Auxiliar #11 Ecuación de Eksergian ME3401 Cinemática y Dinámica de Mecanismos Profesor Marco A. Bejar Auxiliar Sebastián Maggi Silva Auxiliar #11 Ecuación de Eksergian

Energía cinética de un mecanismo Energía cinética de un sólido rígido 𝑖 Energía cinética varios eslabones rígidos, movimiento plano Donde las matrices [𝑀] y [ 𝐼 𝐺 ] son diagonales y los vectores de las velocidades incluye por filas los valores correspondientes a cada uno de los eslabones.

Energía cinética de un mecanismo Las velocidades 𝑉 𝐺 y 𝜔 de cada eslabón son funciones de las velocidades generalizadas a través de los coeficientes de velocidad y dependen de la posición del mecanismo. En forma matricial

Energía cinética de un mecanismo Sustituyendo el resultado en la ecuación de la energía potencial, se obtiene que

Análisis dinámico directo mediante la ecuación de Eksergian Supongamos un mecanismo de un solo grado de libertad. En ese caso, el vector 𝑞 se reduce a un escalar. Las matrices [ 𝐾 𝑉 ] y [ 𝐾 𝜔 ] se reducen a vectores. La ecuación queda de la siguiente forma se llama inercia generalizada (escalar) y representa la inercia que debería tener el eslabón de entrada para que su energía cinética fuera la misma que la del mecanismo completo.

Análisis dinámico directo mediante la ecuación de Eksergian Supongamos que sobre el mecanismo de un grado de libertad actuan fuerzas externas 𝐹 𝑖 y momentos 𝑀 𝑗 . El trabajo de dichas fuerzas/momentos ejercen sobre el mecanismo en un desplazamiento diferencial del mismo es: La potencia introducida al mecanismo es Y escrito en coordenadas generalizadas, se tiene que Donde 𝑄 es la fuerza generalizada

Análisis dinámico directo mediante la ecuación de Eksergian De acuerdo a los principios energéticos de la mecánica, el trabajo realizado sobre el sistema se invierte en variar su energía (cinética o potencial), por lo que tendremos: La potencia que introducida al sistema será entonces: y descrita en coordenadas generalizadas se tiene que: donde 𝑄 es la fuerza generalizada.

Análisis dinámico directo mediante la ecuación de Eksergian De acuerdo a los principios energéticos de la mecánica, el trabajo realizado sobre el sistema se invierte en variar su energía (cinética o potencial), por lo que tendremos: La potencia que introducida al sistema será entonces: y descrita en coordenadas generalizadas se tiene que: donde 𝑄 es la fuerza generalizada.

Análisis dinámico directo mediante la ecuación de Eksergian Teniendo en cuenta los principios energéticos de la mecánica, el trabajo realizado sobre el sistema se invierte en variar su energía (cinética o potencial), por lo que tendremos: Y evaluando el resto de los resultados en esta ecuación, tenemos que: La fuerza generalizada Q lleva un superíndice (nc) para indicar que sólo las fuerzas externas no conservativas deben ser consideradas en la misma, pues las conservativas están consideradas a través de la energía potencial del sistema 𝑉.

Análisis dinámico directo mediante la ecuación de Eksergian Simplificando la ecuación anterior se llega a la ecuación de Eksergian, válida para sistemas de un grado de libertad. Ecuación diferencial de segundo orden 𝑞 describe el movimiento del sistema Utilizando algún método numérico, proporciona los valores de 𝑞, 𝑞 y 𝑞 para cada instante. VENTAJA POR SOBRE NEWTON: Llega directamente a la ecuación diferencial del movimiento sin necesidad de realizar sustituciones entre ecuaciones.

Ejemplo

Energía cinética del mecanismo Velocidades en función del ángulo y velocidad de la manivela

Inercia generalizada Derivada de la inercia generalizada

Energía potencial del mecanismo Fuerza generalizada

Sustituyendo todos los términos en la ecuación de Eksergian, se llega a la ecuación diferencial

Desafío