Tema 6. Lógica formal e informal

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1 Tema 6. Lógica formal e informal

2 SUBIDA DE LA MAREA. Aunque el transatlántico estaba atracado en el puente, la señora Fernández se encontraba tan mareada que no se atrevió a salir de su camarote. A mediodía, el ojo de buey situado junto a su litera se encontraba exactamente a 7 metros sobre el nivel del agua. En ese instante, la marea subía a razón de 1 metro por hora. Suponiendo que la velocidad con que sube la marea se duplique cada hora, ¿cuánto tardará el agua en cubrir el ojo de buey?

3 EN 4 PIEZAS IDÉNTICAS. Divida la figura adjunta en cuatro piezas idénticas.

4 1. Definición de la lógica
La lógica es la ciencia de los principios de la validez formal de los razonamientos. Un razonamiento es un tipo de pensamiento que consiste en pasar de unas afirmaciones iniciales (premisas) a una afirmación final (conclusión), que se derivaría de las anteriores de manera necesaria. Razonar= derivar una conclusión de unas premisas - Todo número entero positivo es divisible por 1 7 es un número entero positivo. Por tanto: 7 es divisible por 1 - Si Lewis Carroll es el autor de la “Imitación de Cristo”, entonces Stalin fue un famoso teólogo de la Contrarreforma. - Es así que Lewis Carroll es el autor de la “Imitación de Cristo” Luego : Stalin fue un famoso teólogo de la Contrarreforma. -Todos los revolucionarios usan uniforme - Mussolini no usaba uniforme Luego : Mussolini no era revolucionario La lógica es una ciencia formal: no estudia el contenido de los razonamientos, sino su forma, las reglas que los hacen válidos.

5 (…1. Definición de la lógica)
La validez del razonamiento no depende de que las premisas o la conclusión sean verdaderas, sino de que el paso de premisas a conclusión se haga siguiendo reglas válidas del razonamiento. Validez formal de un razonamiento: en la deducción (paso premisas – conclusión) se han respetado las reglas válidas de la lógica. ¡No importa lo que digan las premisas, el razonamiento puede ser válido aunque ellas o la conclusión no sean verdaderas! Si la Luna es un queso, yo soy un cura. La Luna es un queso. Luego: - Yo soy un cura La validez de un razonamiento es independiente de la verdad o falsedad de sus premisas o conclusión Este razonamiento es válido, aunque sus afirmaciones no sean verdaderas: la lógica es una ciencia formal, no estudia nada empírico. Un razonamiento es válido no por lo que dicen sus afirmaciones, sino por la forma en que se enlazan entre sí: la validez es formal, mientras que la verdad es empírica.

6 (…1. Definición de la lógica)
Todo razonamiento tiene una forma y un contenido. La lógica prescinde del contenido y estudia la forma de los razonamientos. Es una ciencia formal. Si apruebo el curso, invito a todos mis amigos a una fiesta o a cenar. Si mañana hace sol, iremos al campo o a la playa. Cuando vaya a la Universidad, viviré en un piso con amigos, o yo solo. Si leo “La fiesta del chivo” de Vargas Llosa, se lo contaré a mi madre o a mi hermano. Todos estos razonamientos son el mismo desde el punto de vista lógico, porque tienen la misma forma: “Si …, entonces … o …” La lógica estudia las formas de los razonamientos, y expresa esas formas en un lenguaje artificial, creado por ella al efecto. p→(q v r)

7 (…1. Definición de la lógica)
“Gregorio Samsa se convirtió en un monstruoso insecto” Esta oración se puede decir también de muchas otras maneras: Gregor Samsa hat sich in einem ungeheuerlichen Insekten verwandelt Gregorius Samsa in immanem insectum se conversit Gregory Samsa became a monstruous insect Gregor Samsa s`est transformé dans un monstrueux insect Gregor Samsa si transformo in un mostruoso insetto Porque la forma lógica de todas ellas es la misma: 1 BHUM 1 Feb

