Repaso de Conjuntos Conjuntos y subconjuntos Operaciones y leyes de la teoría de conjuntos

Conjuntos y subconjuntos Conjunto: Colección bien definida de objetos llamados elementos que se dice son miembros del conjunto. Debe definirse un Universo U. Si A = {x, | 1 ≤ x ≤ 5}, entonces para U = Z A = {1, 2, 3, 4, 5} para U = R A = [1, 5] para U = Z pares A = { 2, 4 }

Cardinalidad: Número de elementos en un conjunto Conjuntos finitos. U = Z+ Los enteros positivos Conjuntos infinitos Cardinalidad: Número de elementos en un conjunto

Para estos conjuntos C y D del universo U, si entonces Módulo 3 Si C, D son conjuntos del universo U, se dice que C es un subconjunto de D y se escribe si todo elemento de C es un elemento de D. Si además, D contiene un elemento que no está en C, entonces C es un subconjunto propio de D y se denota Para estos conjuntos C y D del universo U, si entonces

es falsa!! Para todos los subconjuntos C y D de U, si Entonces si pero no es verdad que si Algo interesante: es falsa!!

Para un universo dado U, se dice que los conjuntos C y D (tomados de U) son iguales, y lo denotamos C = D, cuando

Sean a) Si entonces b) Si entonces c) Si entonces d) Si entonces

El conjunto vacío o conjunto nulo, es el único conjunto que no contiene elementos y es denotado por ó { } Para cualquier universo U, sea Entonces entonces

Si A es un conjunto del universo U, el conjunto potencia de A, P(A), es la colección de todos los subconjuntos de A. Para cualquier conjunto finito A con |A| = n ≥ 0, A tiene 2n subconjuntos, entonces |P(A)| = 2n. Ejemplos: A={1,2}, P(A)={{},{1},{2},{1,2}} (22= 4) A={}, P(A)={{}} (20=1)

Operaciones y leyes de la teoría de conjuntos. Para definimos: Unión Intersección Diferencia Negación

Leyes de la teoría de conjuntos.

Relaciones y funciones

Productos cartesianos y relaciones. DEF. Para los conjuntos A y B, el producto cartesiano o producto cruz de A y B, se denota por A×B y equivale a Los elementos de A×B son pares ordenados. Si A y B son finitos |A×B| = |A|·|B| Además A×B ≠ B×A pero |A×B| = |B×A| Ejemplo: A={1,2}, B={a,b} entonces: A×B= = {(1,a),(1,b),(2,a),(2,b)}

Actividad 5 “Conjuntos”

Propiedades de las relaciones. DEF. Para los conjuntos A y B, cualquier subconjunto de A×B es llamado relación binaria de A a B. Cualquier subconjunto de A×A es llamado relación binaria en A. DEF. Una relación R sobre un conjunto A es llamada reflexiva si

DEF. Una relación R en A es simétrica si DEF. Para un conjunto A, una relación R en A se dice transitiva si

DEF. Una relación R en A es antisimétrica si DEF. Una relación R en A es de orden parcial si R es reflexiva, antisimétrica y transitiva. DEF. Una relación de equivalencia R es una relación que es reflexiva, simétrica y transitiva.

Actividad 6 “Relaciones”

Funciones comúnes, especiales y uno a uno DEF. Para los conjuntos no vacios A y B una función f de A a B, denotada f: A → B, es una relación de A a B en la cual todo elemento de A aparece a lo más una vez como el primer componente de un par ordenado en la relación. DEF. Para la función f: A → B, A es llamado el dominio de f y B el codominio de f. El suconjunto de B que contiene aquellos elementos que aparecen como segundos componentes en los pares ordenados de f es llamado el rango de f y está denotado por f(A), pues es el conjunto de imágenes de los elementos de A bajo f.

DEF. Una función f: A → B es uno a uno o inyectiva, si para cada elemento de B aparece a lo más una vez como la imagen de un elemento de A. DEF. Una función f: A → B es suprayectiva si f(A)=B. Esto es, si para toda b, existe al menos una a con f(a)=b

Actividad 7 “Funciones”