Técnicas FEC, Correctoras de Errores Dpto. de Telemática ISPJAE Técnicas FEC, Correctoras de Errores Códigos de Convolución Carmen Moliner Peña Dpto. De Telemática ISPJAE 31

Sumario Técnicas FEC Códigos de Convolución Codificador de Convolución Dpto. de Telemática ISPJAE Técnicas FEC Códigos de Convolución Codificador de Convolución Vectores de Conexión Diagrama de Estados Árbol de Código Diagrama de Rejilla Distancia entre Secuencias Proceso de Decodificación Decodificación Secuencial Decodificación por Algoritmo de Viterbi Ganancia de Codificación Ejemplos de códigos utilizados Códigos empleados en servicio IDR de INTELSAT TCM

Dpto. de Telemática ISPJAE Técnicas FEC Emplean códigos correctores de errores. Uno de los códigos más empleados con estas técnicas son los Códigos de Convolución. Las técnicas FEC requieren mayor redundancia para no sólo detectar que hubo error, también deben definir la posición del mismo para poderlos corregir. *

Técnicas FEC Empleadas en : Aplicaciones militares Dpto. de Telemática ISPJAE Empleadas en : Aplicaciones militares Protección de pequeños segmentos de información Ej. cabecera de la celda ATM Sistemas de difusión. (Un TX. y muchos RX.) Comunicación vía satélite (Grandes tiempos de propagación*

Códigos de Convolución Dpto. de Telemática ISPJAE Códigos de Convolución Códigos empleados en la corrección de errores. No son códigos de bloques pues el proceso de codificación es continuo. Empleado en Tx de Datos vía satélites. Empleados en combinación con técnicas de modulación para obtener la TCM (Trellis Code Modulation) (Técnica de modulación que se estudiará).*

Códigos de Convolución Dpto. de Telemática ISPJAE Códigos de Convolución La mejor forma de comprender el proceso de codificación es estudiando la operación de un codificador. Codificadores son muy sencillos, compuestos por registros de desplazamientos sumadores módulo dos (OR exclusivo) Definidos por n , k, K y un diagrama de conexiones, k/n se define como el “rate” o razón de codificación.*

Códigos de Convolución Dpto. de Telemática ISPJAE Códigos de Convolución k = número de bits que ingresan al registro para definir el juego de “n” salidas. n = número de bits de salida por cada “k” dígitos de entrada. K = número de conjuntos de “k” bits de entrada que interviene en la determinación de las “n” salidas.*

Codificador convolucional Dpto. de Telemática ISPJAE Codificador convolucional 1 2 3 • • • kK m1, m2,.. , secuencia de entrada k dígitos de información n sumadores modulo 2 + + 1 2 • • • n +    Secuencia codificada U= U1 , U2 , ..... Un*

Codificador convolucional Dpto. de Telemática ISPJAE Codificador convolucional k = 1, K=3, n=2, rate = ½ + bits infor- macion entrada 1 0 0 o U1 salida codificada U2 o 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 + contenido del registro palabra codificada U1 U 2 Secuencia entrada 1 0 0 Secuencia salida 1 1 1 0 1 1*

Codificador convolucional, Dpto. de Telemática ISPJAE Codificador convolucional, Vectores de Conexion + bits infor- macion entrada 1 0 0 U1 o salida codificada U2 o k = 1, K=3, rate = 1/2 + Los códigos de convolución quedan caracterizados por los vectores de conexiones, para este ejemplo: g1 = 1 1 1 = 78 (Para obtención de U1 participan las posiciones del registro 1, 2 y 3) g2 = 1 0 1 = 58 (Para obtención de U2 participan las posiciones del registro 1 y 3)*

Codificador convolucional, equivalentes a Polinomios Dpto. de Telemática ISPJAE Codificador convolucional, Vectores de Conexión equivalentes a Polinomios generadores + bits infor- macion entrada 1 0 0 U1 o U2 o Se numeran las celdas desde 0 hasta kK-1. Un polinomio por cada sumador o salida. + P1 = 1 + D + D2 P2 = 1 + D2 Término independiente =Celda del bit de información de entrada o celda 0 va al sumador. Dn = Celda n va al sumador. Polinomios generadores de este codificador

Codificador Convolucional Dpto. de Telemática ISPJAE Codificador Convolucional + o U1 U2 dígitos de información dígitos codificados Cada salida depende del dígito de información que llega y de los que ya están almacenados en el registro Los dígitos ya almacenados constituyen la memoria del codificador y definen un ESTADO Cada salida depende del dígito que llega y del ESTADO en que se encuentre el codificador Con K = 3, tendremos 2 dígitos anteriores, con 4 combinaciones diferentes posibles ==> 4 estados

Diagrama de Estados 11 palabra de salida U1U2 1 0 0 11 0 0 0 00 00 X X Dpto. de Telemática ISPJAE 11 palabra de salida U1U2 1 0 0 11 0 0 0 00 00 X X 00 11 01 10 llega un “1” llega un “0” a = 00 10 0 1 0 10 definen el estado b = 10 c = 01 01 1 1 0 01 d = 11 + U1 registro salida o 1 0 0 o U2 +

Dpto. de Telemática ISPJAE Diagrama de Estados Brinda toda la información del proceso de codificación El codificador tendrá tantos estados como combinaciones diferentes se puedan formar con los bits almacenados en la memoria del codificador. A partir de un estado, cada bit de información a la entrada define los bits de salida y el estado al que se pasa.

Árbol de Código 00 11 10 01 a b c d t3 1 00 11 10 01 t4 00 11 10 01 t2 Dpto. de Telemática ISPJAE 00 11 10 01 a b c d t3 1 00 11 10 01 t4 Árbol de Código 00 11 10 01 t2 a b 1 00 11 1 a Sec. in = 1 Sec out= 11 Forma de representar todas las posibles salidas del codificador, conociendo sus características. Su dimensión crece exponencialmente con el número de bits de información. t1

Dpto. de Telemática ISPJAE Árbol de Código Es la representación sistemática de todas las posibles salidas de un codificador. Se representan los estados como puntos en el árbol. Las ramas terminales del árbol crecen en número de forma exponencial a medida que crece la secuencia de información. Otra representación mas conveniente es el diagrama de rejilla.

Diagrama de Rejilla t1 00 t2 00 t3 00 t4 00 t5 00 t6 a = 00 11 Dpto. de Telemática ISPJAE Diagrama de Rejilla • t1 00 t2 11 01 01 01 01 01 01 01 11 11 11 11 • 11 11 11 10 10 10 00 00 00 10 10 10 10 00 t3 00 t4 00 t5 00 t6 a = 00 b = 10 c = 01 d = 11 00 entrada de 0 entrada de 1 a = 00 11 11 00 Esquema en que cada punto define un instante de tiempo del codificador y un estado en particular. Se representan para cada instante todos los estados y se enlazan a través de las líneas que definen el tránsito de un estado a otro en dependencia del bit de información que llegue. Es una representación más compacta que el árbol del código y es repetitiva. En este diagrama de rejilla se ha etiquetado cada enlace con la salida del codificador en ese tránsito. b = 10 c = 01 10 01 01 d = 11

Distancia entre palabras Dpto. de Telemática ISPJAE Distancia entre palabras Para comprender el proceso de decodificación es preciso recordar el concepto de distancia entre dos secuencias. Distancia entre dos palabras: Cantidad de dígitos diferentes . Ejemplo: 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 0 0 distancia : d = 3

Proceso de Decodificación Dpto. de Telemática ISPJAE Proceso de Decodificación Seleccionar la secuencia de datos posibles a Tx. que tengan distancia mínima con respecto a la secuencia recibida. Así se corregirán los errores de transmisión Solución podría ser: Ver todas las salidas del árbol y seleccionar la de menor distancia ( Requiere gran esfuerzo computacional por gran número de salidas). El numero de secuencias posibles, (salidas del árbol), crece exponencialmente con la longitud de la secuencia de dígitos de información.

Árbol de Código Al recibir 00010000 00 11 10 01 a b c d 00 11 10 01 t4 Dpto. de Telemática ISPJAE Al recibir 00010000 00 11 10 01 a b c d 00 11 10 01 t4 Árbol de Código 00000000 00000011 00001110 00001101 00111011 00110100 00110101 00110110 11101100 11101111 11100010 11100001 11010111 11010100 11011001 11011010 distancia 1 Secuencia decodificada 0 0 0 0 8 bits codificados 00 11 10 01 a b c d 00 11 a 4 bits de inf. ==>24 secuencias posibles 1 a b t1 28 - 24 secuencias con error t2 t3

Decodificación Secuencial Dpto. de Telemática ISPJAE Decodificación Secuencial Decodificación Secuencial: Seguir el árbol e ir decodificando teniendo en cuenta el árbol y los bits codificados que se reciben. Ante un error en la decodificación crecería la diferencia entre lo que se recibe y las salidas del árbol, en esas condiciones se debe volver atrás en el árbol en busca de una trayectoria que de menores distancias con lo recibido

Decodificación Secuencial Dpto. de Telemática ISPJAE Decodificación Secuencial Fue de los primeros métodos de decodificación empleados pero para secuencias muy largas con errores de transmisión requiere de grandes esfuerzos computacionales y NO garantiza una decodificación óptima

Algoritmo de Viterbi Algoritmo de Viterbi: Dpto. de Telemática ISPJAE Algoritmo de Viterbi Algoritmo de Viterbi: Método óptimo que selecciona la salida más probable. Aplicable para códigos con K pequeña porque los esfuerzos computacionales crecen exponencialmente con K.

Fundamentos Algoritmo de Viterbi Dpto. de Telemática ISPJAE Fundamentos Algoritmo de Viterbi : La decodificación óptima se corresponde con la salida del árbol que tiene menor distancia con respecto a la secuencia recibida. Analizar todas las salidas del árbol y compararlas con la secuencia recibida implica grandes esfuerzos computacionales porque el número de salidas del árbol crece exponencialmente con el número de dígitos de información.

Fundamentos Algoritmo de Viterbi Dpto. de Telemática ISPJAE Fundamentos Algoritmo de Viterbi El árbol tiene carácter repetitivo y tras algunos pasos aparecen los estados duplicados . . . . .

salidas a partir de b son iguales Igual consideración Dpto. de Telemática ISPJAE 00 11 10 01 a b c d 00 11 10 01 00 11 10 01 a b c d salidas a partir de b 00 11 a se descarta la que tenga mayor distancia con la sec. recibida son iguales 1 a b Igual consideración para cada pareja de estados iguales en t4 reduce las salidas a analizar La idea básica consiste en cuando hay dos trayectorias diferentes que convergen en un estado común, como el estado b en el caso de la figura, es evidente que si buscamos la decodificación óptima y ésta pasa por b en t4, como lo que queda a la derecha en ambas salidas son iguales, se podrá descartar como candidata a óptima aquella trayectoria a la izquierda de b que tenga mayor distancia con respecto a la secuencia recibida. Igual se hace con cada estado y se quedan como candidatas a óptimas sólo las de menor distancia con respecto a la secuencia recibida, sin querer decir con esto que se ha decodificado bit alguno de información, sólo se han definido las trayectorias candidatas a óptimas, claro que cada candidata define una secuencia de bits de información determinada, Ej. La rama roja a b superior define la secuencia de información 001. t4

Fundamentos Algoritmo de Viterbi Dpto. de Telemática ISPJAE Fundamentos Algoritmo de Viterbi : No efectuar la decodificación de un dígito hasta tanto no tener recibidos los dígitos codificados que mantienen influencia del dígito de información en cuestión. Avanzar por el diagrama de rejilla hasta el punto en que tengamos dos entradas posibles a cada estado. Seleccionar la de menor distancia con respecto a la información recibida y declararla trayectoria superviviente, descartando la de mayor distancia.

Ejemplo Decodificación de Viterbi Dpto. de Telemática ISPJAE Ejemplo Decodificación de Viterbi Secuencia de Información m = 1 1 0 1 1 Transmitida U = 11 01 01 00 01 Recibida Z = 11 01 01 10 01 ERROR

