FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA FINANCIERA Preparación y Evaluación Social de Proyectos División de Evaluación Social de Inversiones MINISTERIO DE DESARROLLO SOCIAL

2 EVALUACIÓN DE PROYECTOS Conceptos Básicos Matemáticas Financieras Criterios de Decisión  VAN  TIR  Otros Elementos Básicos de Teoría Económica  Oferta  Demanda  Elasticidades Evaluación Social de Proyectos Temario

3  Criterios de Decisión  Diagnóstico  Análisis de Alternativas  Flujo de Beneficios y Costos MATEMATICAS FINANCIERAS: aplicada al flujo de fondos, entrega indicadores que corresponden a criterios de decisión de inversiones. Matemáticas Financieras

4 Valor del Dinero en el Tiempo Valor Actual y Valor Futuro Interés Simple e Interés Compuesto Anualidades Casos Especiales Tasa de Interés y Tasa de Descuento Temario Matemáticas Financieras

5 Corresponde a la rentabilidad que un agente económico exigirá por no hacer uso del dinero hoy y postergarlo a un periodo futuro Sacrificar consumo hoy debe compensarse en el futuro ya que un monto hoy puede, al menos, ser invertido en el sistema financiero, ganando una rentabilidad. Valor del Dinero en el Tiempo AHORRO HOY FUTURO La tasa de interés (r) es la variable que determina la equivalencia de un monto de dinero en dos periodos distintos de tiempo.

6 Ejemplo: Un individuo obtiene hoy un ingreso de $1.000 por una sola vez y decide no consumir nada hoy. Luego, tiene la opción de poner el dinero en el banco. ¿Cuál será el valor de ese monto dentro de un año si la tasa rentabilidad o de interés (r) que puede obtener en el banco es de 10% anual ? ( r = 10 % = 0,10 ) HOY FUTURO PERIODO 0 AÑO 0 PERIODO 1 AÑO *(10/100) = Valor del Dinero en el Tiempo

7 Tasas de Interés Compuesta y Simple Tasa de interés compuesta El monto inicial se va capitalizando periodo a periodo, así por ejemplo, luego del primer periodo se suma el capital más los intereses ganados y este total es el que gana intereses para un segundo periodo. Tasa de interés simple Concepto poco utilizado en el cálculo financiero, es de fácil obtención, pero con deficiencias por no capitalizar la inversión periodo a periodo. El capital invertido es llevado directamente al final sin que se capitalice periodo a periodo con los intereses ganados

8 Tasas de Interés Compuesta y Simple r=10% Años Capital Inicial = 1000 r=10% Interés SIMPLE Interés COMPUESTO Año 1Año 2Año 3Año 4 Intereses100 Capital final Año 1Año 2Año 3Año 4 Intereses ,1 Capital final

9 Interés Simple: En este ejemplo el interés simple calcula el 10 % sobre el capital inicial y lo aplica año a año en forma constante El capital al final del año 4 es Interés compuesto: En este ejemplo el interés compuesto calcula el 10% sobre el capital inicial más los intereses que ha ganado año a año. El capital al final del año 4 es Tasas de Interés Compuesta y Simple

10 Tasa de interés equivalente Si se tiene una tasa de interés anual r a, la tasa de interés mensual equivalente r m, puede ser calculada usando las siguientes expresiones: Con interés compuesto: Con interés simple: Este ejemplo se hace extensivo a cualquier unidad de tiempo. Tasas de Interés Compuesta y Simple

11 Ejemplos VF y VA a) Si se tiene $1.000 hoy y la tasa de interés anual es de 12%. ¿Cuál será su valor al final del tercer año? Año 0:1.000 Año 1:1.000 * (1+0,12) = Año 2:1.120 * (1+0,12) = Año 3:1.254 * (1+0,12) = VF= * (1+0,12) 3 = * 1,4049 = Alternativamente: Valor Futuro (VF) y Valor Actual (VA)

VF Año: VA 12 Si son 3 periodos Caso General: VALOR FUTURO 0 1 VF VA Año: Sólo 1 periodo Donde: r = tasa de interés Valor Futuro (VF) y Valor Actual (VA)

13 Ejemplos VF y VA: b) Si en cuatro años más necesito tener $ y la tasa de interés anual es de 15%. ¿Cuál es el monto que requiero depositar hoy para lograr la meta? Año 4:3.300 Año 3:3.300 / (1+0,15) = 2.869,6 Año 2:2.869,6 / (1+0,15) = 2.495,3 Año 1:2.495,3 / (1+0,15) = 2.169,8 Año 0:2.169,8 / (1+0,15) = 1.886,8 VA= / (1+0,15) 4 = / 1,749 = 1.886,8 Alternativamente: Valor Futuro (VF) y Valor Actual (VA)

