Temas de Geometría

Ángulos Ángulo es la abertura formada por dos semirrectas con un punto en común, llamado vértice. Dos ángulos son complementarios, si la suma de ellos es igual a un ángulo recto. ¿Qué ángulos son complementarios? Dos ángulos son suplementarios, si la suma de ellos dos es igual a 180°. Dos ángulos son adyacentes, si tienen un mismo vértice y un lado en común. Estos ángulos son suplementarios. Dos ángulos son opuestos por el vértice, si los lados de uno son las prolongaciones de los otros. Estos ángulos son iguales.

Rectas cortadas por una secante. Rectas paralelas cortadas por una secante. Algunos teoremas importantes: Dos rectas son paralelas, si nunca se cortan en un punto por más que se prolonguen. Además siempre están a la misma distancia. Teorema: En todo sistema de dos rectas paralelas cortadas por una secante se tiene lo siguiente: Los ángulos correspondientes son iguales. Los ángulos alternos son iguales. Los ángulos colaterales son suplementarios. Clasificación de los ángulos de acuerdo con la posición: Correspondientes, Alternos o Colaterales. La suma de los 3 ángulos internos en todo triángulo es igual a 180°. En todo triángulo cada ángulo exterior es igual a la suma de los dos ángulos interiores que no son adyacentes a él. La suma de los ángulos exteriores de todo triángulo es igual a 360° Correspondientes Alternos Colaterales 1 con 5 3 con 5 3 con 6 2 con 6 4 con 6 4 con 5 3 con 7 1 con 7 1 con 8 4 con 8 2 con 8 2 con 7 Alternos internos Colaterales internos Alternos externos Colaterales externos Teorema inverso: En un sistema de dos rectas cortadas por una secante, basta con que se cumpla que: 1) Un par de ángulos correspondientes sean iguales, o bien 2) Algún par de ángulos alternos sean iguales, o bien. 3) Algún par de ángulos colaterales sean suplementarios. Para que las dos rectas sean paralelas.

Congruencia de triángulos. Criterios de congruencia Congruencia de triángulos. Decimos que dos triángulos son congruentes si se cumple alguna de las siguientes condiciones: Veamos los siguientes triángulos y determinen si son congruentes o no: 1. Si tiene dos lados homólogos iguales e igual el ángulo comprendido. (Criterio LAL) Por congruentes vamos a entender como iguales, esto es, en forma y tamaño. 2. Si tiene dos ángulos iguales e igual lado comprendido. (Criterio ALA) 3. Si tiene tres lados iguales. Criterio ( LLL) Dos triángulos son congruentes si y solo si tienen sus lados congruentes y ángulos congruentes. Esto es: Para indicar que los triángulos anteriores son congruentes se denota por: ⊿𝑨𝑩𝑪 ≃⊿ 𝑨 𝟏 𝑩 𝟏 𝑪 𝟏

Triángulos semejantes. Criterios de semejanza. Decimos que dos triángulos son semejantes si y sólo si se cumple lo siguientes: Decimos que dos triángulos son semejantes si sus lados correspondientes son proporcionales y sus ángulos correspondientes son iguales. Dos triángulos son semejantes, si se cumple una de las siguientes condiciones: Dos lados correspondientes son proporcionales e igual el ángulo comprendido. (LAL) 𝐴𝐵 𝐴 1 𝐵 1 = 𝐵𝐶 𝐵 1 𝐶 1 𝑦 ∠B=∠ B 1 Si tienen dos ángulos iguales (A A): ∠B=∠ B 1 Y ∠C=∠ C 1 Para indicar que dos triángulos son semejantes se denotan como: ⊿𝑨𝑩𝑪 ~ ⊿ 𝑨 𝟏 𝑩 𝟏 𝑪 𝟏 Si tiene 3 lados proporcionales (LLL): 𝐴𝐵 𝐴 1 𝐵 1 = 𝐵𝐶 𝐵 1 𝐶 1 = 𝐴𝐶 𝐴 1 𝐶 1

Teorema de Tales Si tres o más paralelas son cortadas por cualesquiera dos transversales , entonces los respectivos segmentos que las paralelas determinan en éstas últimas rectas son proporcionales. Si consideramos las rectas 𝑙 1 , 𝑙 2 y 𝑙 3 paralelas . Las transversales son 𝑡 1 y 𝑡 2 que cortan a las paralelas en A, B, C y A´B´C´ respectivamente. El teorema de Tales nos garantiza que: 𝐴𝐵 𝐵𝐶 = 𝐴´𝐵´ 𝐵´𝐶´ O bien 𝐴𝐵 𝐴𝐶 = Á´𝐵´ 𝐴´𝐶

