Facultad de Ciencias Exactas Químicas y Naturales Universidad Nacional de Misiones Cátedra: Fundamentos de Transferencia de Calor Área: Convección Ing. Sandra Hase FLUJO TURBULENTO EXTERNO E INTERNO

TEMA 8 : TRANSFERENCIA DE CALOR POR CONVECCIÓN IV  Flujo turbulento externo e interno  Distribución de velocidades para tubos lisos  Analogías entre la transferencia de calor y de cantidad de movimiento  Analogías de Reynolds, de Prandtl y de Von Karman  Fórmulas empíricas para la transferencia de calor para las geometrías más comunes: flujo interno y flujo externo

El flujo trurbulento interviene en la mayoría de los problemas de flujo de fluídos y transferencia de calor, que se encuentran en la práctica En esta clase discutiremos:  Las teorías que describen cualitativamente el proceso de intercambio turbulento  La aplicación de los conceptos teóricos para calcular C f y las complicaciones que surgen al intentar cacular h  El cálculo de h basado en la analogía entre transferencia de momentum y transferencia de calor  Las ecuaciones empíricas para calcular C f y h

 El flujo turbulento se caracteriza por la mezcla caótica de las partículas entre las líneas de flujo  La velocidad, presión y temperatura varían cuantitativamente con el tiempo en un punto dado  Si se representan los valores instantáneos de un propiedad P ( presión, velocidad, temperatura) en función del tiempo obtenemos:  Así los valores instantáneos se pueden considerar como la suma de un valor medio temporal + una fluctuación

 Se define como propiedad media global: Donde:  P i es el valor instanténeo de la propiedad   T es el intervalo de tiempo entre dos mediciones consecutivas  T debe ser lo suficientemente grande como para registrar la fluctuación turbulenta, pero debe ser lo suficientemente pequeño para que no se vea afectado por las perturbaciones externas al sistema En base a esta definición: EL VALOR MEDIO DE UNA FLUCTUACIÓN ES CERO

Pero, EL VALOR MEDIO DEL PRODUCTO DE DOS FLUCTUACIONES ES DISTINTO DE CERO y

Para estudiar la transferencia de momentum y calor consideramos las ecuaciones de continuidad, momentum y energía, en la capa límite turbulenta de un fluido incompresible, de propiedades constantes: , , k,, Cp. Las ecuaciones se plantean en base a los valores instantáneos Ecuación de continuidad

Tomando el valor medio temporal de estas ecuaciones, en el intervalo de tiempo  T y sabiendo que: En el Flujo turbulento, el valor medio temporal de las componentes de la velocidad, satisfacen la ecuación de continuidad

Ecuación de momentum :Si sumamos la ecuación de continuidad al término I

Sustituyendo Y tomando el valor medio temporal de la ecuación, tenemos: Fuerzas de Inercia Fuerzas viscosas Fuerzas debido a la presión Término adicional que aparece debido al Flujo turbulento

SiEn el flujo laminar Por similitud, llamaremos a Esfuerzo Turbulento o esfuerzo de Reynold Esfuerzo Laminar Esfuerzo Turbulento De tal manera que : Además: Y aumenta el esfuerzo de corte total Aumenta la resistencia al flujo turbulento

Ecuación de la energía Despreciando :Si sumamos la ecuación de continuidad al término I

Sustituyendo Y tomando el valor medio temporal de la ecuación, tenemos: Transferencia de Calor por Convección Término adicional que aparece debido al Flujo turbulento Transferencia de Calor por Conducción

Componente difusiva (por conducción) de calor De tal manera que : Además: Y aumenta la transferencia de calor Componente de calor por Flujo turbulento

Para resolver estas ecuaciones, habrá que evaluar : y Para ello se hace un estudio de la turbulencia y el intercambio turbulento, mediante hipótesis semi-empíricas TEORÍA DE LA LONGITUD DE MEZCLA (Prandtl) La teoría de la longitud de mezcla se basa en el concepto de la trayectoria libre media de las moléculas de un gas en la Teoría Cinética de los gases (Distancia promedio entre colisiones)

Postula: 1. En el flujo turbulento los agregados macroscópicos del fluido, en una posición dada (x,y), viajan en dirección y, una distancia l, conservando su momentum. En y = l, estos agregados se disipan. 2. Los agregados moleculares de menos velocidad ( en y 0, penetran en las capas de fluido de alta velocidad, produciendo una fuerza de arrastre; hay transferencia de momentum entre las capas, como resultado de la mezcla transversal de fluidos l : distancia promedio recorrida por los agregados moleculares antes de disiparse

1. Según Prandtl, Son las fluctuciones en la dirección de las xSon las fluctuciones en la dirección de las y Se puede correlacionar con el gradiente de velocidad en y, por una expresión: 2. Según la ecuación de continuidad, Prandtl arguyó que la fluctuación en y, es del mismo orden de magnitud que la fluctuación en x, y así:

3. Las fluctuaciones en x y en y tienen signos opuestos : y en consecuencia Y es negativo cuando:SI

Así: Recordando que: Así: Es análogo a Es la difusividad turbulenta del momentum Es una propiedad del fluido NO es una propiedad del fluido

4. Con una suposición similar, se puede relacionar : Con el gradiente de Temperatura local Suponiendo que: 5. Con una suposición que tienen signos opuestos:

Si: Así: Es la difusividad turbulenta del momentum Es una propiedad del fluido NO es una propiedad del fluido

Aún falta definir “ l ” Sabiendo que l = 0 en la pared y aumenta linealmente con la distancia, en la cercanía de la pared: Se propone que: Es una constante universalSi Se relacionan por:

DETERMINACION DEL PERFIL DE VELOCIDAD (No se resuelve la ecuación de momentum) En base a una gran cantidad de determinaciones de velocidad en un campo turbulento (en tubos lisos, placas planas y dentro de tubos) se intento desarrollar una teoría empírica que cumpliera con la distribución experimental. Una de estas teorías, se basa en el concepto de suponer que el campo turbulento se halla separado en tres regiones 1.Región de la subcapa viscosa 2.Región de transición 3.Región turbulenta dominante

Prandtl supone que En la subcapa turbulenta

Adimensionalizando

Experimentalmente LEY DE DISTRIBUCIÓN LOGARITMICA

En la subcapa VISCOSA Cuando

Adimensionalizando Cuando LEY DE DISTRIBUCIÓN LINEAL

En la subcapa DE TRANSICIÓN Se supone un perfil logaritmico, con el requisito de la velocidad continua en la subcapa viscosa y la subcapa turbulenta Así

Efecto de la rugosidad Es la rugosidad relativa La rugosidad no influye en la fricción y el tubo es hidrodinmámicamente liso Hay retraso del flujo causado por la rugosidad. Penetran la subcapa viscosa e influyen en el mezclado turbulento Totalmente rugoso

Determinación de Cf y h usando una analogía entre transferencia de calor y transferencia de momentium Analogía de Reynolds Supone que el campo de flujo está formado por una región altamente turbulenta Si Así:y Sabiendo que:

Dividiendo miembro a miembro:

Integrando:

Igualando Si

Analogía de Reynolds (Requiere conocer C x ) Pr =1

Analogía de Prandtl y Supone que el campo de flujo está formado por dos capas: 1. Una subcapa viscosa donde: y 2. Una turbulenta donde: subcapa viscosa subcapa turbulenta

1. En la subcapa viscosa : Así: y Sabiendo que:

Dividiendo miembro a miembro:

Integrando: Ec 1

1. En la subcapa turbulenta : y Sabiendo que:

Dividiendo miembro a miembro:

Integrando: Ec 2

(Requiere conocer u 1 )

Es la velocidad desconocida en el borde de la subcapa viscosa paraSi:

Analogía de Prandt

FLUJO TURBULENTO EXTERNO: Flujo a través de un cilindro circular El flujo sobre un cilindro circular se presenta frecuentemente en la práctica, pero la determinación de los coeficientes C f y h por métodos analíticos es muy complicada debido a la separación del flujo. Si no hay separación de flujo : El fluido se adhiere en todas partes a la superficie cuando el Re es bajo (Re<1)

Cuando hay separación de flujo : El flujo se separa del cilindro y se forman remolinos en la estela. Hay formación de vórtices en la estela. Re es alto

El fluido de la corriente libre queda en reposo en el punto de estancamiento produciéndose un aumento en la presión. A partir de este punto la presión disminuye con el aumento de x y se desarrolla la capa límite bajo la influencia de un gradiente de presión favorable (dp/dx<0) Sin embargo, la presión alcanza un mínimo en la parte posterior del cilindro. El desarrollo de la capa límite ocurre en presencia de un gradiente de presión adverso (dP/dx>0) Así, la capa límite tiene la propiedad peculiar de que bajo ciertas condiciones se separa de la pared. Mas allá del punto de separación, las partículas de fluido próximas a la pared se mueven en dirección opuesta a la corriente externa, la trayectoria del fluido es muy complicada y ya no se pueden aplicar las ecuaciones de la capa límite.

V y u  son distintos. V es la velocidad corriente arriba y u  es la velocidad de corriente libre. (Sólo en placa plana son iguales). u  exibe un comportamiento opuesto a P. En el punto de estancamiento u  =0. A medida que x aumenta, el fluido se acelera debido al gradiente de presión favorable: du  /dx >0 cuando dP/dx<0. El fluido alcanza una velocidad máxima cuando dP/dx=0 Luego se desacelera debido al gradiente de presión adverso (du  /dx 0) Cuando el fluido se desacelera, el gradiente de presión en la superficie se torna cero:

En este punto, llamado punto de separación, el fluido cerca de la superficie pierde el momento suficiente como para sobrepasar el gradiente de presión y el movimiento del fluido corriente abajo se vuelve imposible. Como el fluido entrante incluye una corriente de retorno, ocurre la separación de la capa límite. Esta es la condición por la cual la capa límite se separa de la superficie y se torna una estela en la región corriente abajo: Calles de remolino de Von Karman El flujo en esta región está caracterizado por la formación de vórtices y es altamente irregular.

