Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 5: Aplicaciones de la Diferenciabilidad. José R. Narro 1 Tema 5 1.Extremos relativos de funciones de varias.

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1 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 5: Aplicaciones de la Diferenciabilidad. José R. Narro 1 Tema 5 1.Extremos relativos de funciones de varias variables. 2.Condición necesaria de extremo relativo. 3.Condición suficiente de extremo relativo. 4.Extremos absolutos de funciones de varias variables. 5.Extremos condicionados de funciones de varias variables. 6.Método de los multiplicadores de Lagrange.

2 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 5: Aplicaciones de la Diferenciabilidad. José R. Narro 2 Extremos de funciones de varias variables

3 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 5: Aplicaciones de la Diferenciabilidad. José R. Narro 3 plot3d(2*x^2+y^2,x=-3..3,y=-3..3); Ejemplo Gráfica de la función z = 2x 2 +y 2, en un entorno de (0, 0) min. rel.

4 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 5: Aplicaciones de la Diferenciabilidad. José R. Narro 4 Ejemplo Gráfica de la función z =- 2x 2 -y 2, en un entorno de (0, 0) max. rel. plot3d(-2*x^2-y^2,x=-3..3,y=-3..3);

5 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 5: Aplicaciones de la Diferenciabilidad. José R. Narro 5 Puntos críticos

6 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 5: Aplicaciones de la Diferenciabilidad. José R. Narro 6 Condición necesaria de extremo

7 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 5: Aplicaciones de la Diferenciabilidad. José R. Narro 7 Condición necesaria de extremo

8 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 5: Aplicaciones de la Diferenciabilidad. José R. Narro 8 Condición suficiente de extremo relativo

9 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 5: Aplicaciones de la Diferenciabilidad. José R. Narro 9 Ejemplo

10 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 5: Aplicaciones de la Diferenciabilidad. José R. Narro 10 Ejemplo

11 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 5: Aplicaciones de la Diferenciabilidad. José R. Narro 11 Extremos de funciones de varias variables

12 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 5: Aplicaciones de la Diferenciabilidad. José R. Narro 12 Representación gráfica z = x 3 + 3xy 2 – 15x - 12y plot3d(x^3+3*x*y^2-15*x-12*y,x=-2.1..2.1,y=-2.1..2.1);

13 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 5: Aplicaciones de la Diferenciabilidad. José R. Narro 13 Gráfica de z = x 3 + 3xy 2 – 15x - 12y en un entorno de A(2, 1) mínimo relativo Representación gráfica plot3d(x^3+3*x*y^2-15*x-12*y,x=1.9..2.1,y=0.9..1.1);

14 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 5: Aplicaciones de la Diferenciabilidad. José R. Narro 14 Representación gráfica Curvas de nivel de z = x 3 + 3xy 2 – 15x - 12y en un entorno de A(2, 1) mínimo relativo

15 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 5: Aplicaciones de la Diferenciabilidad. José R. Narro 15 Representación gráfica Gráfica de z = x 3 + 3xy 2 – 15x - 12y, en un entorno de B(-2,- 1) máximo relativo plot3d(x^3+3*x*y^2-15*x-12*y,x=-2.1..-1.9,y=-1.1..-0.9);

16 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 5: Aplicaciones de la Diferenciabilidad. José R. Narro 16 contourplot(x^3+3*x*y^2-15*x-12*y,x=-2.1..-1.9,y=-1.1..-0.9); Representación gráfica Curvas de nivel de z = x 3 + 3xy 2 – 15x - 12y en un entorno de B(-2, -1) mínimo relativo

17 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 5: Aplicaciones de la Diferenciabilidad. José R. Narro 17 Representación gráfica Gráfica de z = x 3 + 3xy 2 – 15x - 12y en un entorno de C(1,2) punto de silla plot3d(x^3+3*x*y^2-15*x-12*y,x=0.9..1.1,y=1.9..2.1);

18 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 5: Aplicaciones de la Diferenciabilidad. José R. Narro 18 Representación gráfica Curvas de nivel de z = x 3 + 3xy 2 – 15x - 12y en un entorno de C(1, 2) punto de silla contourplot(x^3+3*x*y^2-15*x-12*y,x=0.9..1.1,y=1.9..2.1);

19 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 5: Aplicaciones de la Diferenciabilidad. José R. Narro 19 Representación gráfica plot3d(x^3+3*x*y^2-15*x-12*y,x=-1.1..-0.9,y=-2.1..-1.9); Gráfica de z = x 3 + 3xy 2 – 15x - 12y en un entorno de D(-1,-2) punto de silla

20 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 5: Aplicaciones de la Diferenciabilidad. José R. Narro 20 Representación gráfica contourplot(x^3+3*x*y^2-15*x-12*y,x=-1.1..-0.9,y=-2.1..-1.9); Curvas de nivel de z = x 3 + 3xy 2 – 15x - 12y en un entorno de D(-1, -2) punto de silla