8 2. Lenguaje natural y lenguaje formal
Lenguajes creados por el ser humano en el transcurso de la historia, son los que usamos cada día (español, francés, inglés, chino, árabe, swahili…) Todos ellos están sujetos a una evolución, que depende del uso que de ellos hacen los hablantes. Han nacido de manera natural, y se desarrollan de manera natural, sin planificación. Todos los lenguajes naturales tienen inexactitudes y dobles sentidos en sus palabras, lo cual puede ser muy valioso para la literatura, pero es un problema si queremos exactitud. Lenguaje formal Los lenguajes formales son artificiales, creados por alguna ciencia para tratar algo con exactitud. La matemática crea un lenguaje formal, y la lógica otro.

9 3. El lenguaje formal de la lógica de enunciados.
3.1. Variables Toda proposición afirmativa (afirmación susceptible de V/F) de sentido completo (con sujeto, verbo y predicado, normalmente) será simbolizada en este lenguaje por alguna letra (usualmente, p, q, r, s, t, u, w, x…). A esas letras se les denomina “variables”. “En un lugar de la Mancha vivía un hidalgo caballero” p “Me gusta mucho la lógica” “¡Hola!” “La capital de Ecuador es Quito” “El otro día vimos en la tienda el vestido rojo de tu hermana” “El otro día” “Me encontré a Miguel Ríos en un bar cerca de la estación de tren” Tu hermana

10 (…3. El lenguaje formal de la lógica de enunciados.)
Los matices del lenguaje natural no son relevantes para la lógica: “y”, “pero”… es lo mismo 3.2. Conectivas Las proposiciones no suelen darse solas, sino conectadas entre sí. A las diversas maneras de conectarse entre sí se les llama conectivas, y aquí distinguiremos cinco: 3.2.1 Conjuntor (^) Se conectan con “y” “Hace frío y llueve” Conjuntor: ^ “He ido al cine y me ha gustado la película” p ^ q Simboliza todas las conexiones equivalentes a “y” “He estado en el teatro, pero no me ha gustado la obra” p ^ (no q) p ^ q “He estudiado. He aprobado.” p ^ q Puede unir dos variables, o más. “Me he comprado un libro, un cuaderno, un cd y un bolígrafo” p^q ^r ^s

11 (…3. El lenguaje formal de la lógica de enunciados.)
(…3.2. Conectivas) 3.2.2 Disyuntor ( v ) p v q p v q v r v s “Estudiaré inglés o francés” p v q Simboliza todas las conexiones equivalentes a “o”. “En el campo comeremos tortilla o jamón” p v q Es una disyunción inclusiva: se pueden dar ambas opciones. “Va a venir a recogerme mi padre, mi madre o mi abuela” p v q v r La disyunción exclusiva se expresa añadiendo una cláusula a la inclusiva “(p v q) ^ (no (p ^ q))”, de la que podemos prescindir. Las conectivas se combinan entre sí. Para que quede claro qué variables van con qué conectivas, cuando sea necesario se usarán paréntesis: “Voy a comerme la pizza y el bocadillo, o el kebab y la hamburguesa” (p ^ q) v (r ^ t) “Puede ser que elija una ensalada y un filete, o quizá mejor un huevo frito y una sopa”

12 (…3. El lenguaje formal de la lógica de enunciados.)
(…3.2. Conectivas) El negador (¬) ¬ p ¬(p ^ q) Simboliza “no” y sus expresiones equivalentes (“no es el caso de que, no ocurre que, …”) ¬( pv q) A diferencia de las demás conectivas, el negador sólo afecta a una variable (o conjunto de ellas), que lleva a su derecha. Si es necesario, se usan los paréntesis. “La Luna no tiene satélites” “No sé qué hubiera sido de mi vida sin estudiar lógica” “Bolivia no tiene puerto de mar” ¬ q ¬ p ¬ p “No vas a tener ni regalo de Navidad ni regalo de cumpleaños” ¬ p ^ ¬ q

