Investigación Operativa DESARROLLO DE MODELOS

El problema Cada vez es más difícil asignar los recursos o actividades de la forma más eficaz Los recursos son escasos Los sistemas son cada vez más complejos

Investigación operativa (I.O.) Es la aplicación del método científico para asignar los recursos o actividades de forma eficaz, en la gestión y organización de sistemas complejos Su objetivo es ayudar a la toma de decisiones Requiere un enfoque interdisciplinario

Historia de la I.O. Se aplica por primera vez en 1780 Antecedentes: –Matemáticas: modelos lineales (Farkas, Minkowski) (s.XIX) –Estadística: fenómenos de espera (Erlang, Markov) (años 20) –Economía: Quesnay (x.XVIII), Walras (s.XIX), Von Neumann (años 20) El origen de la I.O. moderna se sitúa en la 2ª Guerra Mundial

Historia de la I.O. Al terminar la guerra, sigue el desarrollo en la industria, debido a: –competitividad industrial –progreso teórico RAND (Dantzig) Princeton (Gomory, Kuhn, Tucker) Carnegie Institute of Technology (Charnes, Cooper) –gran desarrollo de los ordenadores

Actualidad de la I.O. Sigue habiendo un gran desarrollo, en muchos sectores, con grandes avances sobre todo en el campo de la Inteligencia Artificial Más información: –Sociedad Española de Estadística e Inv. Op. (SEIO) –Association of European O.R. Societies (EURO) –Institute for O.R. and the Management Sci. (INFORMS) –International Federation of O.R. Societies (IFORS)

El método de la I.O. Definición del problema Formulación del problema y construcción del modelo Resolución Verificación, validación, refinamiento Interpretación y análisis de resultados Implantación y uso extensivo A lo largo de todo el proceso debe haber una interacción constante entre el analista y el cliente

El modelado Es una ciencia –análisis de relaciones –aplicación de algoritmos de solución Y a la vez un arte –visión de la realidad –estilo, elegancia, simplicidad –uso creativo de las herramientas –experiencia

Definición del problema Consiste en identificar los elementos de decisión –objetivos (uno o varios, optimizar o satisfacer) –alternativas –limitaciones del sistema Hay que recoger información relevante (los datos pueden ser un grave problema) Es la etapa fundamental para que las decisiones sean útiles

Formulación del problema Modelo: representación simplificada de la realidad, que facilita su comprensión y el estudio de su comportamiento Debe mantener un equilibrio entre sencillez y capacidad de representación Modelo matemático: modelo expresado en términos matemáticos –hace más claras la estructura y relaciones –facilita el uso de técnicas matemáticas y ordenadores –a veces no es aplicable

Construcción del modelo Traducción del problema a términos matemáticos –objetivos: función objetivo –alternativas: variables de decisión –limitaciones del sistema: restricciones Pero a veces las relaciones matemáticas son demasiado complejas –heurísticos –simulación

Tipos de modelos Determinísticos –Programación matemática Programación lineal Programación entera Programación dinámica Programación no lineal Programación multiobjetivo –Modelos de transporte –Modelos de redes Probabilísticos –Programación estocástica –Gestión de inventarios –Fenómenos de espera (colas) –Teoría de juegos –Simulación

Resolución Determinar los valores de las variables de decisión de modo que la solución sea óptima (o satisfactoria) sujeta a las restricciones Puede haber distintos algoritmos y formas de aplicarlos

Verificación y validación Eliminación de errores Comprobación de que el modelo se adapta a la realidad

Interpretación y análisis Robustez de la solución óptima obtenida: Análisis de sensibilidad Detección de soluciones cuasi-óptimas atractivas

Implantación Sistema de ayuda y mantenimiento Documentación Formación de usuarios

Ejemplo nº1 En una fábrica de cerveza se producen dos tipos: rubia y negra. Su precio de venta es de 50 ptas/l y 30 ptas/l, respectivamente. Sus necesidades de mano de obra son de 3 y 5 empleados, y de y ptas de materias primas por cada 1000 l. La empresa dispone semanalmente de 15 empleados y ptas para materias primas, y desea maximizar su beneficio. ¿Cuántos litros debe producir?

