INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS DE DATOS CATEGÓRICOS

Temas Carácterísticas de la distribución Chi-cuadrada Prueba de bondad de ajustes Prueba de homogeneidad de proporciones. Prueba de independencia de dos variables.

Chi-cuadrado Los estadísticos Z (normal) y los t (t-student) permiten hacer pruebas de hipotesis que involucran promedios y porcentajes, el estadístico chi-cuadrado sirve para hacer pruebas de hipotesis en distribuciones de frecuencias. Chi-cuadrado permite determinar la asociación entre dos variables, la prueba es de tres tipos: De frecuencias (de homogeneidad) De independencia (respecto al total) De bondad de ajuste (ajuste a una distribución o frecuencias) Sin emabargo, la hipotesis nula es la misma, con diferentes impicaciones. Ho: Las frecuencias son iguales (Ho: Fr1-Fr2=0) H1: Las frecuencias son diferentes (H1: Fr1-Fr2≠0)

Chi-cuadrado Proporciona una prueba para contrastar frecuencias observadas con las frecuencias esperadas bajo una cierta hipotesis, en caso de haber una base científica que permita formular esa hipotesis nula. Se debe calcular el χ 2 cal, para hacer la prueba de hipotesis Χ 2 cal =Σ(O j -E j ) 2 /E j Donde: O j son los valores observados y E j los esperados bajo hipotesis. Un ejemplo de su uso son las segregaciones Mendelianas

Chi-cuadrado Puede usarse hasta con datos medibles en una escala nominal. Un estadístico tiene una distribución chi-cuadrado con k-1 grados de libertad, si n es suficientemente grande (frecuencia absoluta mínimo de 5). Los pasos en el análisis estadístico son los siguientes: 1. Plantear las hipotesis que sometera a prueba (Y el α) 2. Calcular las frecuencias esperadas 3. Calcular el estadístico de prueba X 2 cal 4. Comparar con el valor tabular y tomar la decisión. Si X 2 cal >X 2 tab, entonces rechazo Ho, en caso contrario se dice que no hay evidencia para rechazar Ho (Acepto Ho).

Prueba chi-cuadrado

Ejemplo (Bondad de ajuste) Un investigador sospecha que el color de un insecto sin reportar se comporta como una carácter de dominancia incompleta, por lo que obtuvo 50 animales diferentes mediante cruces (Gris X Gris) y encontró 10 negros, 28 gris y 12 blanco, ¿estos se comportan como la herencia asociada a dominancia incompleta? 1. Ho: Las frecuancias son iguales, por tanto el caracter se ajusta a las frecuencias de dominancia incompleta. H1: Las frecuancias son diferentes (No dominancia incompleta). α=0.05 (nivel de significancia) 2. Observado= 10 negros, 28 gris y 12 blanco Esperado= 50(1/4) negros, 50(1/2) gris y 50(1/4) blanco  12,5 negro, 25 gris y 12,5 blanco

Continuación ejercicio 3. Χ 2 cal =Σ(O j -E j ) 2 /E j Χ 2 cal =(10-12,5) 2 /12,5+(28-25) 2 /25+(12-12,5) 2 /12,5 = 0,5+0,36+0,02= Si busco en la tabla de chi-cuadrado, Χ 2 tab =X 2 (0.05,2) =5,99 Defino los grados de libertad, como gl=k-1, Donde: k son los niveles, en este caso 3 (Negro, gris y blanco) Decisión: Como Χ 2 cal << Χ 2 tab, entonces no hay evidencia para rechazar Ho, por lo tanto parece ser que hay un comportamiento similar a la dominancia incompleta

La decisión X 2 (0.05,2) =5,99 X 2 tabular X 2 cal =0.88 Como el valor esta en la región de aceptación, entonces no tengo evidencias para rechazar Ho. (Aceptar)

Ejercicio Que pasaría si en el mismo ejercicio se aumenta la prueba a 500 y se obtienen las siguientes frecuencias? 120 negros 270 Gris 110 blanco ¿Voluntarios?

En Excel

Ejemplo (Prueba de homogeneidad) Permite probar si varias muestras de un mismo caracter provienen de la misma población Ejemplo: Si se quiere comprobar la fiabilidad de un software de acuerdo al distribuidor que lo suministra. Para esto se tomaron muestras de 10 software de cada uno de los 3 distribuidores, probando el número de defectuosos en cada lote para cada distribuidor. DefectuososCorrectos Distribuidor 11 (1,33)9 (8,67)10 Distribuidor 22 (1,33)8 (8,67)10 Distribuidor 31 (1,33)9 (8,67)10 Total42630

Solución 1. Ho: La fiabilidad entre los tres distribuidores es igual H1: La fiabilidad es diferente (Fd1≠Fd2≠Fd3) 2. Frecuencias esperadas Defectuosos=(4/30)*10=1.33 (En este caso igual para el distribuidor 1, 2 y 3, porque la muestra es igual entre ellos) Correctos= (26/30)*10= Calculando X 2 cal X 2 cal =(1-1.33) 2 /1.33+(2-1.33) 2 /1.33+(1-1.33) 2 /1.33+ ( ) 2 /8.67+(8-8.67) 2 /8.67+(9-8.67) 2 /8.67=0.578

4. Decisión Calculo gl con dos variables, sería: gl=(Nº niveles filas-1)*(Nº de niveles columnas-1)=2 X 2 tab =X 2 (0.05,2) =5.99 Teniendo en cuenta que: X 2 cal << X 2 tab, acepto Ho X 2 tab =5,99 Es decir, que las muestras son homogeneas, osea, que no hay pruebas para decir que un distribuidor es mejor que otro

Ejemplo (prueba de independencia) Permite probar si 2 carácterísticas cualitativas están relacionadas entre sí (Ejemplo: el color de los ojos está relacionado con el color del cabello) Ejemplo: Un investigador quiere evaluar la asociación entre fumar y la adicción a la bebida. Por este motivo toma una muestra de individuos FumadorAlcohólicoNo alcohólico Total SI55055 NO26870 TOTAL

Solución 1. Defino las hipotesis y alfa=0.05 Ho: Hay independencia entre fumar y ser alcohólico H1: No hay independencia (Ft≠Fr1≠Fr2) 2. Frecuencias esperadas 3. Calculando X 2 cal = (5-3.08) 2 /3.08+(2-3.92) 2 /3.92+( ) 2 /51.92+( ) 2 /66.08 = 2,26 Fumad or AlcohólicoNo alcohólicoTotal SI(55/125)*7=3.08(55/125)*118= NO(70/125)*7=3.92(70/125)*118= TOTAL

Decisión Calculo gl, que sería: gl=(2-1)*(2-1)=1 X 2 tab =X 2 (0.05,1) =3.84 Teniendo en cuenta que: X 2 cal < X 2 tab, acepto Ho X 2 tab = 3.84 Es decir, que no hay evidencia para decir que hay una asociación entre fumar y ser alcohólico (Son independientes).

Resumen