Mclobely System Solver Ing. Marko Castillo Peña

INTRODUCCIÓN  Actualmente la administración está funcionando en un ambiente de negocios que está sometido a muchos más cambios, los ciclos de vida de los productos se hacen más cortos, además de la nueva  tecnología y la internacionalización creciente.

Introducción a la Programación Lineal  Una de las técnicas más difundidas de la (IO) es la programación lineal (PL).  El éxito de está herramienta se debe al hecho de que es muy flexible para describir un gran número de situaciones reales en áreas tales como:  Militar, industrial, agrícola, transporte, de la economía, de sistemas de salud, e incluso en las ciencias sociales y de la conducta.

Definiciones de PL “... es una técnica matemática para encontrar los mejores usos de la organización. El adjetivo lineal se usa para describir la relación en dos o más variables, una relación que es directa y precisamente proporcional. El término programación se refiere al uso de ciertas técnicas matemáticas para obtener la mejor solución posible a un problema que involucra recursos limitados.” Richad I. Levin

Método de Solución Grafica Plantear el Modelo Matemático Lectura del problema, análisis del problema, organización del a información, definir las variables, identificar el tipo de problema, definir la función objetivo, establecer las restricciones.

Ejemplo La heladería Donofrio, produce dos tipos de helados, uno de crema en leche y otros de chocolate. Cada uno de los productos requiere un proceso distinto, teniendo un costo e ingreso diferente. 6 minutos-hombre 4 minutos-hombre El helado de crema requiere de 6 minutos-hombre para su elaboración, mientras que el de chocolate necesita de 4 minutos-hombre minutos hombre diariamente Se dispone de 1200 minutos hombre diariamente para la fabricación de ambos tipos de helados. 300 unidades De igual manera se tiene una capacidad de almacenamiento de 300 unidades. 4 soles para los de Crema3 para los de Chocolate El ingreso por venta de los helados esta dado por 4 soles para los de Crema y 3 para los de Chocolate. El gerente de la heladería, desea saber los niveles de producción diarios de ambos helados, con el fin de maximizar los ingresos por ventas, sin exceder la capacidad de almacenamiento y el tiempo disponible para su fabricación.

SOLUCION Factor Considerado Nombre del Producto Recursos Disponibles Helados de Crema Helados de Chocolate Manos de obra requerida por producto(minutos-hombre) Ingresos por producto(S/.) 43 Capacidad de almacenamiento (Numero de helados) Definir las Variables: 1. Organizar la Información: X 1 :Cantidad de Helados de Crema a producir Diariamente X 2 :Cantidad de Helados de Chocolate a producir Diariamente

6X 1 + 4X 2 <=1200, que corresponde a la disponibilidad de mano de obra expresada en minutos-hombre X 1 + X 2 <=300, se refiere a la capacidad de almacenamiento. X 1, X 2 >=0, restricción de no negatividad. 4 Establecer las restricciones Identificar el tipo de problema Se trata de un problema de maximización de ingresos Definir la función Objetivo: Max Z= 4X 1 +3X 2

6. Modelo Matemático Completo Función Objetivo: Max Z = 4x 1 + 3x 2 Con sus restricciones: 6X 1 + 4X 2 <=1200, disponibilidad de mano de obra expresada en minutos-hombre X 1 + X 2 <=300, capacidad de almacenamiento. X 1, X 2 >=0, restricción de no negatividad. Primera restricción: 6X 1 + 4X 2 <=1200 6X 1 + 4X 2 <=1200, disponibilidad de mano de obra expresada en minutos-hombre

1 10 Evaluar el punto o los puntos Óptimos Max Z = 4x 1 + 3x 2 (Maximizar Ingresos) Max Z = 4(0) + 3(300)=S/ Obtener la Solucion Optima e Interpretarla Z = S/, 900  Son los Ingresos máximos que se pueden obtener. X 1 =0  No se Puede Producir Helados de Crema. X 2 =300  Se deben Producir 300 Helados de Chocolate Diariamente.