Formulación

El modelo de P.L.

z: función objetivo C T (c 1,...,c n ): vector de coeficientes de la f.o. X T (x 1,...,x n ): vector de variables de decisión A (...,a ij,...): matriz de coeficientes técnicos b (b 1,...,b m ): vector de demandas Matricialmente, Opt C T X s.a. AX b x  0 Forma canónica

Propiedades del modelo lineal Proporcionalidad –La contribución al coste y a las restricciones es directamente proporcional al valor de cada variable Aditividad –El coste y las restricciones son la suma directa de las variables Divisibilidad –Las variables pueden dividirse en cualquier tipo de fracción

Modelos de prog. entera El modelo matemático es el modelo de P.L., pero con algunas variables enteras –Programación entera mixta (MIP) x  R +, y  Z + –Programación entera pura (IP) x  Z + –Programación binaria ó 0-1 (0-1 MIP, 0-1 IP, BIP) x  {0,1}: variables de asignación, lógicas Son problemas más complicados de resolver que los de P.L. El primer algoritmo de resolución se planteó en el año 1958 (Gomory)

Problemas típicos Problema del transporte Problema de flujo con coste mínimo en red Problema de asignación Problema de la mochila (knapsack) Problema del emparejamiento (matching) Problema del recubrimiento (set-covering) Problema del empaquetado (set-packing) Problema de partición (set-partitioning) Problema del coste fijo (fixed-charge) Problema del viajante (TSP) Problema de rutas óptimas

Problema del transporte Minimizar el coste total de transporte entre los centros de origen y los de destino, satisfaciendo la demanda, y sin superar la oferta x ij : unidades a enviar de origen i a destino j c ij : coste unitario de transporte de i a j a i : unidades de oferta en el punto origen i b j : unidades de demanda en el punto destino j Se supone oferta total igual a demanda total

Flujo con coste mínimo en red Embarcar los recursos disponibles a través de la red para satisfacer la demanda a coste mínimo x ij : unidades enviadas de i a j (flujo) c ij : coste unitario de transporte de i a j b i :recursos disponibles en un nodo i oferta: b i >0 demanda: b i <0 transbordo: b i =0 Se supone oferta total igual a demanda total

Problema de asignación x ij : 1 si la tarea i se hace con la máquina j c ij : coste de realizar la tarea i con máquina j n tareas m máquinas Si hay más máquinas que tareas se formula con desigualdades, y se resuelve con tareas ficticias Minimizar el coste total de operación de modo que: - cada tarea se asigne a una y sólo una máquina - cada máquina realice una y sólo una tarea

Problema de la mochila n objetos a j : espacio que ocupa el objeto j c j : valor del objeto j b: volumen de la mochila x j : 1 si se escoge el objeto j Escoger un grupo de productos que maximice el valor total sin exceder el espacio disponible

Problema de emparejamiento x ij =1 si los elementos i y j son pareja c ij : valor de la pareja i-j i<j Distribuir un conjunto por parejas de tal forma que el valor sea máximo. Si hay elementos sin pareja: emparejamiento imperfecto. Si están en dos conjuntos, emparejamiento bipartito.

Problema de recubrimiento m características n actividades x j =1 si la actividad j se realiza c j : coste unitario de la actividad j a ij =1 si la característica i está en la actividad j A: matriz de incidencia Minimizar el coste de las actividades que en su conjunto cubren todas las características al menos una vez

Problema de empaquetado m actividades n conjuntos de actividades x j =1 si se elige el subconjunto j c j : beneficio por realizar el conjunto j a ij =1 si el conjunto j incluye la actividad i A: matriz de incidencia Maximizar el beneficio total de forma que hay que elegir conjuntos completos de actividades, y que no se realice una actividad dos veces

Problema de partición m actividades n conjuntos de actividades x j =1 si se elige el subconjunto j c j : beneficio por realizar el conjunto j a ij =1 si el conjunto j incluye la actividad i A: matriz de incidencia Si en el problema de recubrimiento o en el de empaquetado las desigualdades se cambian por igualdades

Problema del coste fijo x ij : unidades del producto j c j : coste unitario de producción de j y k =1 si se usa la instalación k f k : coste de arranque de la instalación k a kj =1 si el producto j usa la instalación k b j : demanda del producto j M: número lo suficientemente grande Decidir la cantidad de cada producto de modo que se minimicen los costes de producción y se satisfaga la demanda

Problema del viajante x ij =1 si de i va directamente a j c ij : distancia entre i y j A: conjunto de arcos V: conjunto de nodos Encontrar un circuito que visite exactamente una vez cada ciudad empezando en la primera y que tenga longitud mínima

Problema de rutas N: clientes M: vehículos x ijk =1 si el vehículo k visita j después de i c ij : coste unitario de transporte de i a j d ij : distancia de i a j t ij : tiempo de i a j q i : demanda s i : tiempo de descarga  i : prioridad Q k : capacidad r o k, d o k : período tiempo disponible c k : coste fijo por uso Minimizar el coste total, visitando todos los clientes

Formulación con var. binarias Restricciones disyuntivas K de N alternativas deben darse Restricciones condicionales Decisiones contingentes equiv. a x  y y  x