Otro paradigma de modelación: maximización de la entropía MME de variables totales (MMET) Deducción del modelo: Enfoque combinatorial Aplicación a modelo de distribución de viajes Métodos numéricos para calibrar estos modelos y predecir con ellos MME de variables de probabilidad (MMEP) Deducción del modelo: Enfoque del valor de la información Equivalencia de MMET y MMEP Equivalencia de MMEP y Modelo Logit Multinomial

Modelo de maximización de la entropía (MMET) Elemento: viaje Sistema: Conjunto de viajes Categoría: Par OD Conocimiento del estado del sistema Conocerlo según sus categorías Mesoestado: Número de elementos por categoría (T ij ) Microestado: Categoría a la cual pertenece el elemento (Par OD del viaje) Macroestado: Condiciones sobre mesoestado Ej: SÍ NO ¿?

¿Cómo nace un mesoestado? T 1 = 3T 2 = 5T 3 = 2 “Cada elemento (viaje) tiene igual probabilidad de pertenecer a cada una de las categorías (Par OD)” “Todos los microestados son equiprobables” ¿De cuántas formas posibles se puede formar un mesoestado? Modelo de maximización de la entropía (MMET) Wilson (1971) demostró que:

T 1 = 3 T 2 = 5 T 3 = 2 T 1 = 1 T 2 = 4 T 3 = 5 ¿Cómo selecciono entre dos sistemas con el mismo macroestado? Modelo de maximización de la entropía (MMET)

T 1 = 3 T 2 = 5 T 3 = 2 T 1 = 1 T 2 = 4 T 3 = 5 “Es más probable que ocurra aquel mesoestado con un número mayor de formas posibles de generarse” Modelo de maximización de la entropía (MMET)

El número de formas posibles de generar un mesoestado (T i ) i, bajo el supuesto de microestados equiprobables es: El objetivo es encontrar el mesoestado { T i } que maximiza W Modelo de maximización de la entropía (MMET)

equivale a Aproximación de Stirling Modelo de maximización de la entropía (MMET)

equivale a Entropía Se formula el siguiente problema de Maximización: Macroestado Modelo de maximización de la entropía (MMET)

Características de la Entropía: La Entropía es una función no lineal cóncava: Modelo de maximización de la entropía (MMET)

Resolución del problema anterior Modelo de maximización de la entropía (MMET)

Resolución del problema anterior ¡Constante! Modelo de maximización de la entropía (MMET)

¿Y si se considera más información en el macroestado? Macroestado Es un problema de optimización con restricciones de igualdad La función objetivo es no lineal y cóncava Las restricciones son lineales El número de variables de estado (T i ) habitualmente es muy grande Si las restricciones son factibles, existe solución única Modelo de maximización de la entropía (MMET)

Sistema de ecuaciones no lineales que determinan Modelo de maximización de la entropía (MMET)

“el criterio de maximizar la entropía define mesoestados distribuidos uniformemente a menos que los macroestados se lo impidan” ignorancia conocimiento Modelo de maximización de la entropía (MMET)

Donde es solución del sistema de ecuaciones no lineales (*) Si algunas restriccionesimplican la restricción equivale a con lo cual Observaciones Modelo de maximización de la entropía (MMET)

Modelos de distribución espacial de viajes con restricción de costo Modelo de entropía simplemente acotado en el origen Modelo de entropía simplemente acotado en el destino Modelo de entropía doblemente acotado Modelo de maximización de la entropía (MMET)

c ij : costo generalizado de transporte entre i y j. Valor único para el par ij, debe tomar en cuenta todos los modos disponibles.  Recordar discusión Modelo gravitacional  Esperanza del mínimo costo Depende de todos los destinos tiene que ver con el beneficio de visitar y con los costos ponderados por β Depende de todos los orígenes tiene que ver con la posibilidad de ser visitado y los costos ponderados por β

Modelo de distribución espacial de viajes doblemente acotado Modelo de maximización de la entropía (MMET)

Modelo de distribución espacial de viajes doblemente acotado entonces Modelo de maximización de la entropía (MMET)

Modelo de distribución espacial de viajes doblemente acotado (a,b) = F(β,a,b) Ecuación vectorial no lineal de Punto Fijo en a y b para un β dado G(β,a,b) = 0 Ecuación unidimensional no lineal en β para un a y b dado La función g es decreciente en β e interesa encontrar una raíz de ella para un a y b dado Modelo de maximización de la entropía (MMET)