1 12 Comprobar la solución Verificación de la restricción 1 6X 1 + 4X 2 <= 1200 la disponibilidad de mano de obra expresada en minutos-hombre Reemplazando los valores de X 1 =0 y X 2 =300 se tiene que: 6(0) + 4(300) = (0) + 4(300) = 1200, por lo tanto se utiliza toda la mano de obra disponible(Minutos- hombre)para la fabricación de helados. Verificación de la restricción 2 X 1 + X 2 <=300, capacidad de almacenamiento Reemplazando los valores de X 1 =0 y X 2 =300 se tiene que: = = 300, por lo tanto esta restricción también se cumple. Esto significa que se utiliza toda la capacidad de almacenamiento disponible Toma de Decisiones Como se puede apreciar, se llego a la conclusión mediante la solución matemática, de que no se deben de producir helados de crema. De todas maneras, en el contexto real, se deberán evaluar las demás condiciones reales del entorno.

Ejercicio Un Inversionista desea invertir en acciones de la bolsa de valores, teniendo disponible para ello 50,000 dólares. Le Ofrecen 2 tipos de acciones: las de tipo A a 50 dólares. y las de tipo B a 80 dólares cada una. El máximo número de acciones que puede comprar es de 700 acciones. Conforme a las perspectivas del mercado el Inversionista aspira a vender dichas acciones en un año. La acciones de tipo A, las venderá a 60 dólares, mientras las que del tipo B a 92 dólares cada uno. El Inversionista dese saber cuantas acciones de cada tipo deberá comprar para maximizar su utilidad.

SOLUCION Valores por Acción Tipo de Acciones Capital disponibl e para Invertir Máximo Numero de acciones a comprar Acciones Tipo A Acciones Tipo B Precio de Compra ($) , Precio de Venta ($) 6092 Utilidad ($) Definir las Variables: 1. Organizar la Información: X 1 :Cantidad de Acciones de Tipo A X 2 :Cantidad de Acciones de Tipo B

Modelo Matemático Completo Función Objetivo: Max Z = 10x x 2 Con sus restricciones: 50X X 2 <=50,000, Capital disponible para invertir X 1 + X 2 <=700, cantidad máxima de acciones a comprar. X 1, X 2 >=0, restricción de no negatividad.

1 10 Encontrando el punto Óptimo En la primera restricción: 50x x 2 =50000,x 1 =( x 2 )/50,X 1 =(5000-8x 2 )/5 x 1 + x 2 =700, x 1 =700- x 2 Igualando las dos ecuaciones: (5000-8x 2 )/5= 700- x 2,  x 2 =5*(700- x 2 ), 5,000-8x 2 =3,500-5x 2,  -8x 2 + 5x 2 = 3,500-5,000, x 2 = x 2 = -1,500,  x 2 =500. Reemplazando este valor en cualquiera de las dos restricciones, se obtiene X 1, x 1 =200. Reemplazando este valor en cualquiera de las dos restricciones, se obtiene X 1, x 1 + x 2 =700,  x =700,  x 1 =200. Z = $ 8,000  Son los Utilidades máximos que se pueden obtener. X 1 =200  Se deben comprar 200 acciones del tipo A. X 2 =500  Se deben comprar 500 acciones del tipo B.

Ejercicio1 Muebles IKASA, produce dos tipos de sillas: Europeas y Americanas. Cada modelo de las sillas europeas requiere de 4 horas de preparación de la madera, 4 horas de lijado y 3 horas de barnizado; mientras que las sillas de estilo americano requiere de 6 horas de preparación de la madera, 3 de lijado y 4 horas de barnizado. La utilidad que se obtiene por la venta cada silla europea es de $20,000 y por la silla americana $15,000. Actualmente hay una disponibilidad de 72 horas diarias de preparación de manera, 48 de lijado y 60 horas para el barnizado de igual manera se debe tener en cuenta que por razones de mercado, no se venderán más de 9 sillas europeas al día. Cual es la producción que maximiza las utilidades?

Cada muñeco: Produce un beneficio neto de 3 Soles. Requiere 2 horas de trabajo de acabado. Requiere 1 hora de trabajo de carpintería. Cada tren: Produce un beneficio neto de 2 Soles. Requiere 1 hora de trabajo de acabado. Requiere 1 hora trabajo de carpintería. Ejercicio2 Mclobely S.R.L.., manufactura muñecos y trenes de madera. Cada semana Mclobely puede disponer de: Todo el material que necesite. Solamente 100 horas de acabado. Solamente 80 horas de carpintería. También: La demanda de trenes puede ser cualquiera (sin límite). La demanda de muñecos es como mucho 40. Mclobely quiere maximizar sus beneficios. ¿Cuántos muñecos y cuántos trenes debe fabricar?

Mclobely System