Ejemplo Decodificación de Viterbi Dpto. de Telemática ISPJAE Ejemplo Decodificación de Viterbi Secuencia de Información m = 1 Recibida Z = 11 distancia 2 distancia 0 a = 2 b = 0 métrica de trayectoria 2 t1 00 t2 t1 t2 a=00 b=10 • a=00 b=10 11 Se construye a partir del diagrama de rejilla, un diagrama de rejilla que será etiquetado NO con la salida del codificador sino con la distancia que tiene la salida del codificador con la secuencia recibida en ese instante. En el ejemplo de la figura se recibe 11 y la rama de a hacia a se etiqueta con 2 porque de 11 que es la sec. Recibida a la salida del codificador (00) en igual tránsito hay una distancia de 2, mientras que en el tránsito de a a b , la salida del codificador coincide con la secuencia recibida, Con ese procedimiento se construye el diagrama de rejilla para el proceso de decodificación. Fíjense que el hecho de que haya una rama con distancia cero no quiere decir que se ejecute acción alguna de decodificación, porque es preciso esperar por todos los bits codificados en los que ese bit de información interviene. •

Ejemplo Decodificación de Viterbi Dpto. de Telemática ISPJAE Ejemplo Decodificación de Viterbi Secuencia de Información m = 1 1 Recibida Z = 11 01 d =1 d=2 d =0 t1 00 t2 00 t3 a=00 b=10 c=01 d=11 t1 2 t2 t3 • 1 2 a = 3 b = 3 c = 2 d = 0 a=00 b=10 c=01 d=11 11 11 • 10 • • 01 • • El procedimiento se continúa y se van obteniendo las distancias acumuladas de cada trayectoria en el diagrama de rejilla, representada en la figura por las .

Ejemplo Decodificación de Viterbi Dpto. de Telemática ISPJAE Ejemplo Decodificación de Viterbi Secuencia de Información m = 1 1 0 Recibida Z = 11 01 01 t1 2 t2 1 t3 1 t4 a=3 a = 00 b = 10 c = 01 d = 11 1 1 1 • b=3 1 c=0 d=2 2 2 • • Ya a la altura del instante t4 se aprecian que concurren en cada estado dos trayectorias candidatas de las cuales se descarta aquella cuya distancia acumulada sea mayor, dejando como supervivientes aquellas con distancias acumuladas menores. Por ejemplo; Al estado b concurre una trayectoria candidata con  de 4 y otra de 3, descarto la de 4 y me quedo con la de 3 que aparece resaltda en negrita. Sólo ahora vemos que TODAS las trayectorias supervivientes, una de las cuales ha de ser la óptima, tienen como rama común la de t1 a t2 pasando del estado a al b. Luego entonces la óptima tiene que tener a esa rama como parte de su formación y sólo en este momento se puede hacer la decodificación del primer dígito de información como “1”. • • 2

todas las ramas supervivientes Dpto. de Telemática ISPJAE Ejemplo Decodificación de Viterbi Secuencia de Información m = 1 1 0 Recibida Z = 11 01 01 t1 t2 t3 t4 • • a=3 b=3 c=0 d=2 a =00 b = 10 c = 01 d = 11 decodifica “1” 1 • 1 • 2 • • Sólo cuando todas las supervivientes tienen una rama común que necesariamente forma parte de la trayectoria óptima se realiza la decodificación, en este caso de un “1” • • 2 todas las ramas supervivientes contienen a esa rama

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • t1 2 t2 t1 2 t2 1 t3 a=00 b=10 Dpto. de Telemática ISPJAE métrica de trayectoria t1 2 t2 t1 2 t2 1 t3 a=00 b=10 a=00 b=10 c=01 d=11 a = 3 b = 3 c = 2 d = 0 a = 2 1 • 2 b = 0 • • • • • Decodificación de Viterbi métrica de trayectoria t1 2 t2 1 t3 1 t4 1 1 1 2 t1 t2 t3 t4 a = 00 b = 10 c = 01 d = 11 a =00 b = 10 c = 01 d = 11 • • a=3 b=3 c=0 d=2 • 1 • • 1 2 • • • • • • 2 • •

Dpto. de Telemática ISPJAE Algoritmo de Viterbi Continuar definiendo en cada paso las trayectorias supervivientes. Decodificar un dígito de información cuando TODAS las trayectorias supervivientes tengan una rama común .

Resumen de Algoritmo de Viterbi Dpto. de Telemática ISPJAE Resumen de Algoritmo de Viterbi Constituye un método óptimo para la decodificación de códigos de convolución. Los esfuerzos computacionales crecen exponencialmente con K, por lo que es empleado para códigos con K pequeña.

