SEMEJANZA APM

SEMEJANZA. ÍNDICE Figuras semejantes. Construcción de figuras semejantes. Método de la cuadrícula. Método de la proyección. Planos. Resultados importantes. Teorema de Pitágoras. Teorema del cateto. Teorema de la altura. Perímetro y área de figuras semejantes.

FIGURAS SEMEJANTES Dos figuras que tienen la misma forma, aun con diferentes dimensiones, se llaman semejantes. Matemáticamente, dos figuras son semejantes si sus ángulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales. Es decir, cada longitud en una figura se obtiene multiplicando la longitud correspondiente en la otra por un número fijo, llamado razón de semejanza (k). Los elementos que se corresponden (puntos, segmentos, ángulos …) se llaman homólogos.

CONSTRUCCIÓN DE FIGURAS SEMEJANTES Para construir una figura semejante a otra conocida con una cierta razón de semejanza, debemos seguir algún proceso que garantice que las longitudes de la nueva figura guardan la relación deseada con la original.   Veamos dos métodos para reproducir figuras planas semejantes.

MÉTODO DE LA CUADRÍCULA Para reproducir la figura inicial al tamaño deseado, la cuadriculamos. Reproducimos una cuadrícula semejante al tamaño deseado. Tomando como referencia la cuadrícula, es sencillo reproducir el dibujo inicial. La relación entre tamaños (razón de semejanza) es igual a la relación entre los lados de las dos cuadrículas.

MÉTODO DE LA PROYECCIÓN Deseamos ampliar la figura 1 al doble de su tamaño. También deseamos ampliar la figura 1 y hacerla cuatro veces mayor. Para ello, tomamos un punto O cualquiera. Trazamos rayos que pasen por O y por los puntos clave de la figura 1 (en este caso, los vértices de la figura) y obtenemos los puntos correspondientes a una distancia doble y cuádruple. El punto A está, desde el punto O, a doble distancia que A”, es decir: Del mismo modo: . Y así sucesivamente…  De la misma manera, si observamos la figura 1 y la figura 3, se obtiene que el punto A’ está, desde el punto O, a cuádruple distancia de A”, es decir: y así sucesivamente…  

PLANOS Dos figuras del plano son semejantes si los cocientes de los segmentos determinados por pares cualesquiera de puntos correspondientes son iguales. es la razón de semejanza Escala es el cociente entre cada longitud de reproducción (mapa, plano y maqueta) y la correspondiente longitud de la realidad. Es decir, la razón de semejanza entre la reproducción y la realidad. Por ejemplo, si un plano o mapa está dibuja a escala 1:1000000, significa que cada centímetro del mapa corresponde a 1.000.000 cm en la realidad. 1.000.000 cm = 10 km

RESULTADOS IMPORTANTES Recordemos algunos resultados importantes: Teorema de Pitágoras. Teorema del cateto. Teorema de la altura.

TEOREMA DE PITÁGORAS 32 + 42 = 52 En un triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa. Si los lados de un triángulo verifican la relación de Pitágoras, el triángulo es rectángulo. 32 + 42 = 52

TEOREMA DEL CATETO Cateto c Cateto b c2 = n2 + h2 = = n2 + mn = = n(n + m) = = na b2 = m2 + h2 = = m2 + mn = = m(m + n) = = ma En un triángulo rectángulo el cuadrado de un cateto es igual al producto de la hipotenusa por la proyección del cateto sobre la misma.

TEOREMA DE LA ALTURA  Son ambos rectángulos B B* = Los triángulos I y II son semejantes ya que: h2 = mn Se deduce que: En un triángulo rectángulo el cuadrado de la altura sobre la hipotenusa es igual al producto de las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa.

PERÍMETRO Y ÁREA DE FIGURAS SEMEJANTES IA = 1 pA= 4 SA= 1 IB = 2 pB = 8 SB= 4 IC = 3 pC = 12 SC= 9 Cuadrado A Cuadrado B Cuadrado C El perímetro de una figura semejante a otra es igual al perímetro de la primera por la razón de semejanza. El área de una figura semejante a otra es igual al área de la primera por el cuadrado de la razón de semejanza.

ESPERO QUE HAYÁIS APRENDIDO MUCHO. HASTA PRONTO, CHAVALES. ESPERO QUE HAYÁIS APRENDIDO MUCHO. COMPROBAD VUESTRO APRENDIZAJE CON LAS ACTIVIDADES QUE APARECEN EN LA PÁGINA WEB. ¡¡¡¡ ADIOS !!!!