UNIVERSIDAD DE LA COSTA CUC 2014 II CAPITULO 2: PROBABILIDAD BÁSICA Msc: CARLOS CAMACHO

 Comprender conceptos y procedimientos de la estadística básica y los aplica para interpretar y transmitir diversas informaciones del entorno.  La finalidad de este capítulo está enmarcado en primer lugar, se exponen los principales conceptos utilizados en la probabilidad; en segundo lugar se definirán las diferentes técnicas de conteo. Un tercer componente estará dedicadas definiciones y los axiomas de la probabilidad y por último se hará un breve resumen de los teoremas de la multiplicación y problemas propuestos. OBJETIVO:

 La probabilidad se asocia con la aleatoriedad y con la incertidumbre. En cualquier problema que genera alguno o varios resultados posibles, la probabilidad proporciona métodos para cuantificar las oportunidades o probabilidades asociadas con varios resultados posibles. El estudio de la probabilidad se remonta a más de 350 años y básicamente su origen está relacionado con los juegos de azar. Los juegos de azar incluyen acciones tales como lanzar dados, lanzar una moneda, girar la rueda de una ruleta, en las cuales el resultado de una prueba es incierto. Conceptos asociados a la probabilidad

 Con la probabilidad se pretende, lograr una comprensión más precisa del contexto de su aplicación, de cómo se mide y de qué manera se utiliza la probabilidad para hacer inferencias.  Para el desarrollo de esta unidad se hace necesario aclarar los siguientes conceptos: Experimentos, Espacio muestral, Eventos, Operaciones entre eventos, técnicas de conteo para determinar el espacio muestral, axiomas de la probabilidad, definición de probabilidad, teoremas de la probabilidad y resolución de problemas. Conceptos asociados a la probabilidad

 Un experimento es un conjunto de acciones o actividades planeadas que se realizan bajo ciertas condiciones para obtener unos resultados o puntuaciones muéstrales. Los experimentos se realizan con el fin de obtener información de la población estudiada.  Un experimento es cualquier ejercicio o asunto que genera informaciones.  La estadística identifica dos tipos de experimento, a saber: experimentos determinísticos y experimentos aleatorios. Experimento

 Un experimento es determinístico, cuando después de realizarse muchas veces bajo las mismas condiciones genera siempre los mismos resultados. Por ejemplo, la fórmula utilizada por un empresario para producir un producto. Cada vez que combina los ingredientes o componentes necesarios bajo las mismas condiciones y cantidades termina produciendo el producto deseado. Experimento determinísticos

 Un experimento es aleatorio o estocástico, es aquel que al realizarse muchas veces bajo las mismas condiciones no genera siempre los mismos resultados o puntuaciones muéstrales. Los experimentos aleatorios o estocásticos, son por lo regular los que la estadística emplea para explicar aquellos fenómenos donde impera la incertidumbre. Por ejemplo, cuando se realiza el embazado de los productos en un recipiente o botella, éste proceso que realiza la máquina se ve afectado por factores de ruido que hacen que la cantidad del producto en el recipiente o botella no tenga la misma cantidad exacta entre ellas, dándose el fenómeno de la aleatoriedad. Experimento aleatorio o estocástico

 El espacio muestral se define como el conjunto de todas las posibilidades que podrían resultar cuando se realiza el experimento aleatorio o estocástico. Espacio muestral, es el conjunto de todos los posibles resultados de ese experimento.  Cuando encontramos todos los resultados posibles se habrá identificado el espacio muestral del experimento. En el espacio muestral se enumeran todos los posibles resultados, pero no quiere decir que todos estos posibles resultados van ocurrir al mismo tiempo. Es un simple enunciado u omega.  El espacio muestral se puede asimilar con el diagrama de venn o como el universo de lo posible y se señala con la letra griega omega ()  Omega () es equivalente a espacio muestral o universo de todas las posibilidades del experimento ESPACIO MUESTRAL

 Del espacio muestral omega (), se desprenden unas relaciones que al clasificarlas se denominan eventos.  Un evento es un subconjunto o parte del espacio muestral omega ().  Los eventos generalmente se simbolizan con la letra mayúscula: (E)  Cuando el evento tiene un solo elemento, se denomina evento unitario o elemental. Eventos