21 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 5: Aplicaciones de la Diferenciabilidad. José R. Narro 21 Ejercicio

22 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 5: Aplicaciones de la Diferenciabilidad. José R. Narro 22 Extremos absolutos

23 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 5: Aplicaciones de la Diferenciabilidad. José R. Narro 23 Extremos absolutos

24 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 5: Aplicaciones de la Diferenciabilidad. José R. Narro 24 Extremos absolutos

25 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 5: Aplicaciones de la Diferenciabilidad. José R. Narro 25 Ejemplo A O B x+y = -3

26 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 5: Aplicaciones de la Diferenciabilidad. José R. Narro 26 Ejemplo

27 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 5: Aplicaciones de la Diferenciabilidad. José R. Narro 27 Ejemplo

28 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 5: Aplicaciones de la Diferenciabilidad. José R. Narro 28 Ejemplo

29 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 5: Aplicaciones de la Diferenciabilidad. José R. Narro 29 Ejemplo

30 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 5: Aplicaciones de la Diferenciabilidad. José R. Narro 30 Ejemplo

31 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 5: Aplicaciones de la Diferenciabilidad. José R. Narro 31 Extremos de funciones de varias variables

32 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 5: Aplicaciones de la Diferenciabilidad. José R. Narro 32 Extremos de funciones de varias variables

33 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 5: Aplicaciones de la Diferenciabilidad. José R. Narro 33 Utilización de ecuaciones paramétricas

34 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 5: Aplicaciones de la Diferenciabilidad. José R. Narro 34 Utilización de ecuaciones paramétricas

35 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 5: Aplicaciones de la Diferenciabilidad. José R. Narro 35 Ejemplo

36 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 5: Aplicaciones de la Diferenciabilidad. José R. Narro 36 Ejemplo

37 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 5: Aplicaciones de la Diferenciabilidad. José R. Narro 37 Ejemplo

38 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 5: Aplicaciones de la Diferenciabilidad. José R. Narro 38 Ejemplo

39 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 5: Aplicaciones de la Diferenciabilidad. José R. Narro 39 Método de los multiplicadores de Lagrange

40 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 5: Aplicaciones de la Diferenciabilidad. José R. Narro 40 Método de los multiplicadores de Lagrange

41 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 5: Aplicaciones de la Diferenciabilidad. José R. Narro 41 Método de los multiplicadores de Lagrange

42 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 5: Aplicaciones de la Diferenciabilidad. José R. Narro 42 Método de los multiplicadores de Lagrange

43 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 5: Aplicaciones de la Diferenciabilidad. José R. Narro 43 Interpretación geométrica Función: z=f(x,y) Condición de ligadura:

44 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 5: Aplicaciones de la Diferenciabilidad. José R. Narro 44 Método de los multiplicadores de Lagrange

45 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 5: Aplicaciones de la Diferenciabilidad. José R. Narro 45 Método de los multiplicadores de Lagrange

46 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 5: Aplicaciones de la Diferenciabilidad. José R. Narro 46 Método de los multiplicadores de Lagrange

47 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 5: Aplicaciones de la Diferenciabilidad. José R. Narro 47 Método de los multiplicadores de Lagrange

48 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 5: Aplicaciones de la Diferenciabilidad. José R. Narro 48 Método de los multiplicadores de Lagrange

49 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 5: Aplicaciones de la Diferenciabilidad. José R. Narro 49 Método de los multiplicadores de Lagrange

50 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 5: Aplicaciones de la Diferenciabilidad. José R. Narro 50 Método de los multiplicadores de Lagrange

51 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 5: Aplicaciones de la Diferenciabilidad. José R. Narro 51 Método de los multiplicadores de Lagrange

52 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 5: Aplicaciones de la Diferenciabilidad. José R. Narro 52 Método de los multiplicadores de Lagrange

53 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 5: Aplicaciones de la Diferenciabilidad. José R. Narro 53 Método de los multiplicadores de Lagrange

54 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 5: Aplicaciones de la Diferenciabilidad. José R. Narro 54 Método de los multiplicadores de Lagrange (x-1) 2 +y 2 =1 OA

55 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 5: Aplicaciones de la Diferenciabilidad. José R. Narro 55 Método de los multiplicadores de Lagrange

56 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 5: Aplicaciones de la Diferenciabilidad. José R. Narro 56 Método de los multiplicadores de Lagrange

57 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 5: Aplicaciones de la Diferenciabilidad. José R. Narro 57 Método de los multiplicadores de Lagrange

58 Introducción al Cálculo Infinitesimal Tema 5: Aplicaciones de la Diferenciabilidad. José R. Narro 58 Método de los multiplicadores de Lagrange