13 Formaliza las siguientes frases del lenguaje natural:
1. Pablo atiende en clase y estudia en casa o, por otra parte, fracasa en los exámenes y no es aplaudido p=“Pablo atiende en clase” q=“Pablo estudia en casa” r=“Pablo fracasa en los exámenes” s=“Pablo es aplaudido” (p ^q) v (r ^ no s) p 2. La mejor comunidad política es la integrada por los ciudadanos de clase media p=“era de noche” q=“llovía” p ^q 3. Era de noche, pero llovía p=“se vencían las marioplumas” q=“todo se resolviraba en un profundo pínice” p ^q 4. “Se vencían las marioplumas y todo se resolviraba en un profundo pínice” (Julio Cortázar, Rayuela)

14 (…3. El lenguaje formal de la lógica de enunciados.)
(…3.2. Conectivas) Es una condición débil: ocurre algo (consecuente) si se da otra cosa (antecedente), pero esa otra cosa no es la única condición. El implicador p  q Sirve para simbolizar la expresión “Si… entonces” del lenguaje natural, y sus equivalentes (“Cuando…, …”; “como …, …”; “… con tal de que …”; “en caso de que …, …” ; “… siempre que…”). Siempre hay un antecedente (lo que va antes de la flecha) y un consecuente (lo que va después) p  q Si vamos a Madrid, entramos en el museo del Prado Si no nos toca la lotería, entonces no nos vamos de viaje a Bután. ¬ p  ¬ q Cuando aprobemos el curso, hacemos una fiesta de tres días. Es agradable caminar bajo la lluvia, siempre que se tenga algo en qué pensar. p  q p  q “Si veo a Eva, le diré que se venga con nosotros, o que nos espere una hora” p  (q v r) En caso de duda, se demarcan con paréntesis los antecedentes y consecuentes. “Si compro un décimo y me toca el premio, lo reparto entre mis amigos de clase o de la calle” (p ^ q) (r v s)

15 Formalizar los siguientes enunciados del lenguaje natural:
p=“Tú dedícate al amor libre” q=“verás cómo te sorprende la muerte en pecado mortal” p  q Tú dedícate al amor libre y verás cómo te sorprende la muerte en pecado mortal De lo que no se puede hablar, lo mejor es callarse (Wittgenstein) p=“Se puede hablar (de algo)” q=“lo mejor es callarse” ¬ p  q p=“En el juego interviene el amor” q=“En el juego interviene el odio” r=“la mujer juega de manera mediocre” ¬ (p ^ q)  r “Cuando en el juego no intervienen el amor y el odio, la mujer juega de una manera mediocre” (Nietzsche) p=“jugamos a la lotería” q=“Nos toca la lotería” r=“nos vamos a los Andes” p ^ (q  r) Jugamos a la lotería, y si nos toca nos vamos a los Andes.

16 Formalizar los siguientes enunciados del lenguaje natural:
p=“Sigue aparentando felicidad” q=“pensaré que sufre considerablemente” p  q Como siga aparentando tanta felicidad, empezaré a pensar que sufre considerablemente. “Si un problema no tiene solución, no hay que preocuparse; y si tiene solución, no hay que preocuparse.” (Confucio) p=“El problema tiene solución” q=“Hay que preocuparse” (p v ¬ p)  ¬q p=“Vamos a Miguelturra” q=“Vamos a Carrión” r=“descansamos” (p v q)  r Puede que vayamos a Miguelturra o a Carrión, pero en ambos casos al llegar descansaremos p=“coinciden dilatación arterias y contracción corazón” q=“la contracción impele sangre a las arterias” r=“las arterias aspiran la sangre” p  (q v r) Si la contracción del corazón coincide con la dilatación de las arterias, o bien la contracción del corazón impele sangre a las arterias, o bien la dilatación de las arterias aspira sangre del corazón. Si los empresarios integran la clase de élite de cualquier sociedad y su poder sigue siendo enorme, no se entiende que haya podido darse una intervención pública tan amplia p=“los empresarios integran la élite de la sociedad” q=“el poder de los empresarios es enorme” r=“se entiende que haya una intervención pública tan amplia” (p ^ q)¬ r

17 p=“Estudiar derecho” q=“me hago rico en un día” ¬(p  q) Es falso que estudiando derecho me pueda hacer rico en un día Si hay riesgo de lluvia, baja el barómetro, pero no vemos que baje, por tanto no hay riesgo de lluvia. p=“hay riesgo de lluvia” q=“Baja el barómetro” ((p  q) ^ ¬q)  ¬p aC Fue amigo de Sócrates, criticaba en sus obras las tradiciones griegas. p=“hay vino” q=“hay amor” ¬p  ¬ q Si no hay vino no hay amor (Eurípides). p=“Pienso bien algo/ pienso bien” q=“hay que ser bienpensante” p  ¬q Bien pensado, no hay por qué ser bienpensante.

18 (…3. El lenguaje formal de la lógica de enunciados.)
(…3.2. Conectivas) p  q El coimplicador Simboliza “si y sólo si”, y equivalentes (“sólo en el caso de que”, “sólo cuando”…) Es una condición fuerte: sólo ocurre algo cuando ocurre otra cosa. Ambas circunstancias por tanto van unidas. Sólo haremos una fiesta si aprobamos todo, y en ningún otro caso p= “hacemos la fiesta” q=“aprobamos todo” p  q p= “salimos” q=“todos entienden la lógica” p  q Sólo saldremos de la clase si todo el mundo entiende la lógica 1º Bch HUM – 9 Feb Si toca el timbre nos vamos p  q p  q Nos vamos si y sólo si toca el timbre

19 4. Las tablas de verdad Son un procedimiento automático para comprobar la validez de cualquier deducción que se haya formalizado. Para construirlas, antes hay que conocer la tabla de verdad de cada una de las conectivas p ¬p V F Una negación siempre tiene el valor de verdad inverso a lo negado 4.1. Tabla del negador “No hace sol” es falso si hace sol. 4.2. Tabla del conjuntor Una conjunción es cierta cuando son ciertos todos sus componentes (puede haber más de dos) p q p^q V F Es cierta si hace sol (p) y es martes (q) “Hoy hace sol y es martes” Es falsa si no hace sol, no es martes, o ninguna de las dos cosas

20 (…4. Las tablas de verdad)
4.3. Tabla del disyuntor Una disyunción es cierta cuando es cierto alguno de sus componentes (pueden ser más de dos). p q pvq V F “Ella habla inglés o francés” “Nos vamos de vacaciones a la playa o al extranjero”

21 4.4. Tabla del implicador p q pq V F “Si toca el timbre, nos vamos” 1er. caso: toca, y nos vamos V F 2º caso: toca, y no nos vamos No puede afirmarse que la implicación sea falsa. Por tanto, es verdadera porque no hay más valores (ppio. tercio excluso) V 3º: no toca, pero nos vamos 4º: ni toca ni nos vamos V ¡En las columnas iniciales (de variables individuales) siempre hay que poner todas las posibles combinaciones de V-F de las variables! Método seguro: el número de filas que habrá será 2 elevado a n (n=nº de variables). La implicación sólo es falsa cuando claramente ocurre lo contrario de lo que dice (V-F)

22 (…4. Las tablas de verdad)
4.5. Tabla del coimplicador “Sólo me casaré contigo si sabes hacer tarta de chocolate” p q p q V F Hace tarta, y se casan V Hace tarta, pero no se casan F No hace tarta, pero se casan F Como no podemos afirmar la falsedad, por tercio excluso ponemos V Ni hace tarta, ni se casan V