 Es cuando el evento tiene dos o más elementos se denominan eventos compuestos.  Operaciones entre eventos:  Para representar las relaciones y operaciones entre eventos, es necesario disponer para ciertos casos de representaciones gráficas que ayuden a analizar las operaciones lógicas correspondientes. Este procedimiento consiste en dibujar diagramas de venn, para desarrollar las operaciones de complementación, intersección, unión, diferencias entre otros. Evento compuesto

 Las operaciones entre eventos se pueden corresponder a través del diagrama de venn que permite visualizar todas las posibilidades de relaciones y operaciones entre ellos. En la siguiente sección se ilustrará la utilidad de los diagramas de venn para desarrollar los conceptos de unión, intersección, complementación, entre otras. Diagrama de Venn

 Sean A y B dos subconjuntos cuales quiera del conjunto universal. La unión de los conjuntos A y B es el conjunto de los elementos de que pertenecen por lo menos a uno de los conjuntos A ó B.  Por comprensión:  AUB = {x/xA ó xB} = {x/xA ó xB}.  Interpretación: esta expresión se lee, “A unión B es el conjunto de elementos x que pertenecen a A, a B, o a ambos”.  U: significa unión  Ó: significa tanto A como B, es una conjunción lógica de inclusión que debe tomarse admitiendo que un elemento puede pertenecer sólo a A, sólo a B, o a la intersección de A y B. Unión

 Sea ={Las letras del abecedario} y sea  A={Las vocales del abecedario} y B= {a,b,c},  Entonces AUB = {a,b,c,e,i,o,u}  El elemento a que forma parte de la intersección de A y B es un elemento de la unión y solamente se indica una sola vez. Ejemplo1:

 De la definición de unión se define que es conmutativa:  AUB = BUA  Intersección de conjuntos  La Intersección se simboliza por: ∩  Sea A y B dos conjuntos que pertenecen a omega, entonces la intersección de los conjuntos de A y B, son los elementos de que son miembros tanto de A como dé B. Son los elementos comunes a ambos conjuntos.  Por comprensión:  A ∩ B = {x ∈ /x ∈ A y x ∈ B} ={x/x ∈ A, x ∈ B}  Significa que “A intersección B, es el conjunto de elementos de omega que pertenecen a “A y B” y: significa intersección Propiedades de la unión (U)

 Sea = {a,b,c,d,e,f,g,h} y sea A={a,c,d,f}  Y sea B = {c,d,e,g} entonces  A ∩ B = {c, d}  Propiedades de la intersección  1.- De la definición de intersección se deduce la propiedad conmutativa:  A ∩ B = B ∩ A  2.- La intersección de conjuntos da lugar a dos posibilidades distintas  a.- Que el conjunto intersección no es vacío, que al menos hay, un elemento común a ambos conjuntos A y B.  A ∩ B ≠ ∅  b.- Los conjuntos A y B no tienen elementos comunes entonces son disjuntos o mutuamente excluyentes  A ∩ B = ∅ Ejemplo2:

 3.- Para cualquier subconjunto A de omega, se cumple que  A ∩ ∅ = ∅  A ∩ ∅ = {x/x ∈ A y x ∈∅ },  Como el conjunto vacío ∅ carece de elementos, no puede existir elementos comunes a ∅ y a otro conjunto A, no importando cuál sea ese conjunto A. por lo tanto la intersección resultante es vacío. Propiedades de la intersección

 4.- para cualquier subconjunto A del conjunto universal se cumple que  A ∩ Ω = A  Por definición de intersección de conjuntos  A ∩ Ω = {x/x ∈ A y x ∈ Ω}, (1)  Por definición de subconjunto, todo elemento que pertenece a A pertenece a omega  AΩ xA xΩ, Propiedades de la intersección

 Entonces la expresión (1) se reduce:  A ∩ Ω = {x/x ∈ A y x ∈ Ω} = { x/x ∈ A} = A.  5.- para cualquier conjunto A se cumple que  A ∩ A = A  Entonces por definición de intersección  A ∩ A ={x/x ∈ A y x ∈ A} = { x/x ∈ A} = A.  Donde A=A, los elementos comunes a ambos conjuntos son exactamente los mismos. Propiedades de la intersección