Resumen de Algoritmo de Viterbi Dpto. de Telemática ISPJAE Resumen de Algoritmo de Viterbi Se basa en establecer como trayectorias del diagrama de rejilla supervivientes a aquellas que representan las trayectorias de menor distancia con respecto a la secuencia recibida. Se decodifica un bit de información cuando todas las trayectorias supervivientes tienen una rama común.

Ganancia de Codificación Dpto. de Telemática ISPJAE Ganancia de Codificación La efectividad de la codificación se caracteriza mediante el concepto de Ganancia de Codificación El empleo de técnicas de corrección de códigos de convolución con algoritmos de Viterbi permite alcanzar, con el empleo de menor S/N, igual Pe que el sistema de detección Optimo.

Ganancia de Codificación Dpto. de Telemática ISPJAE Ganancia de Codificación Ganancia de codificación es la disminución permitida en S/N expresada en dB, para con el empleo de códigos correctores, alcanzar igual Pe que la obtenida con un sistema óptimo sin códigos correctores. GC = 10[ log (S/N)sin codificación – log (S/N)con codificación] para igual probabilidad de errores empleando detectores óptimos. Lo que equivale a decir que codificando con convolución para corregir errores tengo : Igual probabilidad de errores con menor potencia de señal y/o con mayor ruido. Menor probabilidad de error manteniendo igual la potencia de señal y el ruido.

Ganancia de Codificación Dpto. de Telemática ISPJAE Ganancia de Codificación  Pe = f ( ) Eb No Eb = Energía para la representación de un bit. No = Potencia de ruido a la salida. es proporcional a la relación señal a ruido en la señal (S/N) recibida. Eb No :

Ganancias de codificación Dpto. de Telemática ISPJAE Ganancias de codificación valores típicos razón de codificación, r = 1/2 K GC dB 3 3.97 4 4.76 5 5.43

Ganancias de codificación,valores típicos Dpto. de Telemática ISPJAE Ganancias de codificación,valores típicos razón de codificación, r = 1/3 K GC dB 3 4.25 4 5.23 5 6.02 En satélites por ej. reducción de la potencia radiada por el satélite lo hace mas ligero y barato.

Esquemas con Errores catastróficos Dpto. de Telemática ISPJAE Esquemas con Errores catastróficos Esquemas en que un error generan múltiples errores en la decodificación, aún cuando la recepción siga siendo correcta. Codificadores que contengan estados en que ante una entrada diferente de cero, de salida entera de ceros y se quede en ese estado. Los polinomios generadores tienen factores comunes.

Polinomios Generadores P1 = D + 1 P2 = D + D2 Dpto. de Telemática ISPJAE Encoder subject to catastrophic error propagation (a) encoder (b) state diagram Figure 13.3-9 Polinomios Generadores P1 = D + 1 P2 = D + D2 (D+1) es Factor común de los Polinomios generadores

Algunos estructuras de códigos de convolucion empleados Dpto. de Telemática ISPJAE Algunos estructuras de códigos de convolucion empleados r K Vectores de conexión 1/2 3 111 P1=1 + D + D2 101 P2= 1+ D2 1/2 4 1111 P1 = 1+D+D2+D3 1011 P2 = 1+D2+D3 1/2 7 1001111 1101101 1/3 3 111 111 101

Códigos de convolución en Servicio IDR de Dpto. de Telemática ISPJAE Códigos de convolución en Servicio IDR de INTELSAT r = 1/2, K = 7 g1 = 1 0 1 1 0 1 1 = 1338 g2 = 1 1 1 1 0 0 1= 1718 + U1 U2 +

Dpto. de Telemática ISPJAE Conclusiones Las técnicas FEC tienen aplicación en condiciones en que no resultan aplicables o convenientes las ARQ: Tiempos de propagación muy grandes Circuitos Simplex Un transmisor y muchos receptores

Dpto. de Telemática ISPJAE Conclusiones Los Códigos de Convolución se destacan por su fácil implementación y óptima decodificación, alcanzable mediante el algoritmo de Viterbi para K pequeña. Los códigos se caracterizan por su Ganancia de Codificación. Existen tablas con las estructuras recomendables.