Formulas integrales De Cauchy

Más sobre integración en contornos cerrados... Podemos usar el teorema de Cauchy G para integrar funciones en contornos cerrados siempre que éstas sean: (a) analíticas, o (b) analíticas en ciertas regiones Por ejemplo, f (z) es analítica en todo punto excepto en z = 0 1. We need to be able to take the derivative in complex analysis. We wouldn’t be able to do much otherwise. E.g. if we have displacement we can use calculus to obtain s and a, which are really useful/essential to know. 2. But the derivative in complex analysis is a bit trickier than the derivative in “ordinary” real calculus Pero, ¿qué sucede si el contorno encierra un punto singular?

EJEMPLO

Fórmula Integral de Cauchy Sea f (z) analítica en un dominio simplemente conexo D. Para cualquier punto z0 en D y cualquier contorno cerrado C en D que incluya z0: 1. We need to be able to take the derivative in complex analysis. We wouldn’t be able to do much otherwise. E.g. if we have displacement we can use calculus to obtain s and a, which are really useful/essential to know. 2. But the derivative in complex analysis is a bit trickier than the derivative in “ordinary” real calculus  

donde C es el círculo |z+i |=1 (2) donde C es el círculo |z+i |=1 En primer lugar, notemos que 1/(z2+1) presenta puntos singulares en z = i. El contorno C incluye uno de esos puntos, z = -i. Ese es nuestro punto z0 en la fórmula 1. We need to be able to take the derivative in complex analysis. We wouldn’t be able to do much otherwise. E.g. if we have displacement we can use calculus to obtain s and a, which are really useful/essential to know. 2. But the derivative in complex analysis is a bit trickier than the derivative in “ordinary” real calculus Necesitamos un término en la forma 1/(z- z0) así que rescribimos la integral como:

1. We need to be able to take the derivative in complex analysis 1. We need to be able to take the derivative in complex analysis. We wouldn’t be able to do much otherwise. E.g. if we have displacement we can use calculus to obtain s and a, which are really useful/essential to know. 2. But the derivative in complex analysis is a bit trickier than the derivative in “ordinary” real calculus

donde C es el círculo |z+i |=1 Tenemos que El contorno C incluye uno de esos puntos, z = +i. Ese es nuestro punto z0 en la fórmula donde 1. We need to be able to take the derivative in complex analysis. We wouldn’t be able to do much otherwise. E.g. if we have displacement we can use calculus to obtain s and a, which are really useful/essential to know. 2. But the derivative in complex analysis is a bit trickier than the derivative in “ordinary” real calculus Ahora

Y SI TENEMOS EXPONENTE en El denominador? Generalización de la fórmula integral de Cauchy Fórmula integral de Cauchy para derivadas    

En su forma mas operativa Generalización de la fórmula integral de Cauchy En su forma mas operativa

Otro Ejemplo Evaluar la integral donde C es el círculo |z |=2 sea sea f (z) es analítica en D, y C incluye z0

Ejemplo Evaluar la integral donde C es el círculo |z |=2 sea sea f (z) es analítica in D, y C incluye z0

Calcular donde C es la circunferencia con sentido positivo.

Si se tienen dos puntos singulares dentro de C, se usa Deformacion de contornos o fracciones parciales

Demostración no rigurosa de la fórmula integral de Cauchy: Por el principio de deformación de contornos: Cambio de variable:

Hemos tomado un r0 arbitrario. Hagámoslo infinitamente pequeño: ¿Qué no es riguroso aquí?

APLICACIONES

Preliminares Se dice que un dominio D es simplemente conexo si cualquier contorno cerrado simple C que se localice completamente en D puede encogerse hasta un punto sin tener que abandonar D. En otras palabras, en un dominio simplemente conexo, cualquier contorno cerrado simple C que se encuentre completamente en aquél encierra únicamente a puntos del dominio D. Expresado en forma alterna, un dominio simplemente conexo no tiene “orificios”. El plano complejo completo es un ejemplo de un dominio simplemente conexo. Un dominio que no es simplemente conexo se denomina dominio múltiplemente conexo; esto es, un dominio múltiplemente conexo tiene “orificios”, véase figura 10.8. Un dominio con un orificio se denomina doblemente conexo, un dominio con 2 orificios se denomina triplemente conexo, etc.

Se prueba Con Green Y cauchy Riem TEOREMA DE CAUCHY GOURSAT En 1883, el matemático francés Édouard Goursat demostró el teorema de Cauchy sin la hipótesis de continuidad de f‘. La versión modificada resultante del teorema de Cauchy se conoce como teorema de Cauchy-Goursat.   Se prueba Con Green Y cauchy Riem Como el interior de un contorno cerrado simple es un dominio simplemente conexo, el teorema de Cauchy-Goursat puede plantearse en forma poco más práctica: