Las preferencias del consumidor y la función de utilidad Tema 3 Las preferencias del consumidor y la función de utilidad

Cestas de consumo Los objetos que elige el consumidor se denominan cestas de consumo Éstas consisten en una lista completa de los bienes y servicios a disposición del consumidor

Las preferencias Las preferencias de un consumidor ordenan las cestas de consumo según su atractivo Utilizaremos el signo ≻ para indicar que una cesta se prefiere estrictamente a otra: (x1,x2) ≻(y1,y2) quiere decir que (x1,x2) es estrictamente preferida a (y1,y2) Para abreviar a veces denominaremos la cesta (x1,x2) como la cesta X y la cesta (y1,y2) como la cesta Y

Las preferencias Si un consumidor es indiferente entre dos cestas utilizamos el símbolo ~ (x1,x2) ~ (y1,y2) señala que la cesta (x1,x2) es indiferente a (y1,y2) Si el individuo prefiere una de las dos cestas o es indiferente entre ellas decimos que prefiere débilmente la (x1,x2) a la (y1,y2) y escribimos (x1,x2) ≽ (y1,y2)

Supuestos sobre las preferencias Completas: suponemos que es posible para el consumidor comparar dos cestas cualesquiera Transitivas: Si (x1,x2) ≽ (y1,y2) y (y1,y2) ≽ (z1,z2), suponemos que (x1,x2) ≽ (z1,z2). En otras palabras. Si el consumidor piensa que la cesta X es tan buena como la Y y que la Y es al menos tan buena como la Z, piensa que la X es al menos tan buena como la Z

Supuestos sobre las preferencias La transitividad es un requisito para que la elección del consumidor esté bien definida Supongamos que no se cumple. Por ejemplo, si tenemos (x1,x2) ≻ (y1,y2) y (y1,y2) ≻ (z1,z2) y además tuviéramos que (z1,z2) ≻ (x1,x2) Entonces no queda claro cuál es su elección, ya que independientemente de la elección siempre habría una cesta que es preferida a la elegida

Las curvas de indiferencia Representa las cestas que son indiferentes entre sí La transitividad implica que las curvas de indiferencia no pueden cortarse

Las curvas de indiferencia x2 I2 I1 x y z x1

Las curvas de indiferencia Tenemos tres cestas la X, Y y la Z. Z e Y pertenecen a curvas de indiferencia diferentes. La X se encuentra en la intersección de las dos curvas de indiferencia Como pertenecen a curvas de indiferencia diferentes Z e Y no pueden ser indiferentes. Supongamos que Y es preferida estrictamente a Z

Las curvas de indiferencia Según la definición de curvas de indiferencia tenemos que X es indiferente a Z y a Y La transitividad implicaría que Z e Y son indiferentes, lo cual es una contradicción

Sustitutivos perfectos Si un consumidor está siempre dispuesto a sustituir un bien por otro a una tasa constante entonces los bienes son sustitutivos perfectos La tasa de sustitución no es necesariamente igual a 1. Ejemplo: botella de 50cl de agua y botellas de 1 litro agua Las C.I. son líneas rectas

Sustitutivos perfectos Coca-cola Ejemplo: botellas de 1L de coca-cola y de 1L de fanta. El consumidor está indiferente entre ambas. La tasa de sustitución es 1 10 CI2 8 CI1 Fanta 8 10

Sustitutivos perfectos Coca-cola Ejemplo: botellas de 1L de coca-cola y de 0.5L fanta. La tasa de sustitución es 0.5 5 CI2 CI1 4 Fanta 8 10

Complementarios perfectos Si el individuo consume siempre los bienes 1 y 2 en proporciones fijas, entonces dichos bienes son complementarios perfectos Las C.I. tienen forma de L Ej: Al consumidor le gusta tomar 1 churro (bien 1) con cada taza chocolate (bien 2)

Complementarios perfectos Tazas chocolate 45o Las cestas (5,5), (5,9) y (9,5) contienen 5 “tazas completas” asi que todas ellas son igualmente preferidas 9 5 CI1 Churros 5 9

Complementarios perfectos Tazas chocolate 45o Dado que las cestas (5,5), (5,9) y (9,5) contienen 5 tazas completas, cada una de ellas es menos preferida a la cesta (9,9) que contiene 9 tazas completas 9 CI2 5 CI1 Churros 5 9

Saciedad Si una cesta es globalmente estrictamente preferida a cualquier otra cesta, entonces constituye un punto de saciedad o de máxima felicidad Cuanto más lejos esté el consumidor de esta cesta, menor será su bienestar y por tanto, estará situado en C.I. “más bajas”

Saciedad Bien 2 Punto de saciedad Bien 1

Saciedad Bien 2 Mejor Mejor Punto de saciedad Mejor Bien 1

Saciedad Bien 2 Mejor Mejor Punto de saciedad Mejor Bien 1

Males Un mal es un producto que disgusta al consumidor Para aceptar que aumente su consumo de un mal hay que compensarle con un aumento de un bien, de forma que las CI tienen pendiente positiva Ejemplos: el ruido, la suciedad, la delincuencia, el trabajo (!)…

Males mal bien

Bienes neutrales Si una mayor cantidad de consumo de un bien proporciona la misma satisfacción a una cantidad menor, el bien en cuestión es un bien “neutral”. Ejemplos: - Cualquier otro bien que no sea dinero para un avaro (Montgomery Burns en Los Simpson). - Gemelos para alguien que no use camisas

Bienes neutrales Bien neu- tral bien

Bienes discretos Un bien es infinitamente divisible si puede ser adquirido en cualquier cantidad, por ejemplo, el agua y el queso Un bien es discreto si se compra en unidades enteras, por ejemplo, aviones, barcos y neveras

Bienes discretos Supón que el bien 2 es infinitamente divisible (gasolina) mientras que el bien 1 es un bien discreto (aviones). ¿Cómo son las curvas de indiferencia en este caso?

Bienes discretos Las curvas de indiferencia son un conjunto de puntos discretos Gas-olina Aviones 1 2 3 4

Preferencias regulares Monótonas “cuanto más mejor” Convexas: el conjunto de las cestas débilmente preferidas a una cesta es convexo. Esto implica que se prefieren las medias a los extremos

Preferencias regulares Las dos condiciones anteriores implican que las curvas de indiferencia tienen pendiente negativa y son funciones convexas Las cestas que están encima (por debajo) de una curva de indiferencia son mejores (peores) que las cestas en la curva de indiferencia

Preferencias regulares X2 Cestas mejores Cestas peores X1

Preferencias regulares -- convexidad. La cesta media z es preferida a las cestas extremas x e y x+y x2+y2 z = 2 2 y y2 x1 x1+y1 y1 2

Preferencias no-convexas Mejor La combinación z es peor que las cestas extremas x e y z y2 x1 y1

Preferencias no convexas Mejor La combinación z es peor que las cestas extremas x e y z y2 x1 y1

Pendiente de las curvas de indiferencia La pendiente de una curva de indiferencia es su relación marginal de sustitución (RMS) ¿Cómo podemos calcularla?

Relación marginal de sustitución x2 RMS en x’ es la pendiente de la curva de indiferencia en x’ x’ x1

Relación marginal de sustitución x2 RMS en x’ es lim {Dx2/Dx1} Dx1  0 = dx2/dx1 en x’ Dx2 x’ Dx1 x1

Relación marginal de sustitución dx2 = RMS ´ dx1 La RMS en x’ es la tasa a la que el consumidor está dispuesto a intercambiar el bien 2 por una pequeña cantidad del bien 1 x2 x’ dx2 dx1 x1

RMS y las curvas de indiferencia Bien 2 Con 2 bienes una curva de indiferencia con pendiente negativa implica que RMS < 0 Nejor Peor Bien 1

RMS y las curvas de indiferencia Bien 2 Con un bien y un mal la curva de indiferencia tiene pendiente positiva, por lo que RMS > 0 Mejor Peor Mal 1

RMS y las curvas de indiferencia Bien 2 La RMS siempre aumenta con x1 (se vuelve menos negativa) cuando las preferencias son estrictamente convexas MRS = - 5 MRS = - 0.5 Bien 1

Función de utilidad Una función de utilidad es un instrumento para asignar números a todas las cestas de forma que las que se prefieran tengan un número más alto que las que no se prefieran