 6.- para cualquier conjunto A se cumple que  A ∩ A' = ∅  De otra manera se cumple que  A ∩ A ={x/x ∈ A y x ∈ A'}  7.- para equis conjuntos se cumple que  A ∩ B ∩ C ={x/x ∈ A,x ∈ B, x ∈ C}  8.- La operación de intersección es asociativa  A ∩ B ∩ C=A ∩ (B ∩ C)=(A ∩ B) ∩ C Propiedades de la intersección

 Definición: sea B un evento del conjunto universal omega (), entonces el complemento de B con respecto a omega se define como el conjunto de elementos de omega que no pertenece a B.  De otra manera por comprensión  B’ ={x ∈ /x ∋ B} = {x/x ∈ ^x ∋ B }  Que significa: B’ complemento es el conjunto de los elementos de x que pertenecen a, pero no pertenecen a B  El complemento generalmente se simboliza por: B’, B^c, B ̅. Complemento de un conjunto

 Los conjuntos se expresan con letras mayúsculas.  La relación de complementación se puede expresar mediante el diagrama de Venn Complemento de un conjunto

 Sea omega el conjunto formado por ={1,2,3,4,5,6} y sea A={1,3,5}, B={2,4,6}  C={1,2,3}  Determinar: A’, B’, C’, ’, ∅ '  A’ = {2,4,6} B’ = {1,3,5} C’ = {4,5,6} ∅ '= {} ’ = { ∅ }  El complemento de vacío ( ∅ '), es igual a omega ().  El complemento de omega es igual vacío  El complemento de B complemento, se simboliza (B’)’,  (B’)’ = B Ejemplo 2

 El complemento del conjunto B está formado por omega que no pertenecen a B. de igual manera, el complemento de B complemento (B’)’ está constituido por aquellos elementos de omega que no pertenecen a B’. O sea, los que están dentro de B. Conclusión

 Sea omega ={0,1,2,3} y sea B = {0,1}  Determinar B’ y (B’)’:  B’ = {2,3} (B’)’ = {0,1}  Conclusión el complemento de B complemento (B’)’ es igual a B Ejemplo3:

 Dentro de las técnicas de conteo las más importante son:  el principio fundamental del conteo,  conteo a través del diagrama en árbol,  el principio de la adición,  permutaciones y  las combinaciones Técnicas de Conteo

 Las técnicas del conteo, es una operación o acción sobre una decisión, que puede tomarse de A formas diferentes y si después de que ha sido ejecutada de una de esas formas, una segunda acción puede tomarse de B formas diferentes, una tercera acción puede ejecutarse de C formas diferentes y así sucesivamente hasta la r-ésimo acción que puede ejecutarse de Z formas diferentes. Lo que indica que el número total de acciones diferentes en que pueden efectuarse estas r acciones, viene siendo igual a:  A*B*C*……………..*Z Principio fundamental del conteo

 Dentro de las técnicas de conteo ocurren un a series de reglas para realizar la enumeración de los elementos del espacio muestral omega (). Para la enumeración de las puntuaciones o elementos de se requiere diferenciar los siguientes casos: cuando los arreglos se realizan con reemplazamiento y con orden, sin reemplazamiento y con orden, sin reemplazamiento y sin orden y por último con reemplazamiento y sin orden. Estos arreglos se desarrollaran en su momento en esta sección de técnicas del conteo. Principio fundamental del conteo

 Mario y Juan querían saber de cuantas maneras se puede formar la palabra:  SER.  El conteo hasta agotar las posibilidades, los escribieron en su cuaderno: SER, RES, RSE, ESR, SER, ERS. Ejemplo 4

 El conteo con reemplazamiento y con orden se da cuando se tiene en cuenta que los elementos que componen el espacio muestral pueden volver a participar dentro de la jugada y se pueden formar duplas, ternas repetidas hasta agotar todas las posibilidades.  Formación de subconjuntos bajo la condición X = Y Sucesos con reemplazamiento y con orden

