número hay que sumar a 13 para que salga 20? Podemos escribir la igualdad: 13 + = 20 ? ? = 7 En lugar del signo se suele poner una letra, por ejemplo x. ? 13 + x = 20 x = 7 En una condición expresada por una igualdad, una letra representa un número determinado, cuyo valor hace que se cumpla la igualdad.

Tema: 7 Ecuaciones de primer grado 2 Matemáticas 1º Ecuaciones La balanza está equilibrada: el peso de los dos platillos es el mismo. x A lo que pesa el trozo de queso le podemos llamar x. Tendremos la igualdad: x + 100 = 350 Esta igualdad es una ecuación. La letra x se llama incógnita, porque su valor es desconocido. Una ecuación es una igualdad en cuyos miembros hay letras y números relacionados por operaciones aritméticas. Las letras se llaman incógnitas. P a r a p r a c t i c a r Calcula por tanteo el valor de la incógnita en las igualdades: a) x + 3 = 7 b) y – 2 = 4 c) 3 · x = 21 El signo “por”, ×, se sustituye por un punto: “·” x = 4, pues: 4 + 3 = 7 y = 6, pues: 6 – 2 = 4 x = 7, pues: 7 · 3 = 21 IMAGEN FINAL

Ecuaciones de primer grado con una incógnita Tema: 7 Ecuaciones de primer grado 3 Matemáticas 1º Ecuaciones de primer grado con una incógnita Observa las ecuaciones: x + 5 = 9; 2 · y = 12; 3 · t – 2 = 14 Todas tienen una sola incógnita que está elevada a exponente 1. (Lo de menos es que la llamemos x, y o t). Son ecuaciones de primer grado con una incógnita. Una ecuación de primer grado con una incógnita es una ecuación que tiene una sola incógnita con exponente 1. Las siguientes balanzas en equilibrio expresan ecuaciones de primer grado con una incógnita: 5 8 x 2 x x x x x 4 x x x x 1 x + 2 = 5 x + x + x = x + 8 x + 4 = x + x + x + x + 1 3 · x = x + 8 x + 4 = 4 · x + 1 No son de primer grado las ecuaciones: x2 = 9 6 · t2 + 2 · t + 2 = 0 2 · x3 = 250 IMAGEN FINAL

Solución de una ecuación de primer grado Tema: 7 Ecuaciones de primer grado 4 Matemáticas 1º Solución de una ecuación de primer grado Observa la balanza. ¿Cuánto pesa la naranja? x Platillo izquierdo: x + 150 Platillo derecho: 225 + 50 Pesan igual: x + 150 = 225 + 50 O también: x + 150 = 275 Esta igualdad es una ecuación. ¿Cuánto tiene que valer x para que resulte una igualdad numérica? Es fácil ver que x = 125, pues: 125 + 150 = 275 La naranja pesa 125 g La solución de una ecuación de primer grado con una incógnita es el valor que hay que dar a la incógnita para que resulte una igualdad numérica. Resolver una ecuación es hallar su solución. Para comprobar que una solución es correcta hay que sustituir en la ecuación y ver que se cumple la igualdad. Ejemplo La solución de la ecuación 2 · x – 2 = x + 1 es x = 3 pues 2 · 3 – 2 = 3 + 1 = 4 IMAGEN FINAL

Ecuaciones equivalentes Tema: 7 Ecuaciones de primer grado 5 Matemáticas 1º Ecuaciones equivalentes La solución de las tres ecuaciones siguientes es x = 3: Sustituyendo: Primer miembro Segundo miembro a) 2 · x – 4 = 2 2 · 3 – 4 = 2 2 b) x + 6 = 3 · x 3 + 6 = 9 3 · 3 = 9 c) 3 · x + 7 = 5 · x + 1 3 · 3 + 7 = 16 5 · 3 + 1= 16 Dos o más ecuaciones son equivalentes si tiene la misma solución. Observa como pueden hacerse ecuaciones equivalentes a otra dada: 1ª ecuación: 8 · x = 16 Su solución es x = 2. (¿Es cierto?) Le sumamos 4 a cada miembro 2ª ecuación: 4 + 8 · x = 4 + 16 4 + 8 · x = 20 Restamos 6 ·x a cada miembro 3ª ecuación: 4 + 8 · x – 6 · x = 4 + 16 – 6 · x 4 + 2 · x = 20 – 6 · x Comprueba que x = 2 es la solución de las tres ecuaciones. IMAGEN FINAL

Tema: 7 Ecuaciones de primer grado 6 Matemáticas 1º Regla de la suma Muy pocas ecuaciones pueden resolverse mentalmente. Para resolverlas es necesario aplicar unas reglas. La primera es la regla de la suma Añadimos la pesa 3 Quitamos la pesa 3 x = 7 x + 3 = 7 + 3 Luego: Regla de la suma Si a los dos miembros de una ecuación se suma o resta un número o una expresión semejante a las utilizadas en la ecuación, se obtiene otra ecuación equivalente a la dada. Ejemplo: Para resolver la ecuación 3 · x – 1 = 2 · x + 4 Sumamos 1: 3 · x – 1 + 1 = 2 · x + 4 + 1 3 · x = 2 · x + 5 Restamos 2 · x: 3 · x – 2 · x = 2 · x + 5 – 2 · x x = 5 La solución es x = 5 IMAGEN FINAL