Función de utilidad f ~ p p Una función de utilidad U(x) representa una relación de preferencia si y sólo si: x’ x” U(x’) > U(x”) x’ x” U(x’) < U(x”) x’ ~ x” U(x’) = U(x”). ~ f p p

Función de utilidad La utilidad es un concepto ordinal (se refiere a un ranking) y no cardinal (no conlleva información sobre la intensidad de las preferencias) Ej. si U(x) = 6 y U(y) = 2, entonces la cesta x es mejor que la cesta y. Sin embargo, no indica que x sea tres veces mejor que y

Función de utilidad Considera las cestas (4,1), (2,3) y (2,2). Supón que (2,3) (4,1) ~ (2,2) Podemos representar estas preferencias asignando a estas cestas números que respeten el orden de preferencia; e.g. U(2,3) = 6 > U(4,1) = U(2,2) = 4 Estos números representan diferentes niveles de utilidad. Los números concretos asignados son irrelevantes p

Curvas de indiferencia Las preferencias se pueden representar a través de una función de utilidad o un mapa de C.I. Una C.I. contiene cestas que proporcionan la misma satisfacción Misma satisfacción  mismo nivel de utilidad Todas las cestas situadas en una misma C.I. tienen el mismo nivel de utilidad

Curvas de indiferencia Las cestas (4,1) y (2,2) están en una C.I. con nivel de utilidad U = 4 Pero la cesta (2,3) está en una C.I. con nivel de utilidad U = 6. En un diagrama de C.I., podríamos representar dicha información de la siguiente manera:

Curvas de indiferencia x2 (2,3) > (2,2) ~ (4,1) U º 6 U º 4 x1

Funciones de utilidad Existen infinitas funciones de utilidad capaces de representar una cierta relación de preferencia Si U(.) representa las preferencias y V(.) es otra función que satisface V(x) > V(y) si y sólo si U(x) > U(y) para todo x, y, entonces V(.) también representa dichas preferencias

Funciones de utilidad p Supón que U(x1,x2) = x1x2 representa una relación de preferencia. Considera de nuevo las cestas (4,1), (2,3) y (2,2). Dado que U(x1,x2) = x1x2, entonces: U(2,3) = 6 > U(4,1) = U(2,2) = 4 Por lo tanto, (2,3) (4,1) ~ (2,2) p

Funciones de utilidad p p U(x1,x2) = x1x2 (2,3) (4,1) ~ (2,2). Define V = U3 Entonces V(x1,x2) = x13x23 y V(2,3) = 216 > V(4,1) = V(2,2) = 64 De nuevo, (2,3) (4,1) ~ (2,2). V establece el mismo ranking que U sobre todas las cestas y, por tanto, representa las mismas preferencias p

Funciones de utilidad p p U(x1,x2) = x1x2 (2,3) (4,1) ~ (2,2). Define W = 2U - 10. Entonces W(x1,x2) = 2x1x2 – 10, por lo que W(2,3) = 2 > W(4,1) = W(2,2) = -2. De nuevo, (2,3) (4,1) ~ (2,2). W establece el mismo ranking que U y V y representa las mismas preferencias p p

Funciones de utilidad Supongamos que U es una función de utilidad que representa una relación de preferencias y que f es una función estrictamente creciente Entonces V = f(U) también representará la misma relación de preferencia Decimos que f(U) es una transformación monótona creciente de U

Funciones de utilidad Cualquier función de utilidad de la forma U(x1,x2) = C x1a x2b con C > 0, a > 0 y b > 0 se denomina Cobb-Douglas Por ejemplo, U(x1,x2) = x11/2 x21/2 (aquí C=1, a = b = 1/2) V(x1,x2) = 5 x1 x23 (C=5, a=1, b=3)

Preferencias Cobb-Douglas x2 Todas las C.I. son hipérbolas, siendo los ejes sus asíntotas x1

Funciones de utilidad Considera la función de utilidad: V(x1,x2) = x1 + x2 Para representar las preferencias, dibujamos varias C.I. asignando diferentes niveles de utilidad. Por ejemplo, todas las cestas que cumplen x1 + x2= 8 o x2 = 8 - x1 conllevan la misma utilidad

Sustitutivos perfectos x2 x1 + x2 = 4 12 x1 + x2 = 8 8 x1 + x2 = 12 4 V(x1,x2) = x1 + x2. 4 8 12 x1

Sustitutivos perfectos x2 Las C.I. son líneas rectas paralelas (con la misma pendiente) 12 Al individuo le interesa únicamente la cantidad total consumida: 8 4 V(x1,x2) = x1 + x2 4 8 12 x1

Sustitutivos perfectos En general las preferencias por sustitutivos perfectos se pueden representar por la función de utilidad: En esta expresión a y b miden el “valor” que tienen los bienes para el consumidor. V(x1,x2) =a x1+bx2

Funciones de utilidad Considera ahora: W(x1,x2) = min{x1,x2} ¿Qué forma tienen las C.I.?

Complementarios perfectos x2 45o W(x1,x2) = min{x1,x2} 8 min{x1,x2} = 8 5 min{x1,x2} = 5 3 min{x1,x2} = 3 3 5 8 x1

Complementarios perfectos x2 45o Todas tienen forma de L con los vértices situados en una línea imaginaria construida desde el origen 8 5 3 3 5 8 x1

Complementarios perfectos En general, la forma general de la función de utilidad que describe las preferencias de complementarios perfectos es: Aquí a y b son dos números que indican las proporciones que se consumen de cada bien W(x1,x2) = min{ax1, bx2}

Preferencias cuasilineales Una función de utilidad con la forma U(x1,x2) = f(x1) + x2 es lineal en x2 y se denomina cuasi-lineal (por ser parcialmente lineal). Por ejemplo, U(x1,x2) = 2x11/2 + x2

Preferencias Cuasilineales x2 Las C.I. son traslaciones verticales de una única C.I. x1

Utilidad marginal La utilidad marginal con respecto al bien i es la variación obtenida en la utilidad al variar única y marginalmente la cantidad consumida del bien i:

Utilidades marginales Por ejemplo, si U(x1,x2) = x11/2 x22 entonces:

Utilidad marginal Si U(x1,x2) = x11/2 x22 entonces:

Relación marginal de sustitución La RMS es, gráficamente, la pendiente de la C.I. ¿Cómo se calcula? A lo largo de la C.I., la utilidad permanece constante Introduzcamos una pequeña variación en el consumo del bien 1: Δx1. Debido a ello, la utilidad varía en: ΔU = UM1* Δx1

Relación marginal de sustitución Variamos ahora la cantidad del bien 2 de forma que el individuo esté ahora indiferente entre la cesta original y la nueva cesta (x1 + Δx1, x2 + Δx2): ΔU= UM1* Δx1 + UM2* Δx2 = 0

Relación marginal de sustitución Podemos reescribir esta expresión como: Δx2/Δx1 = -UM1/UM2 = = -(U/x1)/(U/x2) Esta es la pendiente de la CI y, por lo tanto, la RMS

Relación marginal de sustitución Supongamos U(x1,x2) = x1x2. Entonces Así:

Relación marginal de sustitución x2 U(x1,x2) = x1x2; 8 RMS(1,8) = - 8/1 = -8 RMS(6,6) = - 6/6 = -1. 6 U = 36 U = 8 1 6 x1

Relación marginal de sustitución Cualquier transformación monótona de una función de utilidad nos proporciona otra función de utilidad que representa las mismas preferencias ¿Qué le ocurre al valor de la RMS cuando aplicamos una transformación monótona a la función de utilidad?

Relación marginal de sustitución Si V = f(U) donde f es una función estrictamente creciente en U, entonces aplicando la regla de la cadena: La RMS no se altera

Relación marginal de sustitución Para U(x1,x2) = x1x2, la RMS = - x2/x1 La transformamos en V = U2; i.e. V(x1,x2) = x12x22. ¿Cuál es la RMS asociada a V? La misma que la asociada a U

Relación marginal de sustitución Las transformaciones monótonas sí alteran las utilidades marginales Las transformaciones monótonas no alteran el cociente de las utilidades marginales y por lo tanto, no alteran la RMS Es una nueva forma de ver que las preferencias son las mismas