 Sea el conjunto S*S, estamos interesados en el subconjunto del espacio muestral formados por las parejas ordenadas y con reemplazamiento que contiene elementos distintos.  Sea S = {a, b, c, d, e}, de cuantas maneras distintas se pueden seleccionar las letras a, b, c, d y e del conjunto S tomadas de a dos con reemplazamiento y con orden.   Por comprensión:  Sea R = {(x,y)/xS, y yS, x = y}  Los subconjuntos de pares ordenados se pueden visualizar de la siguiente manera por extensión: Ejemplo5

 R = {(aa), (ab), (ac), (ad), (ae), (ba), (bb), (bc), (bd), (be), (ca), (cb), (cc), (cd), (ce), (da), (db), (dc), (dd) (de) (ea) (eb), (ec), (ed), (ee)}  En este conjunto hay pares ordenados con elementos repetidos lo que indica que (x,y) pertenecen al conjunto R bajo la condición de que x = y.  Esto indica que:  n(R)= 5 o sea el conjunto R tiene cinco elementos distintos, bajo la condición de que x = y, Por extensión:

 a.-) El primer elemento de cada par ordenado se puede elegir de cinco maneras distintas  b.-) que al seleccionar uno de ellos se puede utilizar nuevamente, es decir que puede repetir, quedan cinco elementos para elegir el segundo componente de la pareja ordenada de dos en dos.  Conclusión: los dos lugares que conforman la parejas ordenadas se pueden conformar de: 5*5 = 25 maneras como quedó registrado en el subconjunto R explicado por extensión saliendo 25 parejas de la siguiente manera.  Cinco repetidas y 20 sin repetición que explican los sucesos con reemplazamiento y con orden.  La fórmula algebraica que explica los sucesos con reemplazamiento y con repetición para el ejemplo 2111 es: .n1*n2 = 5*5 = 25 Entonces:

 Para escoger dos cargos en una Institución, se presentan 3 candidatos para Personero 5 para secretario.  Los dos cargos se pueden llenar de la siguiente manera: .n1 * n2 =3*5 = 15 maneras de llenar esas dos vacantes. Ejemplo 6

 Se realiza el siguiente experimento aleatorio. Se lanzan dos dados una vez. Verificar este ejemplo por comprensión y por extensión.  Sea A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, el número de aristas que posee un dado del conjunto S tomadas de a dos con reemplazamiento y con orden.  Por comprensión:  Sea R = {(x,y)/xS, y yS, x = y}  Los subconjuntos de pares ordenados se pueden visualizar de la siguiente manera por extensión:  Por extensión:  Si un suceso puede ocurrir de n1 maneras, y si cuando éste ha ocurrido otro suceso puede ocurrir de n2 maneras, entonces el número de maneras en que ambos pueden ocurrir el orden especifico de n1*n2. Ejemplo 7

 El símbolo específico para denotar el factorial es !  La factorial de n, denotada por n!, se define como  N! = n(n - 1)(n – 2)…1  Así, 5! = = 120, y  3!2!= ( ) (2. 1)= 12  Conviene definir 0! = 1. FACTORIAL DE UN NÙMERO

 Los arreglos en los cuales nos interesa el orden, reciben el nombre de permutaciones. Es un arreglo ordenado de n objetos.  PERMUTACIONES  Una permutación de n objetos tomados de una elección ordenada viene dada por:  NPn = N(N – 1) (n – 2)… (N – N + 1)= N!/(N-n)!  En particular, el número de permutaciones de n objetos tomados de n en n es  (_n^n)p=n(n-1)(n-2)…1=n! Sucesos sin reemplazamiento y con orden

 El número de permutaciones que se pueden dar de las letras a, b y c tomadas de dos en dos es 3p2 = 3. 2 = 6. Son ab, ba, ac,ca, bc y cb.  El número de permutaciones de n objetos, de los que n1 son iguales, n2 son iguales,… es n!/(n_1 !n_2 !…) donde n=n_1+n_2+ ⋯ EJEMPLO 8

 El número de permutaciones de las letras de la palabra “statistics” es  10!/3!3!1!2!1!=  Porque hay 3 eses, 3 tes, 1 a, 2 ies y 1 c. EJEMPLO 9