Tema: 7 Ecuaciones de primer grado 7 Matemáticas 1º Regla del producto Observa las dos balanzas y las ecuaciones que representan: 6 6 6 6 6 6 x x x x x x 5 · x = 5 · 6 x = 6 Se ha dividido por 5 Luego: Regla del producto Si a los dos miembros de una ecuación se los multiplica o divide por un número distinto de cero, se obtiene otra ecuación equivalente a la dada. Ejemplo: Para resolver la ecuación: 3 · x – 4 = x + 6 +4 –x :2 Sumamos 4: 3 ·x = x + 10 Restamos x: 2 · x = 10 Dividimos por 2: x = 5 La solución es x = 5 IMAGEN FINAL

Aplicación de las reglas. Ejemplos Tema: 7 Ecuaciones de primer grado 8 Matemáticas 1º Aplicación de las reglas. Ejemplos La utilización de la reglas de la suma y del producto permite simplificar todas las ecuaciones de primer grado, esto es, hacerlas más sencillas. Practiquemos con dos ejemplos: Ejemplo 1. Resuelve: 5x – 3 = 2x Nota: El signo de la multiplicación no suele ponerse ni entre las letras ni entre números y letras. 5 · x 5x Sumamos 3: 5x = 2x + 3 Restamos 2x: 3x = 3 Dividimos entre 3: x = 1 Ejemplo 2. Resuelve la ecuación: Multiplicamos por 9: 2x = 36 Dividimos entre 2: x = 18 Comprobamos: IMAGEN FINAL

Resolución de ecuaciones Tema: 7 Ecuaciones de primer grado 9 Matemáticas 1º Resolución de ecuaciones Ecuaciones con paréntesis Nos planteamos la ecuación: 5 · (2 x – 5) = 15 Para resolverla se siguen los siguientes pasos: Suprimir el paréntesis: 10x – 25 = 15 Sumamos 25: 10x = 40 Dividimos entre 10: x = 4 Para resolver ecuaciones: 1.º Suprime los paréntesis. 2.º Aplica la regla de la suma. 3.º Aplica la regla del producto. IMAGEN FINAL Otro ejemplo: Resuelve: 7(2x – 1) = 3(4x + 1) Suprimir el paréntesis: 14x – 7 = 12x + 3 Sumamos 7: 14x = 12x + 10 Restamos 12x: 2x = 10 Dividimos entre 2: x = 5

Técnicas y estrategias RESOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN Tema: 7 Ecuaciones de primer grado 10 Matemáticas 1º Técnicas y estrategias PROBLEMA Iván tiene 12 años y su hermana Rocío tiene 2 años. ¿Cuántos años deberán pasar para que la edad de Iván sea el doble que la de su hermana? INCÓGNITA Número de años que tiene que pasar para que la edad de Iván sea doble que la de hermana: x DATOS Lenguaje algebraico Edad de Iván 12 Actualidad Edad de Rocío 2 Edad de Iván 12 + x Dentro de x años Edad de Rocío 2 + x ECUACIÓN La edad de Iván es doble que la de Rocío: 12 + x = 2(2 + x) RESOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN Paréntesis: 12 + x = 4 + 2x Restar x: 12 = 4 + x Restar 4: 8 = x Dentro de 8 años Iván tendrá doble edad que su hermana. COMPROBACIÓN Dentro de 8 años Iván tendrá 12 + 8 = 20 años, y su hermana Rocío, 2 + 8 = 10 años. IMAGEN FINAL

Técnicas y estrategias RESOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN Tema: 7 Ecuaciones de primer grado 10 Matemáticas 1º Técnicas y estrategias PROBLEMA Iván tiene 12 años y su hermana Rocío tiene 2 años. ¿Cuántos años deberán pasar para que la edad de Iván sea el doble que la de su hermana? INCÓGNITA Número de años que tiene que pasar para que la edad de Iván sea doble que la de hermana: x DATOS Lenguaje algebraico Edad de Iván 12 Actualidad Edad de Rocío 2 Edad de Iván 12 + x Dentro de x años Edad de Rocío 2 + x ECUACIÓN La edad de Iván es doble que la de Rocío: 12 + x = 2(2 + x) RESOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN Paréntesis: 12 + x = 4 + 2x Restar x: 12 = 4 + x Restar 4: 8 = x Dentro de 8 años Iván tendrá doble edad que su hermana. COMPROBACIÓN Dentro de 8 años Iván tendrá 12 + 8 = 20 años, y su hermana Rocío, 2 + 8 = 10 años. IMAGEN FINAL