23 (…4. Las tablas de verdad)
¿Cuántas filas pongo? 2 elevado a n (n= nº variables) 4.6. Ejercicios de tablas de verdad Ahora, se va construyendo la expresión poco a poco, desde lo simple a lo complejo Ejemplo: “Realiza la tabla de la expresión (p ^ q)  r Primero, una columna para cada variable simple que haya (p,q,r…) p q r p ^ q (p ^ q)  r V F V V V F V F Y se rellena mirando la tabla de verdad de la conectiva correspondiente, y las columnas que corresponda F F V Se añaden columnas, hasta completar la fórmula, siempre usando las columnas ya construidas. F 1ª columna: mitad V, mitad F Y en las siguientes, la mitad de V y F que puse en la anterior, hasta completar

24 1. ((p®q)Ù(rÚs)Ù(s®Øq)ÙØr)®Øp
2((r®s)Ù(pÚq)ÙØ(Øp®s))®(qÙØr) 3(p«(qÚr))Ù(p®s)Ùq)®s 4((s«t)Ù(tÚp)Ù(s®Øw)Ùw)®p 5(((p®q)Ùr)Ù(s®t)Ù(r®s))®(qÚt) 6(((pÙq)®r)Ùp)®(q®r) 7((p®(q®r))Ùq)®(p®r) 8((pÙq)®r)Ù(Ø(pÚr)®s)Ù(Øs®r))®(Øs®r) 9(((pÙq)®r)Ù((rÙs)®t))®((pÙqÙs)®t) 10((p®q)Ù(rÚØp))®(p®(qÙr)) 11 ((pÙq)®r)Ù(r®s)Ù(qÙØs))®Øp 12(((pÙq)®(rÚs))ÙØ(tÙØp)ÙtÙ(t«q))®(Ør®s) 13((Ør®Ø(pÙq))Ù(s®p))®((sÙq)®r) 14 (p®(p®q))®(p®q) 15 (((qÚØs)®t)Ù(Øq®r)Ù(p®Øs)Ù(t®s))®(p®r) 16((pÙq)®r)«((pÙØr)®Øq) 17 (p® (q®r)) ® (q® (p®r)) 18 (s®q)®((p®(q®r))®(p®(s®r))) 19(p®(q®r))«((pÙq)®r) 20 (p®((q®r)®s))®((q®r)®(p®s)) 21 ((p®r)Ù(q®s))®((pÙq)®(rÙs)) 22 (Øp®p)®p 23 (((pÚq)®(rÙs))Ù(Ø(ØpÚØr)®(Øt®Ø(pÚs)))Ù(Øt®Ø(pÙs)))®t 24 ((p«(qÙtÙu))ÙØpÙ(r«Øq)Ù(Ør®t)Ù(Øu®r))®(rÚs) 25 (pÙØp)®q 26 ((p®q)Ù(q®r)Ù(s®t)Ù(sÚp))®(rÚt) 27 ((pÚq)Ù(r®Øp)Ù(s®r)Ù(Øt®s)Ù(r«Øq))®t 28 ((pÚq)®r)®((p®r)Ú(q®r)) 29 ((Øp«q)ÙØ(ØqÚr)Ù(pÚs))®(sÚt) 30 ((p®q)Ù(r®p)Ù(Ør®Øt)ÙØ(sÙØr)Ù(tÚs))®(qÚu) 31 ((r®s)Ù(pÚq)ÙØ(Øp®s)Ù(Øp®q))®(qÙØr) 32 (((pÙØqÙr)®s)ÙtÙ((sÙt)®u)Ù(p®(u®Øw))Ùw)®((pÙr)®q) Todas estas fórmulas son las deducciones que hacemos en clase. Sólo tienes que poner en varias líneas lo que está en cada una, así: (A Ù B Ù C…) ® X Se pasa a: A Concluir: X B C Por ejemplo, la 1 sería: 1. p®q Concluir Øp 2. rÚs 3. s®Øq 4. Ør