14 Valor Futuro (VF) y Valor Actual (VA) 0 3 VF Año: VA 12 Caso 3 periodos Caso General: VALOR ACTUAL 0 1 VFVA Año: Caso 1 periodo Donde: r = tasa de interés

15 Ejemplos VF y VA: Caso especial c) Si los $1.000 de hoy equivalen a $1.643 al final del año 3. ¿Cuál será la tasa de interés anual relevante? VF= * (1+r) 3 = (1+r) 3 =1.643/1.000 (1+r) 3 = 1,64 (1+r) = (1,64) 1/3 1+r = 1,18 r = 0,18 = 18% Valor Futuro (VF) y Valor Actual (VA)

16 Anualidades Considere un flujo (F) (anualidad) por montos iguales que se paga al final de todos los años por un período de tiempo n a una tasa r Flujos “descontados”: F (1+r) F (1+r) 2 F (1+r) 3 F (1+r) n-1 F (1+r) n n-1n FFFFF Año:

17 El Valor Actual de esa anualidad (F) que implica la suma de todos esos flujos actualizados al momento 0 se define como: Anualidades

18 Anualidades Considere un flujo (F) (anualidad) por montos iguales que se paga al final de todos los años por un período de tiempo n a una tasa r n F Flujos al año “n” n-1 FFFF Año: F × (1+r) n-1 F × (1+r) n-2 F × (1+r) 1 F × (1+r) n

19 Como contrapartida al valor actual de un flujo se tiene: El Valor Futuro de una anualidad (F) que implica la suma de todos esos flujos llevados al periodo n y se define como: Anualidades

20 Ejemplo anualidad: Suponga que usted pagó cuotas mensuales de $ por la compra de un auto durante 2 años (24 meses) a una tasa de 1% mensual. ¿Cuál fue el valor del préstamo? Anualidades

21 Ejemplo anualidad: Suponga usted trabajará durante 30 años, su cotización en la AFP será de $ mensuales, si la AFP le ofrece una rentabilidad mensual de 0,5% ¿ Cuál será el monto que tendrá su fondo al momento de jubilar? Anualidades

22 Ejemplo anualidad: Suponga usted comprará una casa que vale hoy $ y solicita al banco un crédito por el total del valor a 15 años plazo (180 meses). La tasa de interés es de 0,5% mensual. ¿ Cuál deberá ser el valor del dividendo mensual ? Si:Entonces: Así: Anualidades

23 Ejemplo perpetuidad: Suponga usted es de esos afortunados que decide jubilar a los 50 años y recibirá una renta vitalicia de $ mensuales hasta que muera. La tasa de interés relevante es de 1% mensual y la empresa que le dará la renta supone una “larga vida” para usted (suponen podría llegar a los 90, o tal vez 95 o porqué no 100 años). ¿ Cuál es el valor actual del fondo que la empresa debe tener para poder cubrir dicha obligación? En rigor, usando la fórmula de valor actual de una anualidad (no perpetua) se tendría: Si vive 90 años: VA=$ Si vive 95 años: VA=$ Si vive 100 años: VA=$ Todos muy cercanos a $50 millones Anualidades

24 Inflación y Tasas de Interés Inflación Aumento sostenido en el nivel general de precios. Normalmente medido a través del cambio en el Índice de Precios al Consumidor En presencia de inflación (π), la capacidad de compra o poder adquisitivo de un monto de dinero es mayor hoy que en un año más. $100 Si π = 25% Periodo 0 (Año 0) Periodo 1 (Año 1)

25 RESUMEN: 2 conceptos: * Costo de oportunidad (tasa interés real) * Poder adquisitivo (inflación) Tasa Real: Valora costo de oportunidad, tasa de interés de 10% Tasa Nominal: Valora costo de oportunidad y demás; mantiene poder adquisitivo, inflación de 25% $1100 $1375 Si π = 25% Año 1 $1000$1100 Año 0 Si r = 10% Inflación y Tasas de Interés $ $100 + $275

26 La evaluación de proyectos utiliza tasas de interés reales y por tanto flujos reales, de esta forma se evita trabajar con inflaciones que normalmente tendrían que ser estimadas a futuro con el consiguiente problema de incertidumbre. Si se trabaja con flujos nominales se debe descontar a tasas nominales, y se llega al mismo resultado, pero con el mayor trabajo de tener que estimar la inflación. Nota importante Inflación y Tasas de Interés

Gracias.