PROCESAMIENTO DE IMAGENES ALUMNOS: García Ledesma Cuauhtémoc García Martínez Sinuhé MATEMATICAS AVANZADAS Profesor:Dr. Erick Luna Rojero

Mejoramiento de la imagen Previo a obtener características: resaltar aspectos deseados, eliminar ruido, mejorar contraste, etc. Técnicas de pre-procesamiento: operaciones puntuales, ecualización por histograma, filtrado.

Filtrado Filtrar una imagen consiste en aplicar una transformación de forma que se acentúen o disminuyan ciertos aspectos g(x,y) = T[f(x,y)]

Tipos de Filtros Dominio espacial - convolución g(x,y) = h(x,y) * f(x,y) Dominio de la frecuencia - multiplicación + transformadas de Fourier G(u,v) = H(u,v) F(u,v)

Filtrado en el dominio de la frecuencia

Filtros en frecuencia Se realiza una transformación de la imagen al dominio de la frecuencia mediante la transformada de Fourier Esto permite que el filtrado sea más sencillo (multiplicación) y pueda ser más preciso en frecuencia

F(u) = ò f(x)e[-j2pux]dx Transformadas Transformado de Fourier F(u) = ò f(x)e[-j2pux]dx Transformada inversa f(x) = ò F(u)e[j2pux]du

Ejemplos f(t) F(w)

Transformadas de 2 variables Para el caso de una imagen se requiere aplicar la transformación en 2-D Transformado de Fourier F(u) = ò ò f(x,y)e[-j2p(ux+vy)]dxdy Transformada inversa f(x) = ò ò F(u,v)e[j2p(ux+vy)]dudv

Transformadas discreta Para el caso de una imagen digital se aplica la transformada discreta de Fourier (DFT) Transformado de Fourier F(u) = (1/MN)S S f(x,y)e[-j2p(ux/M+vy/N)] Transformada inversa f(x) = S S F(u,v)e[j2p(ux/M+vy/N)] Existe una forma eficiente de implementar la DFT llamada transformada rápida de Fourier (FFT)

Propiedades Separabilidad Traslación Rotación Periodicidad y simetría Convolución

Filtrado Se aplica la Transformada de Fourier Se aplica el filtro Se aplica la transformada inversa

Tipos de Filtros Pasa bajos Pasa banda Pasa altos Filtros ideales Filtros butterworth

Filtro ideal pasa bajos

Filtro Butterworth pasa-bajos

Filtrado Adaptable Los filtros de suavizamiento tienden a eliminar propiedades importantes (p. ej. orillas) de la imagen Filtros adaptables: Remover ruido y al mismo tiempo preservar las orillas Suavizar sólo en ciertas regiones de la imagen Donde suavizar depende del gradiente local de la imagen

Filtrado Adaptable Suavizar (bajo gradiente) Mantener orillas (alto gradiente)

Filtros adaptables Filtro de mediana Difusión anisotrópica Campos aleatorios de Markov Filtrado gaussiano no-lineal Filtrado gaussiano adaptable

Filtrado gaussiano adaptable Aplicar varios filtros gaussianos de forma que la desviación estándar dependa del gradiente local Para estimar el gradiente se utiliza el concepto de espacio de escalas Se obtiene la escala de cada región (máscara) de la imagen y en base a esta se define la s del filtro para esa región

Escala Se refiere al nivel de detalle de la imagen Escala “grande” – mucho detalle Escala “pequeña” – poco detalle Si se filtra una imagen con gaussianas de diferente s, al ir aumentando la s se va disminuyendo la escala Existe una escala “óptima” para cada región de la imagen

Escala Alta escala (alto gradiente) Baja escala (bajo gradiente)

Escala óptima Una forma de obtener la mejor escala es aplicar varios filtros gaussianos a diferente s, y quedarse con el mejor de acuerdo al principio de MDL MDL – minimizar el # de bits de la imagen filtrada y el error respecto a la original I(x,y) = Is(x,y) + e(x,y) Se puede demostar [Gómez 00] que la longitud de descripción se puede estimar como dI(x,y) = ( l / s2 ) + e2 Entonces se calcula dI para cada región y se selecciona la s que de el menor valor

Algoritmo Seleccionar la escala local Filtrar cada punto (región) con un filtro gaussiano con la s óptima, correspondiente a la escala local Obtener la imagen filtrada

Ejemplo – imagen original (con ruido gaussiano)

Mapa de escalas

Filtrada con difusión anisotrópica 50 iteraciones

Filtrada con difusión anisotrópica 80 iteraciones

Filtrada con filtro gaussiano no-lineal

Filtrada con filtro gaussiano adaptable

Referencias [González] Capítulo 3 (3.4, 3.5), 4 [Sucar] Capítulo 2 G. Gómez, J.L. Marroquín, L.E. Sucar, “Probabilistic estimation of local scale”, IEEE-ICPR, 2000.