25 Falacia: argumento incorrecto, hecho con el propósito de engañar
Tipos de falacias Defender algo porque lo dice alguien que se considera una autoridad en la materia, pero sin dar razones que lo justifiquen. Falacia ad verecundiam La Tierra está quieta y el Sol gira alrededor de ella ya que lo dice Aristóteles. Falacia ad hominem Atacar a la persona que da un razonamiento, pero sin responder a las razones que da. Es falso que la mujer esté discriminada en nuestra sociedad, ya sabemos que las feministas son unas exageradas. Defender una conclusión sin justificarla, únicamente apelando a los sentimientos, emociones o prejuicios del auditorio. Falacia ad populum Prohibiremos la inmigración porque no podemos consentir que los extranjeros roben el pan de nuestros hijos. Defender algo que es verdadero o falso porque no podemos demostrar lo contrario. Falacia ad ignorantiam Como nadie ha demostrado que Dios existe, Dios no existe.

26 Falacia ad baculum Defender algo basándose en una amenaza No corras tanto, porque si te pillan te pondrán una multa. Inferir una conclusión general a partir de unos pocos casos que no son suficientes para justificarla. Falacia de la prueba anecdótica Algunos gitanos roban porque todos son unos ladrones. Non causa pro causa Se da por correcta una causa insuficiente o equivocada. Hoy me he caído porque en el horóscopo decía que me iba a ocurrir algo malo. Se juega con el doble sentido de alguna expresión. Falacia semántica Los gatos sirven para levantar coches, luego mi gato Garfield levanta coches. La conclusión se apoya en una premisa que para ser verdadera depende de que la conclusión también lo sea. Premisa y conclusión dependen una de otra. Circulus in demostrando (falacia circular) La tierra se mueve porque no está quieta. Se apela a la compasión, a la generosidad. Falacia ad misericordiam Yo no fui el asesino, no me condenéis, ya sufro bastante siendo huérfano.

27 Pensar que algo es cierto sólo porque muchas personas lo creen.
Falacia ad numerum Todas las culturas siempre ha tenido algún Dios, por tanto alguno debe haber. Falacias ad antiquitatem y ad novitatem Pensar que algo es verdadero o falso porque sea antiguo o nuevo Esta teoría es la última que ha salido, así que será verdad. Venimos creyendo en esto desde hace siglos, así que será cierto. Pensar que la gente rica o pobre (respectivamente) tienen más posibilidades de estar en lo cierto Falacias ad crumenam y ad lazarum Como esto lo ha dicho Bill Gates será porque es verdad. No creas a ese, que no tiene donde caerse muerto. Falacia ad nauseam Consiste en repetir algo muchas veces para que se acabe creyendo que es cierto. “Ya estamos saliendo de la crisis” Post hoc ergo propter hoc Presuponer que algo causó otra cosa sólo porque ocurrió antes. Cada vez que entro al aula de examen con el pie derecho apruebo, así que seguro que esa es la causa.

28 Presuponer que porque dos hechos ocurren a la vez han de tener alguna relación.
Cum hoc ergo propter hoc Cuando me partí la pierna, un perro estaba ladrando, así que tendré cuidado cada vez que oigo a un perro ladrar, por si acaso. Pensar sin pruebas que si una cosa sucede, otras cosas perniciosas la sucederán. Falacia de la pendiente resbaladiza Si legalizamos la marihuana, la gente tomará más cocaína y heroína, y acabaremos por legalizarlas, y este será un país muy peligroso, porque la mayoría estará drogada. Consiste en decir que algo es verdad o mentira en función de que otro lo afirme o niegue, o en función de lo que haga otro, en lugar de atender a las razones que se dan. Tu quoque (“tú también”) No voy a hacerle caso al médico cuando me ha dicho que deje de fumar, porque él también fuma, ayer lo vi fumando por la calle. Pensar que algo está bien porque hay otras cosas peores. Falacia del mal mayor No deberían prohibir fumar, porque los coches contaminan mucho más.

29 Deaño, Alfredo: Introducción a la lógica formal. Alianza
. Garrido, Manuel: Lógica simbólica. Tecnos. ¿Permite la Iglesia católica que un hombre pueda casarse con la hermana de su viuda?