 ¿De cuantas maneras se puede sentar 10 personas en un banco si hay 4 sitios disponibles?  Solución  El primer sitio se puede ocupar de 10 formas, y una vez ocupado, el segundo se puede ocupar de 6 maneras, el tercero de 8 y el cuarto de 7. Por lo tanto,  Número de colocaciones de 10 personas tomadas de 4 en 4= = 5040  En general  Número de colocaciones de n objeto distintos de r en r = n(n – 1 )…(n – r + 1)  Esto se llama el número de permutaciones de n objeto distintos tomados de n en n y se denota por npr, P(n, r ) o Pn.r. Nótese que cuando r=n, npn= n!,  Como en el problema Ejemplo 10

 Cinco fichas rojas, 2 blancas y 3 azules se colocan en filas. Las de un color no son distinguibles entre si. ¿Cuántas colocaciones distintas son posibles?  Solución  Sea P el número de colocaciones. Multiplicando P por el número de colocaciones de: (a) las 5 rojas entre si, (b) las 2 blancas entre si y (c) las 3 azules entre si ( o sea, multiplicando por P es 5!2!3!), obtendremos el número de colocaciones de 10 fichas distinguibles ( o sea 10!). Luego  (5!2!3!)P= 10! Y P=10!/5!2!3!  En general, el número de colocaciones diferentes de n objetos, de los que n1 son iguales, n2 son iguales,… nk son iguales, es  n!/(n_1! n_2 !…n_k !)  Donde n1 + n2 + … + nk = n. Ejemplo 12

Sucesos sin reemplazamiento y sin orden

Formula: Combinación

ejemplo13

Ejercicio de la sección

Axiomas de la probabilidad

Otras propiedades

Definición de Probabilidad

Ejemplo 14

Definición de probabilidad como la frecuencia relativa

SUCESOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES

Ejemplo17

Definición de probabilidad condicional

 Cierta fábrica de camisas produce dos líneas para adquirir camisas en dos colores. La producción en sus diferentes combinaciones se presenta en la siguiente tabla Ejemplo18 Tabla 2 Colores NR Tipo de camisas A37 B28 N: Negro R: Rojo

Determinar:

Teorema de la multiplicación para dos eventos

Ejemplo 20

Teorema de la multiplicación para n – eventos

Teorema de la multiplicación total

 La caja I contiene 4 bolas rojas, 3 azules y 2 blancas, la caja II contiene 3 bolas rojas, 4 azules y 3 blancas, la Caja III contiene 5 bolas rojas, 2 azules y 1 blanca, la caja IV contiene 6 bolas rojas, 5 azules y 4 blanca; la caja V contiene 1 bola rojas, 2 azules y 3 blanca; en tanto la caja VI contiene 6 bolas rojas 7 azules y 1 blanca. Se lanza un dado en buen estado, de tal manera que si cae 1 se saca una bola de la caja I, si cae 2 se saca una bola roja de la caja II y así sucesivamente. Determinar la probabilidad de extraer una bola azul. Ejemplo 21

Solución

Teorema de Bayes

Ejemplo22

Eventos independientes

Ejemplo 24

 1.- En cierto colegio hay 650 estudiantes de los cuales 300 hombres y 210 de ellos practican deportes. 350 son mujeres y trescientos de ellas también practican un deporte.  a.- determina la probabilidad de Mujer  b.- Determina la probabilidad de mujer y practica un deporte  c.- Determina la probabilidad de que al extraer un individuo al azar sea mujer dado que practica algún deporte.   2.- El periódico de un colegio pública dentro su estructura tres secciones: una literatura (L); Deportes (D) y Arte (A). Sí los hábitos de lectura de un estudiante con respecto a estas secciones es: Problemas propuestos Lee regularmente LDAL∩DL∩AD∩AL∩D∩A Probabilidad 0,200,170,250,100,090,110,08

Problemas propuestos

 a.- Determina la probabilidad de qué un estudiantes escogido al azar haya comprado un uniforme de la marca I y que presente un pequeño defecto?  b.- ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante seleccionado al azar haya comprado un uniforme y presente un pequeño defecto?  c.- Sí un estudiante regresa un uniforme por detectar un pequeño defecto ¿Cuál es la probabilidad de que sea de la marca I? ¿Cuál es la probabilidad de que sea de la marca II? ¿Cuál es la probabilidad de que sea de la marca III? Problemas propuestos