Triángulo Rectas y puntos notables en el triángulo. Bisectriz: Es la recta que pasa por el vértice y divide al ángulo interior en dos partes iguales. Mediatriz: Es la recta que pasa por el punto medio de un lado y es perpendicular a éste. Altura: Es una recta que va del vértice al lado opuesto o la prolongación de éste de manera perpendicular. Mediana: Es una recta que va de un vértice del triángulo al punto medio del lado opuesto a éste. La mediana tiene la propiedad de dividir al triángulo en dos regiones con igual área. Es un polígono de tres lados (a, b y c), con tres vértices ( A, B y C) y 3 ángulos Clasificación de los triángulos según sus lados: Equilátero (3 lados iguales), Isósceles ( dos lados iguales), Escaleno (3 lados diferentes). Al punto donde concurre ( intersecan) las 3 bisectrices se llama Incentro. Al punto donde concurre ( intersecan) las 3 mediatrices se llama circuncentro. Al punto donde concurre ( intersecan) las 3 medianas se llama baricentro. Cuando se trazan las 3 medianas el triángulo se divide en 6 regiones con igual área. Las medianas se intersecan en dos tercios de su longitud. El circuncentro es el centro de un círculo que pasa por los 3 vértices del triángulo ABC. Al círculo se le conoce como circuncírculo. La distancia del circuncentro a cualquiera de los vértices del triángulo es igual. El incentro es el centro de un círculo que está inscrito al triángulo ABC. Dicho círculo es tangente a los lados del triángulo. Al círculo se le conoce como incírculo. Clasificación de los triángulos según sus ángulos: Acutángulo (ángulos son agudos), Rectángulo (tiene un ángulo recto), Obtusángulo ( tiene un ángulo obtuso). Al punto donde concurre ( intersecan) las 3 alturas se llama Ortocentro.

Ángulos en la circunferencia Ángulo central: es aquel formado por los radio de una circunferencia. Todo ángulo central < AOB mide lo mismo que el arco que abraza, esto es, Ángulo inscrito: Es aquel formado por dos cuerdas que tienen un extremo en común. Todo ángulo Inscrito mide la mitad del arco que abraza. Dos ángulos inscritos en una misma circunferencia y que abracen el mismo arco son iguales, si están del mismo lado. Si están en lados opuestos, entonces son suplementarios. Si tenemos 4 puntos no colineales, de tres en tres y cumplen lo siguiente: Entonces esos 4 puntos pertenecen a una circunferencia. Dichos puntos se les llama concíclicos. Al cuadrilatero que se puede inscribir en una circunferencia se le llama cuadrilátero cíclico.

Ángulos en la circunferencia. Ángulo semi-inscrito es aquel formado por una recta tangente a una circunferencia y una cuerda que pasa por ésta. La medida de todo ángulo semi-inscrito es igual a la mitad del arco comprendido entre sus lados. Teorema de Ptolomeo: En todo cuadrilátero cíclico, no cruzado, se cumple que la suma de los productos de los lados opuestos es igual al producto de las diagonales. Teorema inverso: Si existe un cuadrilátero que cumple con que la suma de los productos de los lados opuestos es igual al producto de las diagonales, entonces dicho cuadrilátero es cíclico.

Cuadrilátero no convexo Cuadriláteros Llamamos cuadriláteros a los polígonos de 4 lados. Que se pueden clasificar como: Cuadrilátero convexo Cuadrilátero no convexo Cuadrilátero cruzado Ahora vamos a analizar un tipo de cuadrilátero, llamado paralelogramo. Un paralelogramo es un cuadrilátero cuyos lados opuestos son paralelos. Además los lados opuestos son iguales Los ángulos opuestos son iguales

Resultados importantes: Preposición: El segmento que une los puntos medios de cualquiera dos lados de un triángulo cualquiera, mide la mitad del tercer lado y es paralelo a dicho lado. Preposición: Si un triángulo tiene dos lados iguales, entonces tiene dos ángulos iguales y son los que se oponen a los lados iguales. En todo paralelogramo las diagonales se dividen mutuamente en partes iguales. Si en un cuadrilátero convexo cada par de lados opuestos son iguales, entonces el cuadrilátero es paralelogramo.

Problemas

Problema 1