Estimación y aproximación de números irracionales Segundo Medio

Objetivo de la clase Estimar y aproximar los números irracionales juzgando su importancia al interpretar resultados.

Indagación Al digitar en la calculadora el número 𝜋 ¿qué valor se obtiene? El número que muestra la calculadora, ¿es el valor exacto de “pi”? Si se quiere aproximar 𝜋 a la milésima, ¿qué técnicas puedes utilizar? ¿Cuál de las aproximaciones es mayor y cuál es menor que 𝜋? 3,1415926535 Recordar los métodos de truncamiento y redondeo, como también las posiciones de los decimales (décima, centésima, milésima, diezmilésima, cienmilésima, millonésima) Truncamiento 3,141 Redondeo 3,142

Aproximación por exceso y defecto Aproximar un número irracional es representar su valor a través de un resultado lo suficientemente cercano. Cuando el número que se obtiene es mayor, se dice que la aproximación es por exceso. Cuando el número que se obtiene es menor, se dice que la aproximación es por defecto. 3,141<𝜋<3,142 DEFECTO EXCESO

¡Ahora tú! Aproxima con tu calculadora 26 a la centésima. 5,09< 26 <5,1 DEFECTO EXCESO

Actividad Sabiendo que 10 =3,16227766… las cinco primeras aproximación por defecto, exceso y redondeo son: Sabiendo que 11 =3,3166… 3 =1,7320… 12 = 3,4641… y 5 =2,2360… , realiza cada operación con una aproximación de dos cifras decimales, por defecto, exceso y redondeo. Por defecto 3,1 3,16 3,162 3,1622 3,16227 Por exceso 3,2 3,17 3,163 3,1623 3,16228 Por redondeo Aproximan cada raíz por separado y luego realizan la operación. 11 + 3 12 −2 5

Y si no tenemos calculadora… ¿Cómo sería posible aproximar una raíz cuadrada?

¿En que problemas geométricos aparece la raíz cuadrada? Á=𝟐𝟓 𝒙 𝒙 𝟐 =𝟐𝟓 𝒙= 𝟐𝟓 𝒙=𝟓 Á=𝟏𝟐 𝒙 𝒙 𝟐 =𝟏𝟐 𝒙= 𝟏𝟐 La idea es que los estudiantes digan diversas situaciones, por ejemplo teorema de Pitágoras, lado de un cuadrado de cierta área, etc. En la estimación la idea es guiar a que la raíz de 12 esta entre la raíz de 9 y la raíz de 16, por ende, esta entre 3 y 4. ¿Cuánto estiman ustedes que medirá el lado del cuadrado?

Á=𝟏𝟐 𝟑,𝟒𝟐 𝟑,𝟓 Á=𝟏𝟐 𝟐 𝟔 Á=𝟏𝟐 𝟑 𝟒 Á=𝟏𝟐 𝟑,𝟒𝟔

Estimar raíces Se puede estimar el valor de una raíz cuadrada utilizando los cuadrados perfectos. Para estimar el valor de la 7 se buscan los cuadrados perfectos más cercanos a 7, en este caso: 4<7<9 Luego se calcula la raíz cuadrada y se desarrolla: 4 < 7 < 9 2< 7 <3 Recordar que un número cuadrados perfectos es un número entero que es el cuadrado de algún otro.

Ahora si queremos una estimación mas certera vamos a utilizar el método de APROXIMACIONES SUCESIVAS

Aproximar 𝟓𝟒 Paso 1: Buscar los cuadrados perfectos menor y mayor cercanos a 54. 7 2 =49 8 2 =64 7< 54 <8 Paso 2: Calcular el promedio entre ambos extremos con el fin de encontrar valores intermedios. 7< 54 <8 7+8 2 = 15 2 =7,5

Aproximar 𝟓𝟒 Paso 3: Determinar si el promedio es mayor o menor que la raíz aproximada. Para hacerlo elevamos el promedio al cuadrado. (𝟕,𝟓) 2 =56,25 Como el resultado es mayor a 54, entonces: 7< 54 <𝟕,𝟓 Paso 4: Repetir pasos 2 y 3 hasta llegar a una buena aproximación. 7+7,5 2 = 14,5 2 =7,25 (𝟕,𝟐𝟓) 2 =52,5625 Como el resultado es menor a 54, entonces: 𝟕,𝟐𝟓< 54 <7,5

¡Ahora tú! Aproxima la 45 . Finaliza cuando hayas logrado una aproximación por defecto y exceso con 3 cifras decimales.

Error de la aproximación El error de una aproximación corresponde a la diferencia, en valor absoluto, entre el número y su aproximación. Por ejemplo, al aproximar 54 ≈7,35 el error es de: 54 −7,35 =0,00153…

Actividad Compara los siguientes números y ordénalos de manera creciente. 10 , 2, 7 , 5 12, 12 , 8 , 15 91 , 60 , 8, 102

Actividad Ejercicios de la página 21 del texto de estudio. Ejercicios de la página 6 del cuadernillo del ejercicio 80 al 86.