TEMA 1.

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1 TEMA 1

2 DIFERENCIA ENTRE RAZÓN Y FRACCIÓN
No debemos confundir una razón con una fracción. Se escriben de la misma manera Las dos pueden representar un cociente Una fracción siempre está compuesta por NÚMEROS ENTEROS Una razón no tiene por qué, puede estar compuesta por números decimales

3 1. RAZÓN DE PROPORCIONALIDAD. PROPORCIÓN
Una razón de proporcionalidad es el cociente de dos números que se pueden comparar a / b Donde: a es el antecedente y b es el consecuente Ejemplo, en una cesta tengo 15 naranjas y 10 limones, decimos que la proporción de naranjas y limones es de 15 a 10. Esta proporción se puede expresar de la siguiente forma: 15/10

4 Tengo otro cesto en el que hay 9 naranjas y 6 limones y me pregunto si en este caso tendré la misma razón de proporcionalidad que en el anterior. PRIMER CESTO = 15/10 = 1,5 SEGUNDO CESTO = 9/6 = 1,5 Por lo tanto, las dos razones representan la misma cantidad. En este caso decimos que forman una proporción Se escribe: 15/10 = 9/6 Se lee: 15 es a 10 como 9 es a 6

5 e es la constante de proporcionalidad
Cuando dos razones representan lo mismo, decimos que forman una PROPORCIÓN a/b = c/d = e Dónde a y d son los extremos c y b son los medios e es la constante de proporcionalidad

6 En nuestro ejemplo: 15 y 6 son los extremos 10 y 9 son los medios 1,5 es la constante de proporcionalidad ACTIVIDAD_________________________________________ Para la siguiente proporción indica sus elementos: antecedentes, consecuentes, extremos, medios y constante de proporcionalidad 3/4 = 9/12

7 2. PROPIEDADES DE LAS PROPORCIONES
Dos razones forman proporción si el producto de medios es igual al producto de extremos a/b = c/d ---- a . d = b . c Si tenemos en cuenta esta propiedad, podemos resolver la mayoría de los problemas de proporcionalidad que se nos plantean donde desconozcamos el valor de una de las magnitudes. 15/10 = x/ = 10 . x /10 = 90/10 = 9

8 2. Para cada proporción identifica los componentes y completa la tabla
ACTIVIDADES_______________________________________ 1.¿Cuánto debo pagar por cada una de las siguientes cantidades manteniéndose la razón peso/precio? KG DE LENGUADO 1 2 3 4 PRECIO EN € 42 2. Para cada proporción identifica los componentes y completa la tabla ANTECEDENTES CONSECUENTES EXTREMOS MEDIOS CONSTANTE DE PROPORC 2/4 = 4/8 6/3 = 8/4 3/4 = 9/12

9 3. Por cada 5€ que pone Luis, María pone 8€
3. Por cada 5€ que pone Luis, María pone 8€. ¿Qué razón de €uros hay entre Luis y María? 4. Si en una razón el antecedente es 10 y la constante de proporcionalidad 2, ¿cuál es el consecuente? 5. Si la razón de proporcionalidad es 2,5 y el consecuente 8, ¿qué cantidad es el antecedente? 6. Calcula la constante de proporcionalidad de: 2/4 = 3/ b) 10/2 = 15/3 c) 1/10 = 10/ d) 12/3 = 16/4

10 7. Escribe una fracción que haga proporción con con:
2/3 1/4 5/6 8/7 8. Por cada 5 semanas de lluvia hay 8 que no llueve. ¿Cuál es la razón entre las semanas lluviosas y las secas? 9. Si en una razón el antecedente es 7 y la constante de proporcionalidad 0,25. ¿cuál es el consecuente?