Calibración del Modelo de maximización de la entropía (MMET)  Calibración: Buscar los parámetros que aseguran que las predicciones se parecen a la matriz observada.  Validación: chequear que las predicciones son buenas en un caso controlado. A i, B j se estiman como parte del proceso de balanceo biproporcional (Furness) β debe ser calibrado de forma tal que la distribución de longitudes de viaje se reproduce tan cercanamente como sea posible  β*

Modelo de distribución espacial de viajes doblemente acotado: Modelo de distribución espacial de viajes doblemente acotado: Solución mediante el método de Hyman Calibración del Modelo de maximización de la entropía Conocido T(β) modelado observado

1.m=0 β 0 =1/c* 2.Calcular la matriz predicha con ese  β m =β  c 0 /c*  β m =β  c 0 /c* 3.m=m+1 calcular la matriz con β m-1calcular la matriz con β m-1 C m-1 ? C*  si son parecidos, pararC m-1 ? C*  si son parecidos, parar Si no, ir al paso 4Si no, ir al paso 4 4.Mejorar estimación de β Calibración del Modelo de maximización de la entropía: método de Hyman (1969)

4. Mejorar estimación de β  Repetir hasta que modelado observado modelado observado Calibración del Modelo de maximización de la entropía: método de Hyman (1969)

Problema: Encontrar que resuelva la ecuación: donde Métodos de calibración: Método de Newton Modelo de maximización de la entropía (MMET) Se resuelve esta ecuación, reemplazando a la función f por una aproximación lineal de ella en una vecindad de un punto x (0) : con lo cual:

Aplicación del modelo de distribución espacial de viajes doblemente acotado tiene por solución Podemos estimar con la información observada de¿Cómo estimar para un corte temporal t futuro? Modelo de maximización de la entropía (MMET)

Aplicación del modelo de distribución espacial de viajes doblemente acotado No podemos calcular β t cuando C t no lo podemos estimar Los modelos de utilidad permiten estimar Los modelos de generación y atracción permiten estimar y con ello calcular Modelo de maximización de la entropía (MMET)

Aplicación del modelo de distribución espacial de viajes doblemente acotado Los parámetros se determinan imponiendo las restricciones: Cuando C t no es posible estimar se propone la siguiente solución: se calculan fácilmente por Punto Fijo Modelo de maximización de la entropía (MMET)

Incorporación de información adicional En general esto se hace mediante restricciones, excepto para: Matriz a priori –Se modifica la función objetivo –  Discutir

Incorporación de información adicional Conteos de flujo –A través de los p ija –  ver caso general con W” y conteos de flujo Placa parcial –Estimaciones de algunas celdas

Consideraciones prácticas Iformación: –Matriz a priori –Oi, Dj –Conteos de flujo –Estructura de costos Balance: matriz a priori – estructura de costos

Consideraciones prácticas Matrices incompletas –Presencia de ceros en matriz a priori puede hacer infactible el problema –Ejemplo: 1234ΣTarget Oi Σ Target Dj Fuente: Ortúzar y Willumsen, 1994

1234ΣTarget Oi Σ Target Dj Fuente: Ortúzar y Willumsen, ΣTarget Oi Σ Target Dj Poniendo 1 viaje en matriz a priori en celda 2-4, 10 iteraciones furness 10 iteraciones Furness

Consideraciones prácticas Modelo tripoporcional –Reproduce Oi –Reproduce Dj –Reproduce estructura de costos (TLD) –> tan cerca como sea posible a la matriz a priori Matrices parciales –Llenar parte de la matriz con datos de conteos, el resto con gravitacional Matrices poco densas –“ sembrar”

Consideraciones prácticas Zonas externas –Viajes E-E E-I (modelar exógenamente, restar E-I de los Dj) Viajes intrazonales –¿costo? Viajes asociados a centroides. –¿asignación a la red? Segmentación por motivo –Trabajo  doblemente acotado –Otros  ? – β costo igual para todos los motivos?

Consideraciones prácticas Segmentación por tipo de usuario Generación-atracción / origen/destino punta mañana/fuera de punta/punta tarde Incorporación de factores k ij para tratar pares específicos Errores

Lectura Stopher y Meyburg. Intervening-opportunity Model.