 Temas a tratar: › Definiciones de rígido y tipos de fuerzas que actúan sobre los mismos › Principio de transmisibilidad › Definición de momento de una fuerza respecto a un punto › Definición de par de fuerzas y momento de un par de fuerzas › Sistemas equivalentes de fuerzas  Descomposición de una fuerza, en una fuerza en un punto determinado y un par.  Reducción de un sistema de fuerzas a una fuerza y un par  Reducción de un sistema de fuerzas a una sola fuerza

 Definición sólido rígido › Se define como sólido rígido a todo cuerpo que no presenta deformaciones al ser sometido a cualquier combinación de fuerzas › Se destaca que tal consideración es una aproximación. Realmente todos los cuerpos son deformables, en mayor en menor medida, dependiendo de los materiales y las solicitaciones a la que son sometidos.  Fuerzas que actúan sobre un sólido rígido › 1) Fuerzas externas: representan la acción de otros cuerpos sobre el sólido rígido considerado. Son las responsables del estado de movimiento o equilibrio del componente bajo estudio › 2) Fuerzas internas: son las que mantiene unidas las partículas que conforman el cuerpo bajo estudio. Si el sólido está compuesto por varias partes, las fuerzas que las mantienen unidas también son consideradas como internas.

 Principio de transmisibilidad: › “Las condiciones de equilibrio o de movimiento de un sólido rígido se mantendrán inalteradas si una fuerza F que actúa en un punto dado del sólido se sustituye por una fuerza F´ de igual módulo, dirección y sentido, pero que actúa en un punto diferente, siempre que las dos fuerzas tengan la misma recta soporte”  Limitaciones principio transmisibilidad: › P1 y P2 iguales y opuestas › Primer caso: la barra AB se encuentra sometida a esfuerzos internos de tracción › Segundo caso: barra AB se encuentra sometida compresión › Por lo tanto el principio puede usarse para establecer condiciones de equilibrio en sólidos rígidos, pero no para evaluar esfuerzos internos.

 Producto vectorial › El producto vectorial de dos vectores P y Q, se define como el vector V, que cumple:  La recta soporte de V es perpendicular al plano que contiene a P y Q  El módulo de V es igual al producto de los módulos de P y Q, multiplicado por el seno del ángulo que forman  La dirección es la que surge de aplicar la regla de la mano derecha  Producto vectorial › Gráficamente: › Regla de la mano de derecha aplicada en este caso

 Propiedades producto vectorial: › Si dos vectores P y Q tienen la misma dirección, su producto vectorial es nulo › El producto vectorial no es conmutativo, cumpliéndose la siguiente igualdad › El producto vectorial presenta la propiedad distributiva  Propiedades producto vectorial: › La propiedad asociativa no es aplicable › Productos vectoriales de componentes rectangulares unitarias

 Momento de una fuerza respecto a un punto › Se observa que el módulo del momento mide la tendencia de la fuerza F a imprimir al sólido rígido una rotación alrededor de un eje dirigido según M O  Sistema de fuerzas equivalentes › Dos fuerzas F y F´ son equivalentes (es decir, producen el mismo efecto sobre un sólido rígido), si y sólo si son iguales (tienen mismo módulo, dirección y sentido), y sus momentos respecto a un punto dado O son también iguales.

 Momento de una fuerza respecto a un eje  Significado físico de momento respecto a un eje › El momento de F respecto al eje OL mide la tendencia de la fuerza F a imprimir al sólido rígido una rotación alrededor del eje OL

 Momento de un par de fuerzas: › Dos fuerzas que tienen igual módulo, rectas soporte paralelas y sentidos opuestos se dice que forman un par (o par de fuerzas). › Como las suma de las componentes de la fuerzas en todas las direcciones es cero, no se produce traslación alguna. › El momento respecto a un punto dado no es nulo, por lo que inducen a una rotación del sólido rígido.  Momento del par de fuerzas: › Considerando la suma de momentos respecto a O: › El vector M se denomina el momento del par

 Observaciones: › Al ser el vector r independiente del punto O, se observa que se hubiera llegado al mismo resultado si se hubieran tomados momentos respecto a otro punto cualquiera. Por lo tanto, el momento de un par es un vector libre que puede aplicarse en cualquier punto del rígido. › Sí se debe respetar que su dirección, siendo siempre perpendicular al plano que contiene al par bajo análisis.  Equivalencia entre los pares: › Dos sistemas de fuerzas son equivalentes, si pueden transformarse el uno en el otro mediante las siguientes operaciones: 1.Sustituyendo dos fuerzas que actúan en una partícula por su resultante 2.Descomponiendo una fuerza en componentes 3.Anulando fuerzas iguales y opuestas que actúan sobre una partícula 4.Aplicando a una partícula dos fuerzas iguales y opuestas 5.Moviendo una fuerza a lo largo de su recta soporte

 Proposición: caso coplanar › Dos pares que tienen el mismo momento M, son necesariamente equivalentes  Sean los pares formados por las fuerzas F 1 y F 2, ambos de mismo momento M.  Aplicando las reglas anteriores, se desplazan lasa fuerzas F 1 y se descomponen en Q y P  Las fuerzas P se anulan  Las fuerzas Q deben ser iguales a F 2  Proposición: caso en distintos planos: › Se considera que F 1, F 2 y F 3 son fuerzas de igual módulo F.