El Número de Re para el flujo a través de un cilindro se define como : Donde: D: diámetro del cilindro v : es la velocidad del flujo libre antes de ser afectada por el cilindro. A diferentes números de Reynolds

a)Se tiene un comportamiento diferente del fluido, que afecta el coeficiente de arrastre b) La transición de la capa límite (que es función de Reynolds) influye fuertemente sobre la posición del punto de separación. La fuerza total de arrastre que actúa sobre un cilindro de longitud L y diámetro D viene dado por: donde Velocidad de flujo libre Es la fuerza de arrastre por unidad de área frontal del cilindro

Variación del coeficiente de arrastre en función del número de Reynolds Re ≈ 1 el arrastre es causado por fuerzas viscosas. No hay separación de la capa límite. El coeficiente de arrastre disminuye linealmente con el Re. La capa límite permanece adherida en toda sus partes a la superficie del cilindro. La transferencia de calor es por conducción. Para Re ≈ 10 – 10 3 la curva de arrastre se desvía de la línea recta. Las fuerzas viscosas son de igual magnitud que las fuerzas de arrastres, causada por la formación de remolinos débiles, debido a un diferencial de presión en la dirección del flujo resultante de la formación de la estela. La separación de la capa límite se corre hacia delante en función Re Para 10 3  Re  10 5 predominan las fuerzas de arrastre producidas por los remolinos turbulentos de la estela. El C D permanece constante. La separación de la capa límite, se da alrededor de 80 o 85 º Para Re  10 5 hay una reducción súbita del arrastre, porque la separación de la capa límite se mueve hacia atrás, reduciendo el tamaño de la estela y el arrastre.

Capa Límite laminar

Capa Límite turbulenta

Cómo influye esto sobre la determinacióin del valor LOCAL del coeficiente de transferencia de calor h(  )

Como la determinación de h local depende de numeroso parámetros y su análisis es muy complejo Por esta razón, la mayoría de las correlaciones de h para flujo normal a un cilindro existentes en la literatura dan el valor promedio alrededor de todo el cilindro.

Ecuación de JAKOB  Para gases sobre cilindros NO circulares  Las propiedades se evalúan a T f DeDe RenC , , uu DeDe DeDe uu

Ecuación de Mc Adams Para gases Cuando se calienta y enfría aire que fluye sobre un solo cilindro Gráfica 9.9 Ozisik Num = f(Re D ) Ecuación de Hilpert Para líquidos viscosos Para cilindros no circulares Las propiedades se evalúan a T f

FLUJO TURBULENTO INTERNO  Las longitudes de entrada y son generalmente más cortas en el flujo turbulento que en el flujo laminar Longitudes de entradas térmicas, para las cuales el Nu D no será mayor al 5% por encima de su valor en el flujo turbulento completamente desarrollado, para distintos valores de Re D y Pr, para flujo de calor uniforme en la pared sonre un flujo completamente desarrollado hidrodinámicamente. Para números de Pr de gases y líquidos no metálicos, la longitud de entrada no es muy sensible al número de Re. Para Pr > 1 la longitud de entrada es sólo de unos pocos diámetros Esto es así porque la velocidad de transferencia de calor está controlada por una subcapa térmica delgada sobre la pared y se desarrolla muy rápidamente

Bhatti y Shah recomiendan para varios tipos de entrada la siguiente correlación, con L/D >3 Para Pr=0,7

Analogía de Reynold para flujo interno turbulento completamente desarrollado  Esta ecuación no es exacta para bajo Pr, pero tiene la ventaja de aplicarse a flujo de calor constante en la pared y a temperatura de pared constante  Se aplica sólo a paredes lisas O bien  Se usa con el diagrama de Moody, donde f es función de la rugosidad y del Re

Flujo interno turbulento completamente desarrollado_ FORMULACIONES HISTÓRICAS Ecuación de Colburn Ecuación de Dittus-Boelter Para bajas diferencias de temperatura Las propiedades se evalúan a la temperatura media entre la superficie y el fluido

Ecuación de Sieder -Tate

Flujo interno turbulento completamente desarrollado_ FORMULACIONES MODERNAS Ecuación de Petukhov Las propiedades se evalúan a la temperatura media del fluido

Ecuación de Genielinski Variación con las propiedades físicas

Para metales líquidos Para Temperatura de pared constante Para Flujo de calor constante en la pared

BANCO DE TUBOS

 Correlaciones empíricas para el número de Nusselt promedio, para convección forzada sobre cilindros circulares y no circulares en flujo cruzado.