Apunte teórico Derivadas

Derivadas por definición Interpretación gráfica

Definición geométrica La derivada de una función f(x) en a se define como la pendiente de la recta tangente al gráfico de f(x) en el punto (a, f(a)). Consideremos la siguiente función. Se quiere calcular la pendiente de la recta tangente al gráfico de la curva que pasa por el punto (a, f(a)). Para ello, consideremos un punto un poco mas alejado: (a+h, f(a+h)), y la secante que se forma entre estos dos puntos. Al calcular la pendiente de esta recta, obtenemos el cociente incremental. Y cuando tendemos h a cero, se obtiene la pendiente buscada.

Derivadas por definición Luego, obtenemos la formula: Observa el gif para entender cómo se obtuvo la formula del límite Se puede considerar la misma formula Usando x en vez de a

Concepto de derivada pendiente y aplicaciones Notación: la forma en la que se escribe la derivada de f en un punto x, es la siguiente: f ’(x) Se lee “efe prima de x” ó “la derivada de f en x” También puede aparecer de la siguiente forma: Mas información En los siguientes links encontrarás paginas y videos relacionadas con el tema

Derivadas por tabla Reglas de derivación

Tabla de derivación

Reglas de derivación

Aplicaciones derivadas

En matemáticas Dentro del análisis de funciones, la derivada es una herramienta muy útil para hallar los máximos y mínimos de una función. Los máximos y mínimos locales de una función suave se alcanzan cuando la pendiente de la recta tangente es horizontal. Es decir, si calculamos los puntos en que la función tiene pendiente horizontal, nos encontraremos con los posibles máximos y mínimos de la función. Para esto, sólo deberemos derivar la función, igualarla a cero y resolver la ecuación.

En otros ámbitos Además de las interpretaciones de la derivada en las funciones abstractas, existen muchas otras en diversos campos de las ciencias; tal es el caso de la Biología y cuya utilidad se puede ver reflejada en el estudio del crecimiento de la población de un determinado ecosistema, o también para estudiar tanto la velocidad máxima del flujo del aire en el sistema respiratorio al toser, como la respuesta del organismo en función de la dosis de droga. Por otra parte, en física, además de la velocidad instantánea se pueden conseguir interpretaciones como: Densidad de un material: la densidad en x de un material distribuido a lo largo de una recta de forma tal que los x centímetros de la izquierda tengan una masa de f(x) gramos es igual a la derivada de f en x. Son diversas las interpretaciones o caracterizaciones de la derivada en las ciencias económicas: el costo marginal, ingreso marginal, utilidad marginal, tasa de impuesto marginal. Fuente: http://iies.faces.ula.ve/Revista/Articulos/Revista_31/Pdf/Rev31Garcia.pdf

En física Una de las aplicaciones mas conocidas, es en el cálculo de la velocidad instantánea. Por ejemplo, en el tiro vertical u oblicuo, la trayectoria del proyectil se representa por una función cuadrática. Y la derivada de la función, nos indica la velocidad instantánea del proyectil, como nos podríamos imaginar que sucede, cada vez que jugamos al Angry Birds.