 Suma de pares › Consideremos dos pares, contenidos en planos P1 y P2. › r se define como el vector que une B con A.  Suma de pares › Calculando el momento respecto al punto B: › El primer término corresponde al par contenido en P1 › El segundo término corresponde al par contenido en P2 › Se establece que la suma de dos pares de momento M1 y M2, corresponde a una suma vectorial de M1 y M2

 Representación de pares mediante vectores › Recordemos que pares con igual momento, que actúen en un mismo plano o planos paralelos, son equivalentes › No es necesario representar en el diagrama las fuerzas que forman el par, siendo suficiente establecer el módulo, la dirección y el sentido del momento M del par › Adicionalmente sabemos que la suma de dos pares, es otro par de momento igual a la suma vectorial de los pares iniciales › Por lo tanto los pares pueden ser tratados como vectores, pudiéndose a su vez descomponer el mismo en coordenadas adecuadas

 Descomposición de una fuerza en una fuerza en O y un par › Se considera una fuerza F, aplicada en el punto de un sólido rígido › A fin de trasladar la fuerza F aplicada en A al punto O, se procede de la siguiente manera:  En el punto O se agregan dos fuerzas, iguales y opuestas (F y –F), las cuales no modifican el estado de movimiento o reposo, por anularse mutuamente.  Se observa que las fuerzas –F y F forman un par, el cual puede representarse mediante un vector M O  Al haber elegido el punto O arbitrariamente, se deduce que cualquier fuerza aplicada en un punto, puede ser reemplaza por una fuerza igual, aplicada en otro punto, más un momento que sea igual el momento de la fuerza A respecto al punto O.

 Ejemplo de aplicación › Hallar las componentes del par único que equivale a los pares de la figura: › Agregando dos fuerzas en A, que sean iguales y opuestas, llegamos al sistema de fuerzas indicado en la figura siguiente. Observando que las fuerzas forman tres pares, en planos perpendiculares a los ejes ordenados, se llega al resultado indicado

 Reducción de un sistema de fuerzas a una fuerza y un par: › Consideremos el sólido de la figura, sobre el cual un conjunto de fuerzas F i se aplica sobre los correspondientes puntos A i. › Como se ha visto antes, cada una de las fuerzas F i puede sustituirse por una fuerza en O, más un determinado par (que depende de la fuerza y la distancia entre el punto de aplicación y el punto O). Tal situación está indicada en el segundo gráfico de la figura anterior. › Al llegar al caso en que todas las fuerzas son concurrentes al punto O, las mismas pueden ser sumadas directamente, obteniendo la resultante R. Un procedimiento análogo puede hacerse con los pares, calculando el vector del par resultante. › Luego de finalizadas estas operaciones, puede observarse que se llega a un sistema fuerza-par, el cual está definido por las siguientes ecuaciones:

 Sistemas equivalentes de fuerzas: › “Dos sistemas de fuerzas son equivalentes si pueden reducirse al mismo sistema fuerza-par en un punto dado O.” › “Dos sistemas de fuerzas, que actúan sobre un sólido rígido son equivalentes si, y sólo si, las sumas de las fuerzas y las sumas de los momentos respecto a un punto dado O de las fuerzas de los dos sistemas son iguales.” › Expresando esta condición en ecuaciones vectoriales: › Se destaca que para demostrar la equivalencia entre dos sistemas, necesita establecerse la segunda ecuación indicada en la figura anterior respecto a un solo punto. Si los dos sistemas son equivalentes se cumplirá, sin embargo, para todo punto del rígido

 Sistemas equivalentes de fuerzas › Descomponiendo según coordenadas las ecuaciones vectoriales presentadas anteriormente, se llega a: › Las cuales expresan que los sistemas de fuerzas son equivalentes si tienden a imprimir al sólido rígido 1) la misma traslación en las direcciones x,y,z, como también 2) la misma rotación según los ejes x,y,z › En general cuando dos sistemas de vectores cumplen las igualdades antes indicadas, o sea, cuando sus resultantes y sus momentos resultantes respecto a un mismo punto O son respectivamente iguales, de ellos se dice que son equipolentes. Por lo tanto, si dos sistemas de fuerzas que actúan sobre un sólido rígido son equipolentes, son asimismo equivalentes.

 Estudiaremos a continuación casos en que un sistema dado de fuerzas puede reducirse a una fuerza única: › Caso 1: Si las fuerzas coplanares son concurrentes, es posible sumarlas directamente (vectorialmente), para obtener su resultante. Por lo tanto siempre es posible llegar a la representación del sistema por una fuerza única › Caso 2: Si las fuerzas coplanares no son concurrentes, igualmente sabemos que su resultante estará contenida en el mismo plano. Y todos los momentos (individuales y resultantes), serán perpendiculares al plano de trabajo. Por lo tanto inicialmente se llegaría al sistema indicado en la figura (b). Luego la resultante R puede desplazarse a una determinada distancia del punto O, a fin de obtener un sistema equivalente al (b), el cual está indicado gráficamente en (c).

 Estudiaremos a continuación casos en que un sistema dado de fuerzas puede reducirse a una fuerza única: › Caso 3: También puede darse el caso de que las fuerzas tengan rectas soportes paralelas, teniendo o no el mismo sentido. Suponiendo que las rectas soportes son paralelas al eje y; se observa que su resultante también será paralela al mismo eje. Adicionalmente, como el momento debe ser perpendicular a la fuerza que lo genera, en este caso el mismo debe estar contenido en al plano xz. Todas estas consideraciones están gráficamente representadas en la figura (b). Por lo tanto el sistema fuerza-par equivalente, está formado por una fuerza R y un momento, que son perpendiculares entre sí. Finalmente la resultante R puede desplazarse, para reducir el sistema al caso de una sola fuerza.