11 3. PROPORCIONALIDAD DIRECTA
Una magnitud es cualquier característica de un elemento que se puede medir. Decimos que dos magnitudes están en proporción directa o son directamente proporcionales si: Cuando crece una de ellas (doble, triple,..) la otra crece en la misma proporción (doble, triple,..) Cuando decrece una de ellas (mitad, tercio,..) la otra decrece en la misma proporción (mitad, tercio,..) Para resolver este problema existen dos métodos básicos: 1.REDUCCIÓN A LA UNIDAD y 2.REGLA DE TRES

12 1.MÉTODO DE REDUCCIÓN A LA UNIDAD
Consiste en saber cuánto cuesta 1 unidad y, partiendo de ahí, calcular cualquier cantidad Si 3 Kg cuestan 4,5 € -- 1 Kg costará 4,5/3 = 1,5 € Si 1 Kg cuesta 1,5 € -- 4 Kg costarán ,5 Kg = 6 € 2.REGLA DE TRES DIRECTA El problema se plantearía de la siguiente manera: Si 3 Kg cuestan 4,5 € 4 Kg costarán x € 3/4 = 4,5/x x = 4,5 . 4/3 = 6 €.

13 ACTIVIDADES ______________________________________
De los siguientes pares de magnitudes, di cuáles son directamente proporcionales y cuáles no. El número de minutos que hablo por teléfono y el coste de llamada La estatura y el peso de una persona Los Km que circulo con el coche y la gasolina que consumo El tamaño de un coche y su precio El número de Km que circulo y el tiempo que tardo en recorrerlos Los Kg de carne que compro y lo que cuesta

14 11. Un corredor da 5 vueltas a una pista polideportiva en 15 minuntos
11. Un corredor da 5 vueltas a una pista polideportiva en 15 minuntos. Si sigue el mismo ritmo, ¿cuánto tardará en dar 25 vueltas? 12. El padre de Paco ha recorrido 220 Km en 2 horas. ¿Cuántos Km recorrerá en 5 horas? Utiliza los dos métodos para resolverlo

15 13. Si 400 gramos de salmón ahumado cuestan 12 €, ¿cuánto pagaré por 1,5 Kg? 14. Si un grifo arroja 15 litros cada 2 minutos, ¿cuánto tiempo tardará en llenar un bidón de 45 litros?

16 15. Por una llamada telefónica de 4 minutos he pagado 2,4 €
15. Por una llamada telefónica de 4 minutos he pagado 2,4 €. ¿Cuánto pagaré por una llamada de 15 minutos? 16. Un tren recorre 210 Km en 3 horas. ¿Cuántos Km recorrerá en 7 horas?

17 17. Ángel tiene que elegir la compañía de telefonía móvil que más le interesa. Tiene dos ofertas: con la Compañía A tiene que pagar 0,20 € por cada 2 minutos; con la Compañía B debe pagar 1 € por cada 10 minutos. Si ambas compañías tarifican por minuto ¿Cuál le resulta más rentable? Razona tu respuesta. 18. Una clase tarda 3 días en recaudar 450 € para un viaje de fin de curso. La clase está compuesta por 30 alumnos. ¿Cuánto dinero recauda de media al día cada alumno? Si tuvieran que recaudar €, ¿cuánto tardarían?

18 4. PROPORCIONALIDAD INVERSA
Antonio y Rosa tardaron 6 horas en recortar el césped del jardín ¿Cuánto tardarían si les ayudara su amigo Pedro? ____________________________________________________ Parece claro que tardarían menos tiempo si recortan el césped los tres. En este caso decimos que el número de personas que cortan el césped y el tiempo que se tarda en cortarlo son magnitudes INVERSAMENTE PROPORCIONALES.

19 Decimos que dos magnitudes están en proporción inversa i son inversamente proporcionales si:
Cuando crece (doble, triple,…) una de ellas, la otra decrece en la misma proporción (mitad, tercio,..) Cuando decrece (mitad, tercio, ..) una de ellas, la otra crece en la misma proporción (doble, triple,..) Para resolver el problema tenemos dos métodos: 1. MÉTODO DE REDUCCIÓN A LA UNIDAD y 2. REGLA DE TRES INVERSA

20 MÉTODO DE REDUCCIÓN A LA UNIDAD
Se trata de saber cuánto tardaría uno en hacerlo todo y luego dividirlo entre el total de trabajadores Si 2 personas tardan 6 horas persona tardará = 12 horas 3 personas tardarán x horas : 3 = 4 horas 2. REGLA DE TRES INVERSA El problema se plantearía de la siguiente forma Si 2 personas tardan 6 horas 3 personas tardarán x horas 2/3 = x/6 x = 6 . 2/3 = 4 horas

21 ACTIVIDADES_______________________________________
19. En un taller de confección, si se trabajan 8 horas diarias se tardan 6 días en servir un pedido. ¿Cuánto se tardará en servir el pedido si se trabajan 12 horas diarias? 20. Si 3 grifos tardan 9 horas en llenar un depósito, ¿cuánto tiempo tardarán en llenar ese mismo depósito 4 grifos?

22 21. Para recorrer los 360 Km que hay entre Madrid y Valencia el padre de Diana tardó 3 horas a una velocidad de 120 Km/hora. Si disminuye la velocidad a 100 Km/hora, ¿cuánto tardará? 22. En una granja de pollos se consumen Kg de pienso cada 6 días. Si compró 500 pollos más ¿cuánto durará la misma cantidad de pienso?

23 23. De los siguientes pares de magnitudes, indica cuáles son inversamente proporcionales
El número de hojas de un libro y el grosor de dicho libro El número de ovejas y el tiempo que tardan en comer el pienso El color de una camiseta y su talla La velocidad a la que voy en el coche y el tiempo que tardo en llegar 24. Un tabique lo levantan entre 4 albañiles en 10 horas. ¿Cuántos albañiles se necesitarían para hacer el tabique en 8 horas?

24 25. Un granjero calcula que en su granero tiene pienso para dar de comer a 12 caballos durante 10 días. ¿Cuánto tiempo le durará el pienso si vende 4 caballos? ¿y si compra 8 caballos?

25 5. PROPORCIONALIDAD COMPUESTA
Una proporcionalidad es compuesta cuando intervienen varias magnitudes proporcionales EJEMPLOS_________________________________________ A) Dos obreros, trabajando 5 horas diarias, han construido 50 metros de valla ¿Cuántos metros de valla construirán 4 obreros trabajando 6 horas al día? Las dos proporciones son directas Número de obreros y metros de valla Cuántos más obreros trabajen, más metros de valla harán Número de horas y metros de valla Cuántas más horas se trabaje, más metros de valla se construirán

26 Resolvemos el problema:
Reducimos a la unidad, que en este caso son los metros de valla que hace un obrero en 1 hora. Trabajando 5 horas diarias hacen 50 metros Trabajando 1 hora: 50 : 5 = 10 metros Entonces, 2 obreros en 1 hora al día hacen 10 metros de valla Por último: 1 obrero 1 hora al día 10 : 2 5 metros de valla 4 obreros 1 hora al día 4 . 5 20 metros de valla 4 obreros 6 horas al día 6 . 20 120 metros de valla

27 Resolvemos el problema mediante regla de tres:
2 obreros --- trabajando 5 horas al día --- hacen 50 metros 4 obreros --- trabajando 6 horas al día --- hacen x metros x = /2 . 5 = 1.200/10 = 120 metros B) Si 5 máquinas tejen en 12 horas 90 polos ¿Cuántas máquinas se necesitan para tejer 150 polos en 10 horas? 5 máquinas horas polos X máquinas horas polos x = / = 9.000/900 = 10 máquinas

28 26. En 5 días 4 embotelladoras distribuyen 20
26. En 5 días 4 embotelladoras distribuyen litros de zumo ¿Cuántos litros distribuirán 2 embotelladoras en 10 días? 27. Para enviar por correo postal un paquete de 7 Kg de peso a 200 Km he pagado 1,4 € ¿Cuánto me costará enviar un paquete de 3 Kg a una ciudad que se encuentra a 300 Km?

29 28. Un autocar haciendo 2 viajes al día durante 6 días ha repartido a 480 personas por diferentes destinos ¿Cuántas personas se distribuirán en 5 días haciendo 3 viajes al día? 29. Cincuenta garrafas de aceite, de 3 litros cada una, cuestan €. ¿Cuánto costarán 40 garrafas del mismo aceite, de 5 litros cada una?

30 30. Si 6 perros en 3 días comen 36 Kg de pienso ¡cuánto comerán 9 perros en 5 días? 31. Un agricultor gasta litros de agua en regar 5 hectáreas de terreno en 3 días. Si aumenta el gasto de agua a litros pero utiliza 1 día más. ¿cuántas hectáreas podrá regar?